1、中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第20講解直角三角形【考點解析】知識點一、銳角三角函數(shù)的概念.【例1】(浙江麗水)如圖，點A為邊上任意一點，作ACBC于點C，CDAB于點D，下列用線段比表示的值，錯誤的是（ ）A BC D【分析】由圖可知=ACD，所以cos=cosACD，是RTABC、BCD的內(nèi)角，ACD是RTACD的內(nèi)角，共有三種表示方法，故可做出判斷 【解析】根據(jù)，所以選項A、B、D正確，選項C錯誤故選C【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊【點評】在解直角三角形時，許多問題中并不是直角三角形，而是要通過構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角

2、三角形問題通常通過作三角形的高，構(gòu)造一個包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)定義解決【變式】（懷化）在RtABC中，C=90°，sinA=，AC=6cm，則BC的長度為（）A6cm B7cm C8cm D9cm【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值，設(shè)出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：sinA=，設(shè)BC=4x，AB=5x，又AC2+BC2=AB2，62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=2（舍），則BC=4x=8cm，故選：C【點評】本題考查了三角函數(shù)與勾股定理，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵知識點二、特殊角的三角函數(shù)值【例2】（天津）sin60&#

3、176;的值等于（）A B C D【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案【解答】解：sin60°=故選：C【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確把握定義是解題關(guān)鍵【變式】（玉林）sin30°=（）A B C D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行解答即可【解答】解：sin30°=故選：B【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值即可解答該題知識點三、解直角三角形【例3】1（山東省菏澤市·3分）如圖，ABC與ABC都是等腰三角形，且AB=AC=5，AB=AC=3，若B+B=90°，則ABC與ABC的面積比為（）A25：

4、9B5：3C：D5：3【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到B=C，B=C，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=ABsinB，AD=ABsinB，BC=2BD=2ABcosB，BC=2BD=2ABcosB，然后根據(jù)三角形面積公式即可得到結(jié)論【解答】解：過A 作ADBC于D，過A作ADBC于D，ABC與ABC都是等腰三角形，B=C，B=C，BC=2BD，BC=2BD，AD=ABsinB，AD=ABsinB，BC=2BD=2ABcosB，BC=2BD=2ABcosB，B+B=90°，sinB=cosB，sinB=cosB，SBAC=ADBC=0.5ABsinB2ABco

5、sB=25sinBcosB，SABC=ADBC=0.5ABcosB2ABsinB=9sinBcosB，SBAC：SABC=25：9故選A【點評】本題考查了互余兩角的關(guān)系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式【變式】如圖，將一副三角板按圖中方式疊放，BC=4，那么BD= 【答案】.【解析】 在RtABC中，BAC=90°，C=45°，BC=4，AB=BCsinC=4×=2在RtABC中，DBA=90°，D=30°，AB=2，BD=. 知識點四、方位角【例4】（江蘇蘇州）如

6、圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km，從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（ ）Akm Bkm Ckm Dkm【答案】B【解析】根據(jù)題意中方位角的特點，過點B作BEAC，交AC于點E，由CAB=45°，AB=2km，可知BE=km，根據(jù)題意還可知BCA=BCD=22.5°，因此CB是ACD的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知BD=BE=km，因此CD=AD=AB+BD=（2+）km.故選B【點評】本題考查了方位角的問題，能正確地識圖，選擇知識點是解題的關(guān)鍵，屬中等

7、題.【變式】（2013江蘇蘇州）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向（1）求點P到海岸線l的距離；（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向求點C與點B之間的距離（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）【思路分析】（1）過點P作PDAB于點D，設(shè)PD=x km，先解RtPBD，用含x的代數(shù)式表示BD，再解RtPAD，用含x的代數(shù)式表示AD，然后根據(jù)BD+AD=AB，列出關(guān)于x的方程，解

8、方程即可；（2）過點B作BFAC于點F，先解RtABF，得出BF=AB=1 km，再解RtBCF，得出BC=BF=km【解】（1）如圖，過點P作PDAB于點D設(shè)PD=x km在RtPBD中，BDP=90°，PBD=90°45°=45°，BD=PD=x km在RtPAD中，ADP=90°，PAD=90°60°=30°，AD=PD=x kmBD+AD=AB，x+x=2，x=1，點P到海岸線l的距離為（1）km；（2）如圖，過點B作BFAC于點F在RtABF中，AFB=90°，BAF=30°，BF=A

9、B=1km在ABC中，C=180°BACABC=45°在RtBCF中，BFC=90°，C=45°，BC=BF=km，點C與點B之間的距離為km【方法指導(dǎo)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方位角問題，難度適中通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵 【易錯警示】不會作輔助線，構(gòu)造直角三角形，無法解決問題知識點五、俯角和仰角【例5】鹽城電視塔是我市標(biāo)志性建筑之一如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，老師要求測電視塔的高度AB小明在D處用高1.5m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，然后向電視塔前進224m到達(dá)E處，又測得電視塔頂端A的仰角為60&#

10、176;求電視塔的高度AB（取1.73，結(jié)果精確到0.1m）【答案】195.3m.【解析】設(shè)AG=x，在RtAFG中，tanAFG=，在RtACG中，tanACG=，解得：x193.8則AB=193.8+1.5=195.3（米）答：電視塔的高度AB約為195.3米【變式】（湖北隨州·8分）某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動課時間測量位于烈山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨龋阎疑狡旅媾c水平面的夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進1620尺到達(dá)E點，在點E處測得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】構(gòu)

