1、第一章行列式一、主要結(jié)論：定理1 :對換改變排列的奇偶性。推論：奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成 標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)定理2 : n階行列式的定義為D八（-1）缶2哄定理3:行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等。定理4:互換行列式的兩行，行列式變號。定理5:行列式的某行乘以k，等于行列式乘以k。定理6:行列式的兩行元素成比例，行列式的值為零。定理7 :行列式的某行元素的k倍加到另一行上，值不變。定理8 :行列式等于它的任一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。定理9 （克萊姆法則）：如果線性方程組 AnnX二b的系數(shù)行D列式D不等于零，則方程組有唯一解x-（j =1,2/ ,n）

2、<D定理10 :線性方程組 An<n X= 0有非零解二|A = 0。二、練習(xí)：1. 計算排列217986534的逆序數(shù)，并判斷排列的奇偶性。（二佃，奇排列）2. 若a1ia32a54a2ja45是5階行列式中帶負(fù)號的一項，求i,j（3, j - 1 ）0a00abbb00b0babb(1)c000(abcd)(2)bbab000dbbba(a+ 3b)(a-b)3)102350423 .計算行列式:1(3)(4)(50)325-11141241-1112211012-34(一7)(6)2 a(a+ 1fa2fb2(b+仃b22)2 c(c+仃(c22)(5)xIIIIII( 4(

3、b - a)(c -a)(c - b)anann( x)n1C ax)iT4.設(shè)-730-2(2)M41M42IIIanX,求(1) A41A42A43A44；M43 M(0 ; (2) -28 )第二章矩陣及其運(yùn)算、主要結(jié)論:1.矩陣的加法：設(shè)同型矩陣 A = (ajj)、B = (bij)Mmn，則A + B=(aij 士bj) e Mmn。數(shù)與矩陣的乘法：設(shè)A Mmn , k R，則kA = Ak = (kaij)mn。矩陣與矩陣的乘法：設(shè)矩陣 A- (aij)ms、B = (bj)sn，則sAB 二 C =(Gj)mn , W 八 aikbkj(i = 1,2, ,m;j "

4、,2,n)。k=12. 矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)矩陣A二(aij )mn，則A =(aji)nm。轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算律：(A J，A , (A B)，AB-,(kA)二 kA , (AB)二 B A。3. 方陣的行列式的性質(zhì)人丁 = A，|kA = kn A，AB = A B。4. n階方陣可逆5. 計算逆矩陣的方法：定義法：由AB二E或BA二E得A = B1 伴隨矩陣求逆法：AnA (A|T)|a|r逆矩陣的性質(zhì)：(A，) -A , (A )-(A1),A1 初等變換行變換法：(A £)(E 2冷(其中式，當(dāng) A不可逆時仍成立)7.矩陣方程的解法：AX = C -X = AC<r,(A C

5、) (E A_1C)rBCr E、&B JXB =C 二,AXB = C 二X =CBX = AJCB_1練習(xí)題1.F列命題正確與否廣101、10、(1200-1X =02，求X。(X =-2 -4)-1-12J-2><0-211-r1-11、11/61/21、022X =110，求:X O (X =-1/6T/201-10<211<2310>解矩陣方程:)2.已知AX其中q0r20r020O ( X =030<161<162;)A =72 ,求(A 2E)-1.3.已知"AB,其中 B =：(A 2E) (E -B)二 E, (A

6、2E)0 1-3 34.A為三階方陣，且|A*，計算(3A-2A*128)(275.均為n階方陣,且A = 2, B =-3,計算3AB1(-6n4 )廣210、6. 設(shè)A= 1 2 0矩陣B滿足ABAJ2BA7E，其中A為AI。0 b的伴隨矩陣，E是單位矩陣，求|B。1(由 (ABAJABAA + EA,得(3A-6E)B=A, B= )9廣 100、7. A= 23 0 ,求(A1)，其中A"為A的伴隨矩陣。256 ?1 0 0(A)J = 2 3 0 )183 5 68. 設(shè) =21-1， 二-132 , .計算.求)n。-264 .(春丁 = | _132 i,_1 ,I 1

