1、學生研究與討論-關于微積分中值定理的討論彭俊杰（重慶郵電學院計算機學院信息與計算科學專業2000級）第一章 微分中值定理 由于解決實際問題的需要，人們引進了微分學的概念，并對它進行研究發展，使之成為一門系統化、全面化的理論。而且微分學也隨之成為解決實際問題中一種重要的工具之一，其應用也越來越廣泛。 而微分學中的一個重要定理微分中值定理是微分應用的理論基礎，是微分學的核心理論。所有微分中值定理的重要性也是顯而易見的。而這一章我們就是要討論微分中值定理及其相關內容。主要講了四個方面：第一節主要是從講述微分中值定理的歷史演變過程中引出微分中值定理的三種形式，并給出它們各自的一種證明方法；第二節是從兩

2、個方面研究微分中值定理的推廣：n元函數的微分中值定理和高階微分中值定理；第三節主要是研究復函數中的微分中值定理，得到與實分析中相對應的微分中值公式；第四節是在共軛解析函數中探討微分中值定理，在引進共軛解析函數的定義后對共軛解析函數的中值定理進行初步的探討。第一節 微分中值定理的歷史演變及其簡介 微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。而且微分中值定理不是一下子全部被人類認知，它的完整出現經歷了一個過程，是眾多數學家共同研究的成果。從費馬定理到柯西中值定理，是一個逐步完善、不斷向前發展的過程，而且隨著相關數學理論知識的不斷完善，微分中值定理也隨之得以完整起來，證明方法也

3、出現了多樣化。這一節主要是從講述微分中值定理的歷史演變入手，引出微分中值定理的三個公式，并給出它們各自的一種證明方法。§1.1： 微分中值定理的歷史演變微分中值定理，是微分學的核心定理，是研究函數的重要工具，是溝通函數與導數的橋梁，歷來受到人們的重視。微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。微分中值定理有著明顯的幾何意義，以拉格朗日定理為例，它表明“一個可微函數的曲線段，必有一點的切線平行于曲線端點的弦。”從這個意義上來說，人們對微分中值定理的認識可以上溯導公元前古希臘時代，古希臘數學家在幾何研究中，得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形

4、的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，求出拋物線弓形的面積。希臘著名數學家阿基米德（archimedes，公元前287前221）正是巧妙地利用這一結論，求出拋物線弓形的面積。意大利卡瓦列里（cavalieri，15891674）在不可分量幾何學（1635年）的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3用基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了，按歷史順序：1637年，著名法國數學家費馬（fermat，16011665）在求最大值和最小值的方法中給出

5、了費馬定理，在教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理。1691年，法國數學家羅爾（rolle，16521719）在方程的解法一文中給出多項式形式的羅爾定理。1797年，法國數學家拉格朗日（largrange，17361813）在解析函數論一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統研究是法國數學家柯西（cauchy，17891857）。他是數學分析嚴格化運動的推動者，他的三部巨著分析教程、無窮小計算教程概論、（1823年）、微分計算教程（1829年），以嚴格化為其主要目標，對微積分理論進行了重構。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學的核心定理。在無窮小計

6、算教程概論中，柯西首先嚴格的證明了拉格朗日定理。又在微分計算教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理。從而發現了最后一個微分中值定理。§1.2：微分中值定理簡介1.2.1 引理：費馬定理費馬作為微積分的創立者，他在研究極大和極小問題的解法時，得到統一的解法“虛擬等式法”，從而得出原始形式的費馬定理。所謂的虛擬等式法，可以用下例加以說明。費馬在求得一個長度為的線段，如果劃分為兩個線段，使他們的積為最大時，采用以下方法：用代替，得到表達式并與表達式進行比較，得到虛擬等式：即 。再將所得各項除以，得到。然后去掉仍含的項，再將虛擬等式化為真正的等式。從而得到，使為最大。費馬的“虛擬等式法”可能基

7、于一種非常直觀的想法，如果為的極大值，那么從直觀上來看，在附近值變化很小。當很小時，和差很小。用現代語言來說，對于函數，讓自變量從變化到，當為極值時，和的差近似為0，用e除以虛擬等式，。就得到函數極值點的導數值為0，這就是我們在高等數學中得到的費馬定理：函數在處取得極值，并且可導，則0。這里應特別指出：費馬給出以上結論，微積分還處于初創階段，并沒有明確導數、極限連續的概念，用現代的眼光來看，其論斷也是不嚴格的。我們現在看到的費馬定理是后人根據微積分理論和費馬發現的實質重新創造的。1.2.2 羅爾定理羅爾在1691年發表的論著方程的解法給出了“在多項式的兩個相鄰根中，方程至少有一個實根。”這是定

