1、第一節 解析函數的概念一、復變函數的導數與微分二、解析函數的概念三、小結與思考教學目標教學目標：1、理解復變函數的導數與微分、理解復變函數的導數與微分的概念的概念. 2、充分理解解析函數的概念、充分理解解析函數的概念. 3、理解復函數的連續性、可導性、理解復函數的連續性、可導性與解析性之間的關系與解析性之間的關系.教學重點教學重點:復函數可導性與解析性的判斷復函數可導性與解析性的判斷.教學難點教學難點：解析函數在區域：解析函數在區域D內解析的判定內解析的判定.一、復變函數的導數與微分1.導數的定義導數的定義:如果極限中的一點為內有定義的區域的領域內或包含在點設函數, , )( 000DzDzz

2、zfw , )( . )( 00的導數在這個極限值稱為可導在則稱zzfzzf.)()(limlim)(00000zzfzzfzwzfzz記作 , )()(lim)()(limlim 0000000存在zzfzzfzzzfzfzwzzzz在定義中應注意在定義中應注意:.)0(00的方式是任意的即zzzzz.,0都相等極限都存在，且極限值比值時內以任意方式趨于在區域即zwzDz實函數導數存在性要求：實函數導數存在性要求：.)0()0(00的極限都存在且相等時，比值趨于兩個方向和右由左當xyxxxxxx例例1 .)(2的的導導數數求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 2

3、20)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 注注例例2 是否可導？在任意點問zyixzf2)(zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸軸的的直直線線趨趨向向于于沿沿著著平平行行于于設設zxzz xyoz0 yxyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸軸的的直直線線趨趨向向于于沿沿著著平平行行于于設設zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不不存存在在的的導導數數所所以以.2)(yixzf 2.微分的概念微分的概念: 復變函數微分的概念在形式上

4、與一元實變復變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致函數的微分概念完全一致. )( )( , ,)(, 0lim ,)()(lim,)( 00線性部分的的改變量是函數稱小的高階無窮是比即則可導在設函數wzfwzzfzzzzzfwzfzwzfzwzzfwzz.)()( . )( )(zzfzdfdwzzfwzzf記作的微分在點稱為函數定義定義. )( , 可微在則稱函數的微分存在如果函數在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd zzf)(, z ,d)()(dzzfzzfwdzdwzf)( 即 .)(可微是等價的可導與在在函數zzzfw 2.可導與連續可導與連

5、續: 證證 , 0可導的定義可導的定義根據在根據在 z, 0, 0 , |0 時時使使得得當當 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因因為為 , )()(lim 000zfzzfz 所所以以 . )(0連連續續在在即即zzf證畢證畢 ,)( )(0zzzzf 3.求導法則求導法則: 由于復變函數中導數的定義與一元實變函由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致數中導數的定義在形式上完全一致, 并且復變函并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣數中的

6、極限運算法則也和實變函數中一樣, 因而因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來到復變函數中來, 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的.求導公式與法則求導公式與法則: . , 0)()1(為為復復常常數數其其中中cc .,)()2(1為為正正整整數數其其中中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)

7、()7( wwzzfwwzf 且且函函數數兩兩個個互互為為反反函函數數的的單單值值是是與與其其中中二、解析函數的概念1. 解析函數的定義解析函數的定義. )( , )() 3000解析在則稱導的某鄰域內處處可及在如果函數zzfzzzf .)( ,)() 2內解析區域在則稱內可微區域在若函數DzfDzf ).()(全純函數或正則函數內的解析函數是區域或稱Dzf2、復函數的連續性、可導性（可微性）與解、復函數的連續性、可導性（可微性）與解析性之間的關系析性之間的關系根據定義可知根據定義可知:函數在函數在區域內解析區域內解析與在與在區域內可導區域內可導是是等價等價的的.但是但是,函數在函數在一點處解

8、析一點處解析與在與在一點處可導一點處可導是是不等不等價價的概念的概念. 即函數在一點處可導即函數在一點處可導, 不一定在該點不一定在該點處解析處解析.函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多得多.例例4 .)( 2)(,)( 22的解析性的解析性和和研究函數研究函數zzhyixzgzzf 解解由本節例由本節例1和例和例2知知: ; )( 2在復平面內是解析的在復平面內是解析的zzf ; 2)(處處處處不不解解析析yixzg , )( 2的的解解析析性性下下面面討討論論zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,0

9、0zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z 0 y 趨于沿直線令xkyxz zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的任意性可知由k .11不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值kikizz .)()(lim 000不存在從而zzhzzh，z . , , 0 )( 2析析它它在在復復平平面面內內處處處處不不解解根根據據定定義義不不可可導導而而在在其其他他點點都都處處可可導導僅僅在在因因此此 zzzh ,0z時當2. 奇點的定義奇點的定義.)( , )(00的奇點為那么稱不解析在如果函數zfzzzf例例5.1 的解析性的解析性研究函

10、數研究函數zw 解解 , 0 1 處處處處可可導導在在復復平平面面內內除除因因為為 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外處處處處解解析析在在復復平平面面內內除除所所以以 zw . 0 為它的奇點為它的奇點 z課堂練習課堂練習.1 的解析性的解析性研究函數研究函數zw 答案答案處處不可導處處不可導, ,處處不解析處處不解析. .定理定理 . )( )( )( )1(內內解解析析在在除除去去分分母母為為零零的的點點和和、差差、積積、商商的的與與內內解解析析的的兩兩個個函函數數在在區區域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( ) 2(內解析在那么復合函數于都屬的對應值函數

11、內的每一個點對如果內解析平面上的區域在函數內解析平面上的區域在設函數DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh以上定理的證明以上定理的證明, 可利用求導法則可利用求導法則.根據定理可知根據定理可知:(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的所有多項式在復平面內是處處解析的. , )()( )2(它的奇點它的奇點使分母為零的點是使分母為零的點是的的零的點的區域內是解析零的點的區域內是解析在不含分母為在不含分母為任何一個有理分式函數任何一個有理分式函數zQzP三、小結與思考 理解復變函數導數與微分以及解析函數的理解復變函數導數與微分以及解析函數的概念概念; 掌握連續、可導、解析之間的關系以及掌握連續、可導、解析之間的關系以及求導方法求導方法. 注意注意: 復變函數的導數定義與一元實變函數復變函數的導數定義與一元實變函數的導數定義在形式上完全一樣的導數定義在形式上完全一樣, 它們的一些求它們的一些求導公式與求導法則也一樣導公式與求導法則也一樣, 然而復變函數極限然而復變函數極限存在要求與存在要求與z 趨于零的方式無關趨于零的方式無關, 這表明它在這表明它在一點可導的條件比實變函數嚴格得多一