7、- 3 - 2 ；f-264 '麗 T)n=(1嚴(yán)-132 )<13 -2第三章矩陣的初等變換與線性方程組一、主要結(jié)論：1.矩陣秩的性質(zhì)： 0豈R(Am n)乞minm,n, R(A )二 R(A)若 AB，則 R(A)二 R(B) 若 P ,Q 可逆，則 R(PAQ) = R(PA)= R(AQ)= R(A) max R(A),R(B)乞 R(A,B)乞 R(A) R(B) R(A B)空 R(A) R(B) R( A Bp mi： R( A), R(B)若Am nBn廠0，則R(A) R(B上n2 . n元線性方程組Ax=b : 無解二 R(A)=R(A,b) 有唯一解二 R

8、(A) = R(A, b) = n 有無限多解二 R(A)二R(A,b) ： n3. n元齊次線性方程組 Ax = 0 : 有非零解(即有無窮多解)= R(A)： n 沒有非零解(即只有唯一的零解)= R(A)二n4 .線性方程組解的結(jié)構(gòu)：定義(基礎(chǔ)解系)：齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組。 若1、2是方程Ax = 0的解，則1 + 2也是Ax 7的解。 若i是方程Ax二0的解,k為實(shí)數(shù)，則k i也是Ax = 0的解. 若i、2、t是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系，則k! k2kt t是方程A)二0的通解。 若i、 2是方程Ax二b的解，貝V 1-2為Ax=0的解。 若 是方程Ax = b的解， 是方

9、程Ax二0的解，貝V + 仍是Ax = b的解。 若i、 2、t是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系，”是方程Ax二b的一個解，則Ax=b的通解為X 二 & ! k2 2kt t 。、練習(xí)題5 1-6 10、1 .設(shè) A= 2 5 k -1 啲秩為 2，求 k。 (k= 3)12-1 k 丿2x ”x2 - x3 = 02. 人為何值時，線性方程組 幾洛-X2 + X3 = 0 有非零解?4x1 5x2 - 5x3 二 041或時)'5丿Xt + ax2 + x3 = 03. 討論a取何值時，方程組xX2 X3 =0有非零解？Xt + x2 + ax3 = 0在有非零解時，求其通解.1 1

10、 1、(A 0 a-1 0 , a1時，R(A) = 3,，方程組只有零解；I。0 a-1a時，R(A) = 1,方程組有非零解，11廣sr-r此時，A0 0 0,通解：X2=Cf10 )<0 0 0g<0<1 >Xq + 2x2 _ x3 = 14. 已知2冬- X2 x3 = 4 求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及通(3x4 - 4x2 十 3x3 = 7解；求非齊次線性方程組的一個特解及通解。X1 (x2C皿丿-1/5 9/5 (c R)3/5 1+ -2/5 II 1 J I 0 J2Xj X2 + Xg + X4 = 15. 非齊次線性方程組 <人+2%2-滄+ 4

11、%4 = 2當(dāng)九取何值時，Xq + 7x2 - 4x3 + 11x4 =九方程組有解？有解時，求出它的通解。12/42、(A 0 _5 3 7 -3故當(dāng)丸=5時方程有解,e 000扎5351° >通解x-70<5廣4/53/500x + 2y + kz = 16.確定k的值，使方程組$2x + ky-z=-2有唯一解；無x 3z = 3解；有無窮多解，并求其通解。(k- -5及k - 2時，k= -5k =2時,有無窮多解)1 2 - 26 .設(shè)A= 4 k 3 ，三階矩陣B"滿足AB=0,求k<411 >(k= 3)7.設(shè)三元非齊次線性方程組 Ax

12、二b的系數(shù)矩陣A的秩為2 ,且它的三個解向量1，2，3滿足311 ,-T-3=2 0- 2 一，求 Ax=b 的通解。(=111,-101 - , x= k ,k R)第四章 向量組的線性相關(guān)性、主要結(jié)論：向量組的線性相關(guān)的性質(zhì)1. 向量組的線性相關(guān)的定義及性質(zhì) 定義：若存在不全為零的數(shù)ki，k2,，km，使1 k2 2 kmm = 0，則稱1 ,2 ,八m線性相關(guān)。只有 K = k2 = 111 = km = 0 時，才有 kv 1 k22 kmm = 0， 則稱"I ,2，III，'m線性無關(guān)。 向量組di,2,lll"m(m 一2)線性相關(guān)二：1廠2, m 中