8、理“在上連續，在上可導，并且，則必然存在一點，使的特例。也就是以上定理被稱為羅爾定理的原因。最初羅爾定理和現代羅爾定理不僅內容有所不同，而且證明也大相徑庭，它是羅爾利用純代數理論方法加以證明的，和微積分并沒有什么聯系。我們現在看到的羅爾定理，是后人根據微積分理論重新證明，并把它推廣為一般函數，“羅爾定理“這一名稱是由德羅比什在1834年給出，并由意大利數學家貝拉維蒂斯在1846年發表的論文中正式使用的。1.2.3 拉格朗日定理拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理。它是指：“在上連續，在上可導，則存在一點，使。”這一定理是拉格朗日在解析函數論一書中首先給出的。它最初形式為：“函數在和之間連續

9、，的最大值為a，最小值為b，則必取a、b中一個值。”歷史上拉格朗日定理證明有三個，最初的證明是拉格朗日在解析函數論中給出的。在證明中，拉格朗日從他在解析函數論中的基本觀點：出發，證明了如下結論：“z在上變化，若為正值，則為正值”。在此基礎上，他給出輔助函數，其中時，n<z（z）<m，狠容易證明：當時，mz（z）和z（z）n恒為正值。設，拉格朗日證明了：恒有。依以上結論>0。由于，故。利用反微分法，讓za，zb，拉格朗日得到如下不等式， 利用相同的方法，拉格朗日得到另一不等式故，。令m=0，得， 。由此，為n，m中間的一個值。由于為連續的，則必有，使。這是關于微分中值定理的第一

10、個證明。我們可以發現，這個證明很大程度上建立在直觀基礎上，依賴于這樣的一個事實：當，在上單調增加。所用的條件也比現在強，現代中值定理只須在上可導，并存在連續導數。并且所用連續概念，也是直觀的，“假設變量連續地變化，那么函數將會產生相應變化，但是如果不經過一切中間值，它就不會從一個值過渡到另一個值。”十九世紀初，在以柯西等為代表的微積分嚴格化運動中，人們給出了極限，連續，導數的嚴格定義，也給拉格朗日定理以新的證明，柯西在無窮小計算概論中給出了新的證明。作為這個證明的出發點，柯西首先證明了：“實數和保持同號，且n個實數的最大值為g，最小值為r，則必為r和g中間的一個值。”然后他從新的導數定義出發，

11、讓為任意小的正數，讓i的絕對值小于，則對于，必為和中間的一個值，然后在之間插入n1個x的值，則差分為n個小部分，并為同號，并且使它們的絕對值小于，設的最大值為a，最小值為b。柯西證明：，的值分別介于和之間。由預備定理，則也介于和之間。由于的任意性，則介于a和b之間。由于在為連續，柯西利用它給出中間值定理，他證明了：必有一個，使。從以上證明，我們可以看到柯西的定理證明比拉格朗日的證明進步多了。現代形式的拉格朗日定理，是由法國數學家o.博內（o.bonnet，18191892）在其著作cours de calcul differential et integral中給出的，他不是利用的連續性，而是

12、rolle定理，對拉格朗日定理加以重新證明。達布（darboux，18421917）則利用這個證明了：當僅在riemann-darboux可積時，。從而使微分中值定理成為微積分的重要研究工具。1.2.4 柯西定理 柯西定理被認為使拉格朗日定理的推廣。它是指：設和在上可導，并且，則必有一個值，使。柯西在微分計算教程中給出最初的柯西定理：“和在上有連續的偏導數，并且在上不為零，這時對于某一點，有。”柯西的證明與拉格朗日對拉格朗日中值定理很相似。首先他從導數的正、負號意義出發，證明了>0時，在上是單調增加，有>。由此他設>0，且0。設a和b商在上的最大值和最小值，柯西證明了：，則和

13、在上一個非減，一個非增，二者在點外的值均為零。可知，。因此，對應用中間值定理，必得點使。微分中值定理在柯西的微積分理論系統中占有重要的地位。例如他利用微分中值定理給洛必達法則以嚴格的證明，并研究泰勒公式的余項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數的重要工具和微分學的重要組成部分。 人們對微分中值定理的研究，大約經歷了二百多年的時間，它從費馬定理開始，經歷了從特殊到一般，從直觀到抽象，從強條件到弱條件的發展階段。人們正是在這一發展過程中，逐漸認識到它們的內在聯系和本質。當o博內通過設輔助函數的方法，利用羅爾定理證明了拉格朗日定理，后人又利用拉格朗日定理證明了羅爾定理，微分中值定理就是形成濃縮型的