11、造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)，進行簡單計算即可【解答】解：如圖，過點E作EFAC，EGCD，在RtDEG中，DE=1620，D=30°，EG=DEsinD=1620×=810，BC=857.5，CF=EG，BF=BCCF=47.5，在RtBEF中，tanBEF=，EF=BF，在RtAEF中，AEF=60°，設(shè)AB=x，tanAEF=，AF=EF×tanAEF，x+47.5=3×47.5，x=95，答：雕像AB的高度為95尺知識點六 坡度和坡角【例6】（重慶）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進行測量大樹CD高度的綜合實踐活動，如圖，在點A處測得直立于地面的大

12、樹頂端C的仰角為36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點D處，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大樹CD的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin36°0.59，cos36°0.81，tan36°0.73）（）A8.1米 B17.2米 C19.7米 D25.5米【分析】作BFAE于F，則FE=BD=6米，DE=BF，設(shè)BF=x米，則AF=2.4米，在RtABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的長度，在RtACE中，由三角函數(shù)求出CE，即可得出結(jié)果【解答】解：作BFA

13、E于F，如圖所示：則FE=BD=6米，DE=BF，斜面AB的坡度i=1：2.4，AF=2.4BF，設(shè)BF=x米，則AF=2.4x米，在RtABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，DE=BF=5米，AF=12米，AE=AF+FE=18米，在RtACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，CD=CEDE=13.14米5米8.1米；故選：A【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)；由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵【變式】（重慶市B卷·4分）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂

14、端A測得旗桿頂端E的俯角是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=1：，則大樓AB的高度約為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，2.45）A30.6B32.1C37.9D39.4【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題【分析】延長AB交DC于H，作EGAB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設(shè)BH=x米，則CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長度，證明AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大樓AB的高度【解答】解：延

15、長AB交DC于H，作EGAB于G，如圖所示：則GH=DE=15米，EG=DH，梯坎坡度i=1：，BH：CH=1：，設(shè)BH=x米，則CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，BH=6米，CH=6米，BG=GHBH=156=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），=45°，EAG=90°45°=45°，AEG是等腰直角三角形，AG=EG=6+20（米），AB=AG+BG=6+20+939.4（米）；故選：D【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度、俯角問題；通過作輔助線運用勾股定理求出BH，得出E

16、G是解決問題的關(guān)鍵【典例解析】【例題1】（蘭州）在RtABC中，C=90°，sinA=，BC=6，則AB=（）A4 B6 C8 D10【分析】在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinA，將sinA的值與BC的長代入求出AB的長即可【解答】解：在RtABC中，C=90°，sinA=，BC=6，AB=10，故選D【點評】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵【例題2】12（海南）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的

17、仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長即可；（2）過D作DF垂直于AB，交AB于點F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到三角形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長【解答】解：（1）在RtDCE中，DC=4米，DCE=30°

18、，DEC=90°，DE=DC=2米；（2）過D作DFAB，交AB于點F，BFD=90°，BDF=45°，BFD=45°，即BFD為等腰直角三角形，設(shè)BF=DF=x米，四邊形DEAF為矩形，AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在RtABC中，ABC=30°，BC=米，BD=BF=x米，DC=4米，DCE=30°，ACB=60°，DCB=90°，在RtBCD中，根據(jù)勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+或x=4，則AB=（6+）米或（6）米【點評】此題考查了解直角三角形仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握勾股定

19、理是解本題的關(guān)鍵【例題3】（云南省昆明市）如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°，測得大樓頂端A的仰角為45°（點B，C，E在同一水平直線上），已知AB=80m，DE=10m，求障礙物B，C兩點間的距離（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【分析】如圖，過點D作DFAB于點F，過點C作CHDF于點H通過解直角AFD得到DF的長度；通過解直角DCE得到CE的長度，則BC=BECE【解答】解：如圖，過點D作DFAB于點F，過點C作CHDF于點H則DE

20、=BF=CH=10m，在直角ADF中，AF=80m10m=70m，ADF=45°，DF=AF=70m在直角CDE中，DE=10m，DCE=30°，CE=10（m），BC=BECE=70107017.3252.7（m）答：障礙物B，C兩點間的距離約為52.7m【例題4】（山東省菏澤市·3分）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國還巡警干擾，就請求我A處的魚監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，

21、求A、C之間的距離【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【分析】作ADBC，垂足為D，設(shè)CD=x，利用解直角三角形的知識，可得出AD，繼而可得出BD，結(jié)合題意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案【解答】解：如圖，作ADBC，垂足為D，由題意得，ACD=45°，ABD=30°設(shè)CD=x，在RtACD中，可得AD=x，在RtABD中，可得BD=x，又BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，AC=x=20（海里）答：A、C之間的距離為20海里【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，將實際問

22、題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行求解，難度一般【中考熱點】【熱點1】（四川攀枝花）如圖，點D（0，3），O（0，0），C（4，0）在A上，BD是A的一條弦，則sinOBD=（）A B C D【考點】銳角三角函數(shù)的定義【分析】連接CD，可得出OBD=OCD，根據(jù)點D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sinOBD即可【解答】解：D（0，3），C（4，0），OD=3，OC=4，COD=90°，CD=5，連接CD，如圖所示：OBD=OCD，sinOBD=sinOCD=故選：D【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵【熱點2】（貴州安順·3分）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則ABC的正切值是（）A2B C D【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案【解答】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC為直角三角形，tanB=，故選：D【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)【熱點3】（四川宜賓）如圖，CD是一高為4米的平臺，AB是與CD底部相平的一棵