13、至少有一個向量可由其余 m 一1個向量線性表示。逆否命題為：向量組： 1八2，八m(m - 2)線性無關(guān)= 1,2,i,m中每個向量都不可由其余 m1個向量線 性表示。 向量組2,111, m線性相關(guān)二R(£, 2,111, m. 向量組乙2,lll,'m線性無關(guān)二R(Ullm)= m. m個n維向量：j ,，m形成的向量組，當(dāng)m n時=向量組線性相關(guān)。 n個n維向量*1,*2,lll,*n線性相關(guān)=g宀,尸n = 0。 n個n維向量4 1,。2，宀線性無關(guān)二冋1,%，'n I。 若向量組12,，'nJ線性相關(guān)，而12八，5線性無關(guān)，則可由1 < 2&l

14、t; n線性表示，且表示法唯一。2 .兩個向量組之間的線性關(guān)系設(shè)有兩個向量組 A: ： 1 ,： 2 , , s, B: 1 , 2/ , t及向量b : 向量b能由組A線性表示=R(A)二R(A,b) 組B能由組A線性表示=R(A)=R(A,B) 組 B與組 A等價= R(A)= R(B)= R(A,B) 組B能由組A線性表示二R(B)R(A)二、練習(xí)題1 .求下列向量組的秩和一個最大線性無關(guān)組，并把其余向量用該最大無關(guān)組表示。已知： ai = 134-2、a2 = 2 1 31、a3 = 3 -1 2 0、亠Ta4 = 4- 3 1 1， ,(1 -1 2 4) , *2=(0 3 1 2

15、) , *3 = (3 0 7 14)， 匕珂1 -2 2 0)。r10 31 "10 3 1'(泌,也A d)0 3 3 -10 1100 1100 0 0 11<0 2 2410 0 0 0向量組的秩為3，最大線性無關(guān)組為1,2,4，且3=31)2.判斷下列向量組是否等價：1 1 1 ,a2 = -11 2, a 3 3 6 與 1 0 -1,2 = 1 - 2 4 - ,3=2 -1 -1.3 .設(shè)向量組引二-5 1- 3 - , a? = 1 5 3 -,a 3 3 - 3 -,問，為何值時，a1, a2, a3線性相 關(guān)。'為何值時,a1 , a2 ,

16、 a3線性無關(guān)。(，=0,或=4 ,或，=9 = 0,且.=4，且，=9)4 .設(shè) a廠11,a2=11,a3 二 3 - 2 ,已知-不能由a1 , a2, a3線性表示，求，。一2)5. 設(shè)向量組：1, ： 2, ： 3線性無關(guān)，又11 ： 2 一 2： 3 ,2 = 7-2 73 , 3=2 ,試證明：-1, - 2, - 3 線性無關(guān)。6 .設(shè)向量組：1 , :- 2 , 3線性無關(guān)，已知>2 + 2 3 ,1 2-3 , V = 21 2 + 3 3 ,試確定向量組-1、一: 2 >- 3線性相關(guān)性。7.判斷向量組r S, >2 g,3心1的相關(guān)性，已知（1）向量組

17、：1，: 2，: 3線性無關(guān)；（2）向量組：1，: 2，: 3線性相關(guān)。第五章相似矩陣及二次型主要結(jié)論1. 兩兩正交的非零向量一定線性無關(guān)。2. 正交矩陣的性質(zhì)A為n階正交矩陣=A可逆，并且A J = AA的列向量組是n維向量空間Rn的一個規(guī)范正交基二A的行向量組是n維向量空間Rn的一個規(guī)范正交基3.線性無關(guān)向量組的規(guī)范正交化設(shè) a1,a2,ar為向量空間V的一組基，施密特正交化方法令1 ,p _a-宀匕】忻 1, 1 1，則：1 ,： 2 / , ： r為向量空間V的一組正交基。規(guī)范化（單位化）e2er則ei, e2,，er為向量空間V的一組規(guī)范正交基。4. 特征值的性質(zhì)設(shè)1 , '

18、2，-n是n階方陣A的n個特征值，則二 ai1a22nn >1 >2 11卩 n = A 與A相關(guān)的方陣的特征值和特征向量:方陣A、 At特征值特征向量（屬丸）（屬丸）（屬 f。）(屬 2IA)A（屬丸）其中 f (A)二 a0 ai Aam A， f()二 ao aiam m 矩陣A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，特另I，當(dāng)A有n個不同的特征值時，A有n個線性無關(guān)的特 征向量。5. 相似矩陣定義：給定n階方陣A、B，若存在n階可逆方陣P，使PAP二B，貝淋A相似于B , P稱為相似變換矩陣。性質(zhì)：若A與B相似，則|kE-A=|hE-B，特征值也相同若A與B相似，則A二B