14、普遍化，而這種普遍化如同美國數學家克拉默所說：“在對數學史上任一時期中人們對數學作出貢獻進行評價的，那些能把過去統一起來而同時又為未來的拓廣開辟了廣闊道路的概念，應當算作是最為深刻的概念。”從廣義上講，微分中值定理就是這樣的概念。第二節 微分中值定理的推廣 上節介紹的微分中值定理都是一元微分學和平面領域上的微分中值定理，而在實際應用上，很多情況下都要突破這些局限，并不都是一元和平面領域的，為了充分利用微分中值定理這個重要工具，這就需要我們把它進行推廣，使之也能夠在n元微分學和n維空間下得以使用。這一節正是把微分中值定理推廣到n元函數和n維歐氏空間，使微分中值定理能夠更廣泛的應用更多的領域，發揮

15、其更大的作用。§2.1 元函數的微分中值定理一元微分學中的中值定理都是說明一元函數在一區間兩端的值和它在區間內某點的導數之間的關系，它指出導數深刻的性質，是一元微分學的理論基礎。在實際上有廣泛的應用。現將其推廣到元函數，即討論元函數的微分中值定理。我們考慮由維向量空間e到實數r（一維空間）的映射：若為開的，點，我們約定。2.1.1 n元函數的拉格朗日公式 定理1 設e為n維，為開的，在g上可微，又設點和點，且聯結點與m的線段位于g內，則在此線段上有一點，使 （1）證 聯結點與m的線段的方程為，我們將限制于線段上，這樣就把所討論的問題歸結為一維的情況，為此在線段上定義一個函數如下： （

16、）顯然對函數在區間0，1上應用微分中值定理則有 （）于是再回到，則有 （） （2）（2）式是n元函數的拉格朗日公式另一種形式，若記點。 由于0<<1，所以點位于線段上，且介于和m之間，于是（2）又可表示為 證畢在定理中，若n1時，則由（2）式就有 （）或，介于和之間。這就是一元函數的拉格朗日公式。2.1.2 n元函數的羅爾公式當時，（2）就成為0 （）這就是n元函數的rolle定理的公式。 推論：設在域g上可微，且對于任一點都有，n則在g上為一常量。2.1.3 n元函數的柯西公式定理2 設e是n維的，在閉域d上連續，并且在開域d內關于個變元具有連續的偏導數； 點，且線段在g之內。

17、， 這里 則有 （） （3）或 （）證 由條件易知假設不然，有，我們可以令于是有g（1）g（0）0，則在區間0，1上對函數g（t）應用rolle定理，故有0<t<1，使0，即0但這與已給的條件矛盾，故知就有，再作輔助函數· 這里則由定理條件易知函數在0，1上連續，在（0，1）內可導，且。因此由rolle定理知，存在，使得0，而將代入，0，便可得 （）證畢。（3）式或（）式就是n元柯西公式，考慮下面的幾個特殊情況：（i） 若，n時，（3）式就成為 （） （4）而（4）即為n元函數的拉格朗日公式； （）若時，（4）式就成為 （5）而（5）式即為n元函數的rolle定理的公式。

18、§2.2 高階微分中值定理 我們知道，第一節所講的微分中值定理之所以重要，主要在于用一階函數導數或微分解決實際問題時，它們能起到橋梁的作用。但有時有些實際問題是高階函數或高階導函數，這時前面所講的微分中值定理就無法得到應用。下文就把微分中值定理推廣到高階微分。使微分中值定理更加全面。2.2.1 預備知識設矢量函數，常矢量，它們的內積定義為·。的導數定義為。為方便計，記為，。首先，我們建立如下矢量形式的微分中值定理。定理1 設n維歐氏空間中的矢量函數在a，b上連續，在(a,b)內可微，非零常矢量滿足·，則存在使·證明 設，令·。由已知條件，在a，

19、b上連續，在(a,b)內可微，且···（）0。由rolle定理，存在，使·0。2.2.2 高階微分中值定理利用定理1，我們把一階微分中值定理推廣到高階的情形，其結論是： 定理2 設滿足：（i） 在閉區間a，b上連續；（ii） 在開區間（a，b）內有n1階導數，那么對任意，存在使0證明： 設、當，中有相同的數時，結論是顯然的。下設，互不相同，且無妨認為。形式地，利用行列式按第一行展開的laplace定理，我們記矢量k 由laplace定理及行列式性質，不難知道，內積 · ·0 （k1，n1）。根據定理1知道，存在使 ·0， k

20、2，3，n1。再根據定理1知道，存在，使·0， k3，4，n1。如此推下去，最終可得到，使·0。此即0再利用行列式的性質，不能得到所需的結論。2.2.3 高階微分中值定理的各種具體表現形式 （1）在定理2中，當n2時，可得0。=若，則得： 。這是cauchy中值定理。若再取，則 。這就是lagrange中值定理。（2）在定理2中取n3，可得0。 2 （1）若再取，則得 （2）這就是二階形式的lagrange中值定理。（3）在定理2中，取n3，可得。再取，則， 這是二階微分形式的cauchy中值定理。第三節 復函數微分中值定理 實分析中有一套重要而優美的微分中值公式，同樣，復

21、分析中也可以得到一個概括性的微分中值公式，并且由它可以導出與實分析中值公式類似的若干復分析微分中值公式。但是，實分析中的微分中值定理一般情況下在復函數中是不成立的，這就需要我們對它們進行一些約束和改進，使之能夠在復函數領域中適用，這也是微分中值定理的一種推廣。 下文就是在復函數微分理論的基礎上，對微分中值定理進行推廣。定理1. 設函數在區域a內解析，為a內任意一點，那么對于點的某領域，及任意點，存在滿足條件的點z，使得 （1）式（1）酷似實分析中的lagrange中值公式。引理.設在區域a內解析，是的圓形領域，若0（0，1，2，n），則必有，使0。 證 由在a內解析可知，其在a內有任意階導數，

22、據定理1知，有，使得；再一次應用定理1又可知，有 ，使得，0；連續應用定理1 次即可知，有 ，使得0。 證畢。定理2 設函數，在區域a內解析，是的圓形領域，在內0，則存在滿足 的點z，使得 （2）證 因為，在區域a內解析。故它們在a內具有任意階導數，公式（2）所涉及的各階導數都存在，又有若不然，則函數滿足，由引理知有，使0。從而，與已知矛盾。今設 （3）其中待定。作函數則顯然在a內解析，且有：由定理1知，存在滿足的點，使0但是 （4）將（4）代入（3）整理后即得（2）。定理證完。 分別考慮兩個特殊情況可得到 推論1. 設函數在區域a內解析，是的圓形領域，則存在滿足的點使得 （5）證 取，即可由

23、（2）推得（5）。公式（5）酷似實分析中的taylor中值公式，我們在不增加定理1條件的前提下得到一個更深的結論。推論2. 設函數，在區域a內解析，是的圓形領域，在內0，則存在滿足的點使得 （6） 證. 在（2）中令n0即得。（6）式酷似實分析的cauchy中值公式。至此，復分析中的中值定理公式都已得出。第四節 共軛解析函數的微分中值定理 共軛解析函數，是和解析函數相對稱的。它是一種具有特殊變化率的復變函數，它和解析函數一樣，在很多領域里都有應用。解析函數論中，中值定理占有舉足輕重的作用。同樣，在共軛解析函數論中，也應有微分中值定理的應用，當然，這也不是對解析函數的微分中值定理的全盤照搬，而是

24、在解析函數論微分中值定理理論的基礎上，對微分中值定理在共軛解析函數論中進行有效的推廣，使中值定理理論更為全面。§4.1 共軛解析函數簡介 本節主要介紹一些共軛解析函數的基礎知識。包括共軛導數的定義，共軛解析函數的定義，共軛解析的條件等。這些知識是研究共軛解析函數的根本，也是本節所研究的共軛解析函數微分中值定理的必備理論。4.1.1 共軛導數設函數在區域內有定義，給自變量以增量，其中，使，并計算由于自變量所引起的函數的增量如果按任意方式趨向于零時比值的極限存在，其值有限，則稱此極限為函數在點的共軛導數，記為：這時稱函數于點共軛可導或共軛可微。例如，在復平面上處處共軛可導。這是因為：所以