19、 , R（A）=R（B）6. 矩陣的相似對角化n階方陣A與對角矩陣相似(此時，稱 A能對角化)= A有n個線性無關(guān)的特征向量= A的每個ki重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為ki。推論：A有n個互異的特征值 =A能對角化。實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交。n階實(shí)對稱矩陣A一定能對角化，且一定存在正交矩陣使A能對角化。(AT=A-1)7. 二次型及其矩陣表示定義：含有n個變元Xi , X2，,Xn的二次齊次函數(shù)稱為二次型。上述二次型可用矩陣表示為f = x-Ax，其中ai1ai2a21a22XiX2,且A為實(shí)對稱矩陣，則稱<an1an2A為二次型f的矩陣。二、練習(xí)題1 .

20、設(shè)，是n階方陣A的一個特征值，求矩陣A2 , A2 5A- 3E的一個特征值。('2 ,2 5 - 3)若A可逆，求2E - A1 , (A )2 E的一個特征值。(“1， 2_ 2+ 1 )2 .已知3階方陣A的特征值為1,T,2，設(shè)B二A3 -5A2，求B , A -5E o(設(shè)f (x) = x3 - 5x2，則B= f (A)，故B的特征值為f 、f(1)、f(2),得設(shè) f(x) = x-5，貝U f(A) = A-5E , f(A)的特征值為 f(1)、f(1)、 f(2)，得A-5E| = |f(A) = f(1)f(-1)f(2)= -72 )J 2 0 0、3矩陣A與

21、矩陣B相似，其中A=2 x 2 ,i311丿I 0 0020 丨，求 x, y.(因 »E-A=|&E-B 得10 0 y丿5 a 1、0 、矩陣a =a 1 b ,與矩陣B =1J b 1丿< 24.,相似，求a,b . (B的特征值為0,1,2，因此得E-A=0, A = 0,得 a = 0.b 二 0 )5.設(shè)二(1,0,-1)丁,矩陣 A =T,n 為正整數(shù)，求 aE-An(A的特征值為0,0,2，故aE - An的特征值為a - 襯(i =1,2,3),即為 a,a,a -2n, aE - A* = a?(a -2“).)廣 122'6設(shè)A=224 ，

22、求a的特征值，特征向量。24-2丿-2I -1 I,P20丿20 I, P3=J丿1I-2 )27 .設(shè)'1，'2是n階方陣A的特征值，且12，而Xi和X2分別 對應(yīng)于1和2的兩個線性無關(guān)的特征向量，證明 X! + X2不 是A的特征向量8 .設(shè) 1=1 1 1 1,2=1 2 2 1,3=2 3 1 6 ,試用施密特正交化方法把它們化為規(guī)范正交基。r_2、-11-11- 11("21，e2 = 21,e35-1.)J丿l 0 1P3單位化得e 1/圧li/妃< 2丿2 0 0 9.設(shè)A= 0 3 2 |,判斷A能否對角化；若A能對角化，試<0 2 3將

23、P1、P2、1e210求一個正交矩陣P，使p'ap為對角陣。（因A為實(shí)對稱矩陣，故可對角化。廣0、入1 = 1 ,人2 = 2，九3=5，特征向量P1 =1,P2 =0 , P3 =10e3r 0 0 11/411,取 p=1/V201-1/V2 0012即為正交矩陣，有1 210 0、P，AP = 0 2 0。)<0 0 5丿001110.設(shè)A= x 1 y有三個線性無關(guān)的特征向量，求x與y應(yīng)0 0 一滿足的條件)(»-E - A = -x-10-12K-1_y =(扎 _1 )仏 +1) = 00 扎得到A的特征值為1 = '2=1，'3-1因此，=

24、1必有2個線性無關(guān)的特征向量，故r(E-A)=1_10-們10-11E A =-x0_y00_x _ y-1011 100011.已知二次型，有 x y = 0 )f (冬,*2，X3) = 4x23x3 4x1x4x1 x3 8x2x3，寫出二1.次型f的矩陣表達(dá)式f 02(f = X TAX，其中 A =244X =5x2)-24-3>g丿n(n-1川|321的逆序數(shù)為n)()判斷題:排列2. 設(shè)D為6階行列式，貝S a 61 a52a43a34a25a16是d中帶負(fù)號的項。( )3. 四階行列式中含因子623的項為811823834342和a”a23a32a444.5.&7.&9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.若矩陣A滿足A2 =0,則A=0若 A2 二 B2，貝卩 A = B 或 A =