25、 4.1.2 共軛解析函數 若函數在區域內處處共軛可導，則稱為區域內的共軛解析函數，或稱于區域共軛解析。在區域內，若除了某些例外的點外，在區域內各點共軛解析，則稱這些例外的點為在區域內的奇點。例如在平面內以為奇點。4.1.3 共軛解析的條件：定理1：（共軛可微的必要條件）設函數在區域內有定義，且在內的一點共軛可微，則、在此點的偏導數，且滿足共軛解析條件。定理2：（共軛可微的充分必要條件）設函數在區域內有定義，則在內的一點共軛可微的充分必要條件是：（1） 二元函數、在點可微。（2） 、在點滿足共軛解析條件。定理3 ： 在區域內共軛解析的充分必要條件是：（1）在內連續。（2）在內處處滿足共軛解析條

26、件。推論1： 若在區域內共軛解析，且0，（），則在內常數。推論2： 若在區域內共軛解析，且0（），則：， （，為常數）是內兩組正交曲線族。§4.2 共軛解析函數的微分中值定理 定理1 設函數在區域內共軛解析，為內任意一點，則在點的某個領域內，對于任意點，必存在點，使得 （1）式左 證明 設在點的某個領域內， （2）式中，為整數；在內共軛解析且。為不失一般性，假定 如此取，其中，是的邊界，為與的距離。 任取點，作區域 于是由式（2）得 。設中的任意一點，則 這其中是因為，。又因 （因為），因此有由于函數，在e內與上均共軛解析，且上，又|<，則由共軛解析函數的rollche定理知，

27、與在e內有同樣多的零點，即有 于是得知，在e內，從而在內存在零點，即 故得 ， 此即lagrange微分中值定理的類似。證畢推論1 設在區域內共軛解析，又，則，（此即rolle定理的類似）。推論2 設在區域內共軛解析，又 （，），則，。事實上，由推論1，由于， 再由推論1于導函數，可得，；由此類推，即得，；又由。再用一次推論1，。此即rolle定理的類似推廣。定理2 設函數在區域內共軛解析，且，如果為內任意一點，則在點的某個領域內，對于任意點，必存在點，使得 （3）證明 顯見當，式（3）就是式（1）。作輔助函數，顯然在內共軛解析，將定理1的結果用于函數，則有，即： 此即cauchy微分中值定理

28、的類似。第二章 積分中值定理 隨著微分學的不斷完善，與之相逆的積分學也開始發展起來，這也是為了解決實際問題的需要。而定積分最初的出現就是為了解決實際中那些計算一種和式極限的問題。與微分中值定理相對應，積分學中也應有一套較為完善的積分中值定理理論，而且積分中值定理在積分學的地位與微分中值定理在微分學的地位應該是旗鼓相當的。這一章我們主要是探討積分學中值定理的相關問題。主要講述了三個方面的問題：積分中值定理的簡介及其證明過程；積分中值定理中間點漸近性問題的研究以及積分中值定理的推廣。其中積分中值定理中間點的漸近性主要是從積分區間的兩個極端無窮大和零來討論的，積分中值定理的推廣主要是從三個方面來研究

29、：在riemann積分上的推廣，在曲面、曲線積分上的推廣，以及在復函數中的推廣。這些推廣也可以看著是積分中值定理的應用問題。第一節 積分中值定理簡介在一元積分理論中，積分中值定理包括第一中值定理和第二中值定理。它們都是微積分中的基本定理，在理論上有著一定的重要位置，特別是在一些邏輯推證方面有較多的應用。這一節主要是在定積分的定義下介紹積分中值定理的各種形式，并給出了相應的證明過程。補充：定積分的定義設是定義在上的函數，在中任意插入若干個分點（個） 來劃分區間，這一分法記為。在每一個部分區間中任取一點，作和式 其中，設為中的最大值，即 當時，如果和式的極限存在，且此極限值不能依賴于的選擇，也不依

30、賴于對分法，就稱此極限為在上的定積分。記為：§1.1 積分第一中值定理 若函數在閉區間上連續，則在上至少存在一點，使得證明：由定積分性質知 （1）其中，分別是函數在閉區間上的最大值和最小值。把（1）式各除以，得。這表明，確定的數值介于函數的最小值和最大值之間。根據閉區間上連續函數的介值定理，在上至少存在著一點，使得函數在點處的值與這個確定的數值相等，即應有： （）兩端乘以，即得所要證的等式。說明：這里的是在上取值，實際上，也可以在開區間的，即時，定理同樣成立。現證明如下：記，則。若時，則，均矛盾。故有，使，故存在使。即證明完畢推廣的積分第一中值定理：若函數與在閉區間上連續，且在上不變

31、號，則在上至少存在一點，使得： （）證明： 因為在上連續，在上必有最大值和最小值，又由于在上可積且不變號，不妨設，于是 從而 （2）若0，則由（2）式知 ，從而任取均可以使等式成立。現設>0，將（2）式改為，其中 （3）如果，則由連續函數的介值性必存在使，從而等式得證。如果，則由于>0，必存在使得恒有，若不然，則在的任何閉子區間上都有使得，依定積分定義便有0，這與>0矛盾，由于，今改（3）為 （4）注意到 ，必有 （5）否則由>0及，就有>0，矛盾。今證存在，使，若不然，則在上恒有及，從而，故，這與（5）式矛盾，同理可證的情形。總之，存在使等式成立。§1

32、.2 積分第二中值定理 若函數與在上可積，單調，則存在使得： 若函數單調遞增，且不為負，則 若函數單調遞減，且不為負，則 現就證明如下：先假定在上有連續導數，用分部積分公式，得 （*）這時考慮到，（*）式的右邊不大于，但也不小于，因此可以找到使得等式成立；現在，如果是非負不減函數，一般說來它是間斷的，那么它在上可積，并且存在著連續可導的非負不減函數序列，有 （ ）根據已證明的事實，對任一n，可以找到使得 （*）_在序列的子列，但由于（*）式右邊的積分關于下限的連續性和下面事實成立： （ ），令 ，對（*）式取極限，獲證。第二節 積分中值定理中間點的漸近性 在積分中值定理中，中間點的漸近性一般是

33、因區間長度的不同而不同，不過主要是有兩種情況：當區間長度趨于零或趨于無窮大。因此本節分別討論兩種情況下的積分中值定理中間點的漸近性。§2.1 當區間長度趨于零時中間點的漸近性 定理1 如果是區間上的連續函數，那么對于，必存在使得 （1）定理 2 如果函數是區間上的連續函數，在可微，且，那么上述公式（1）中的必滿足 這是當 時的漸近性態。 定理 3 如果函數在區間上連續，在處階可微，且（），。那么對于公式（1）中的必滿足 這是對定理2的推廣。定理 4 設與是區間上的連續函數，且對于，或成立，那么必存在使得 （2）定理 5 設函數與滿足定理4的條件，且，這里且是兩個常數。那么，公式（2）

34、中的必然滿足 （3） 證明 不失一般性，我們假定且，顯然>0。定義根據羅必達法則，并對函數使用公式（1），我們有 （4）另一方面，由定理4，及對函數使用公式（1），我們又得到 （5）比較（4）和（5），我們有從而公式（3）成立。定理 6 設函數在區間上連續，在處階可微，且且（），。如果滿足定理5的條件，那么公式（2）中的必滿足證明 多次利用羅必達法則，我們有 從而由定理5可得結論成立。顯然，定理5和定理6是比定理3更一般的結論。此外，定理5對在處不可微的函數仍然有效。例如，設，滿足定理5的條件，那么公式（3）仍然成立。§2.2 當區間長度趨于無窮大時中間點的漸近性 由§

35、;2.1中的定理2可得，當積分區間趨向無窮大時，可得到類似定理：定理 a 設在上連續，且，那么對于積分中值定理所確定的，有接下來將給出具有十分普遍性的結果。定理 1 設在上連續，且存在，使，而在上可積且不變號，且存在使，則對于由推廣的積分中值定理確定的數，我們有證明 由知，對任意，存在使當時，故所以 （1）由知，對任意，存在使當時。由于不變號，不妨設，則當時，從而與前面類似可證 （2）從而 （3）由于而在上連續，故當時，。另一方面，由推廣的積分中值定理， 。所以若令，此時，即可得到如下的定理2 設在上連續，若存在，使，那么對于積分中值定理所確定的，有。在定理2中，令，便可得到前述的定理a。第三

36、節 積分中值定理的推廣 與微分中值定理的推廣相對應，積分中值定理也有其在某些方面的推廣。而這正是本節所要討論的問題。本節討論積分中值定理的推廣問題。主要是從三個方面：在廣義riemann積分中的推廣；在曲線、曲面積分中的推廣；以及在復函數中的推廣。積分中值定理的推廣也可以看著是它在廣義riemann積分、曲線曲面積分、復函數等方面的應用。只是在這些推廣中，為了使積分中值公式能夠成立，必須加入某些適當的約束條件。§3.1 在廣義riemann積分中推廣 定理1 （關于無限區間上廣義函數的廣義積分第一中值定理）設在半直線上有界連續，使上的非負函數，并且，則必存在一有限點滿足 （1）證明

37、不妨設，那么由的非負性可知如果0，由上式可知0此時可在上任意取定一點作為，便有 以下我們設，由于 （）易知>0，并不妨設（當時，為常值函數，命題的結論也是顯然的）。如果，由可知存在滿足，那么 從而有 。如果有，同理可證亦有使得 。又若，此時在上可取到和滿足。那么依據連續函數的介值定理，在和之間必然存在一點使得：因此 當然也滿足（1）式，證明完畢。定理2 （關于無界函數廣義積分的第一中值定理）設在區間上連續有界，在上非負（無界），那么對于，必然存在一點，使得 以上定理的政法可以采用類似定理1中的辦法給出證明。事實上，可令，因為在上非負，所以有那么當時，定理2顯然成立。對于的情形，不妨設，并

38、分3種情形討論。（1）當時，由于存在，可使得 于是有 從而使 （2）當時，而確定的定義可知，存在滿足所以 從而得 （3） 當時，先取，適合因為連續，依據連續函數的介值定理，在和之間必然可以找到一點使得 當然有 證明完畢。§3.2在曲線、曲面積分中的推廣 數學分析教科書中對定積分中值定理和重積分中值定理進行了深人探討，而曲線積分中值定理和曲面積分中值定理一般沒有提出來。這一小節將討論曲線積分中值定理和曲面積分中值定理，并給出了詳細的證明。這也是積分中值定理的一個應用，也可以看著是它的一個推廣。 定理1 （第一型曲線積分中值定理） 若函數在光滑有界閉曲線上連續，則在曲線上至少存在一點，使

39、。其中表示曲線的長。證明 因為在有界閉曲線上連續，所以存在，并且，從而由于在上連續，故由介值定理，在曲線上至少存在一點，使從而結論成立。定理得證。同理可證下面的定理：定理2 （第二型曲線積分中值定理） 若函數在有向光滑閉曲線上連續，則在曲線上至少存在一點，使 其中為有向光滑曲線在軸上的投影，符號是由曲線的方向確定。定理3 （第一型曲面積分中值定理） 若為平面上的有界閉區域，是光滑曲面，函數在上連續，則曲面上至少存在一點，使得 其中是曲面的面積。定理4 （第二型曲面積分中值定理） 若有光滑曲面：，其中是有界閉區域，函數在上連續，則在曲面上至少存在一點，使得 其中是的投影的面積。現舉例說明積分中值

40、定理在曲線、曲面積分中的推廣應用例 證明：若是柱準面上的部分，是上的連續函數，則 證明 設是在平面的上半部分，為在平面的下半部分，則。由積分區間的可加性，有： 由于函數在：上的部分上連續，所以函數在上連續，根據定理4，在上至少存在一點，使 ·其中表示在平面上的投影區域的面積，由于關于平面對稱，所以對上述，對應點，又與的方向相反，故有： ·其中表示在平面上的投影區域的面積，又由于關于平面對稱，所以有，。所以有： ··0證明完畢。§3.3 在復函數中的推廣 與微分中值定理類似，積分中值定理也可以在復函數中推廣，只是積分中值定理在復函數中的推廣要比微

41、分中值定理在復函數的推廣要復雜些。 下文只是簡單的介紹了積分中值公式在復函數中的推廣，給出了復函數積分中值公式，由于證明過程比較復雜，故從略。 引理1 設函數在區域內解析，為內任意一點，則對于點的某領域及任意點，存在滿足條件的點，使得 （1）引理2 設函數 在單連通區域內連續，且對于內的任意一條逐段光滑的簡單曲線（一下簡稱圍線），有，則函數（為內一定點）在內解析，且 （）引理3 設函數在區域內解析，則在內具有各階導數，且它們也在內解析。定理1 設函數在單連通區域內連續，且對內任一圍線有 ： （），為內任意一點，則對于點的某領域及任意點，存在滿足條件的點，使得 （2）其中 式中 （），是自然數。

42、本定理證明從略。在定理1中令，且，即可得到以下推論：推論1 設函數，在單連通區域內連續，且對內任一圍線有，為內任意一點，則對于點的某領域及任意點，存在滿足條件的點，使得 其中，。定理2 設函數在單連通區域內連續，且對內任一圍線有 ： （），為內任意一點，則對于點的某領域及任意點，存在滿足條件的點，使得 由定理2我們可得到推論2 設函數，在單連通區域內連續，且對內任一圍線有，為內任意一點，則對于點的某領域及任意點，存在滿足條件的點，使得 特別地當1時，有推論3 設函數在單連通區域內連續，且對內任一圍線有，為內任意一點，則對于點的某領域及任意點，存在滿足條件的點，使得 說明 上述定理的證明過程都略

43、去，證明過程可參考甘肅教育學院學報（自然科學版）2002年第2期復函數積分中值公式。補充：中值定理在復函數的適用范圍 由第一章第三節和本節的內容可知，中值定理可以推廣到復函數中去，但是不是也像實函數那樣，中值定理可以廣泛的應用呢？答案是否定的。那么，復函數的中值定理的使用有什么條件呢？究竟在什么時候才能應用呢？這就是下面所要討論的問題。定理1如果中值定理適用于一個整函數,那么必定是一個常數或一個一次、二次多項式。在證明定理之前，我們指出如下的推斷：引理1中值定理適用于常數，一次多項式和二次多項式。證明： 引用二次多項式舉例。令,那么： 這就是我們要證明的。現在我們可以在下面的階段完成對定理1的

44、證明。由于是一個整函數，我們僅須考慮下面的兩種情況。第一種情況：如果是平面上的一個單葉解析函數，它肯定是一個線性函數。如果這不正確，肯定是一個極點或一個本性奇點。在例1中，讓作為的排序，那么=0,如果2，我們得到一個矛盾式，因為是單葉的。如果是的一個本性奇點，那么=，由畢卡爾定理，我們會得到一個矛盾式。上面的論證證明肯定是：=，.第二種情況：如果是平面上的一個非單葉解析函數，那么是一個常數或一個至少是二次的多項式或一個超越整函數。我們已經說明了中值定理對于常數和一、二次多項式的有效性。中值定理對于三次以上的多項式和超越整函數并不適用，已足以證明定理1。我們可以拿出三個不同的點,使。令=, ,

45、,分別表示相鄰的點,3,令充分小使得是=1,2,3中的一個單葉解析函數。當足夠小，在中取每個值恰好一次。令 =, ，很明顯, =在的閉包上至少有三個逆解析分支。集合.從論證原理我們知道，如果以左旋方向沿移動，那么也沿著同樣方向移動。并且如果形成一個的回路（. 得到一個的變換），那么正切方向也形成一個的回路。令=1,2,3,那么在復數中至少有一個輻角主值滿足，.在普遍性損耗以外，我們假設。現在令以左旋方向沿移動，我們得到引理2 令，足夠小，對于充分小的0，至少存在一個點 使得在=1,2兩條直接切線（對應的左旋方向）是平行的或者它們的交角小于。證明：對于一個任意的，設是上的切線 和x軸的交角。很容

46、易得到的切線和x軸的交角是,也就是。我們可以證明與的交角小于。與之間的角是 由于，我們可以選擇足夠小使得， 若，那么ti1。如果，那么， 實際上 從論據我們得到 ，因此我們有 <+<. 很明顯對于與之間的關系只有四種可能：與平行但不相同。取，此時引理2的推斷正確。與順向相交，換言之，他們的公共點在他們的正延長線或反延長線上。取，引理2的推斷也正確。與頭尾相交。就是說他們的交點在其中一條的正延長線和另一條的反延長線上。從上述我們得知，如果，那么 讓沿著以移動到同一點，將在或中存在例子，支持引理2的推斷。 與方向相同，并且多于兩個公共點，它們是同方向的切線。讓沿移動到同一點也將在或中存

47、在例子，使得引理2的推斷正確。據引理2，存在一個點（=1，2）使得同向切線的交角在小于或者它們平行不共線。而且我們可以證明下面的命題：引理3 在引理2的條件下，必定存在， 中相鄰的n1,和n2,，使得對于，連接n1和n2的線段不相交。證明：令n1充分小使得在的nii上的切線方向的改變足夠小。=1,2當從沿移動，令a=.從到i=1，2在中的弧的弧長顯示為.很容易看到是一個上的嚴格遞增函數。定義 從向量 到向量 的交角被定義為左旋方向從到 的最小正角。很明顯，0，2。令作為上從 到的直切線的交角。由于和順向相交或平行但不共線,我們可以假定沒有普遍性損耗, .如果=0,令以左旋方向沿從到另一點移動很短的距離,在和中對應的兩個點分別為和.如果充分小,我們有 =，0對于這些,連接和的線段不相交.另外,由于他們的交角充分小(因為充分小), 的變化大于,這是一個假設的矛盾式.在這個例子