1、重慶師范大學物理與電子工程學院學年論文 專業(yè)： 物理學（師范） 年級： 2012級 姓名： 尚俊霖 學號： 20120511346 導師： 毋志民 二一四年九月二十二日用牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑的數據處理方法尚俊霖 20120511346 物理學（師范）2012級摘要：牛頓環(huán)實驗是大學物理實驗中非常重要的實驗，以單色平行光投射到牛頓環(huán)裝置上，則由空氣膜上下表面反射的光波將互相干涉，形成的干涉條紋為博的等厚各點的軌跡，這種干涉是一種等厚干涉。處理該實驗的測量數據常采用逐差法，最小二乘法，加權平均以及其它方法。通過介紹用逐差法、線性回歸法、加權平均法處理牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑數據的方法和過程。比較三種實

2、驗數據處理方法的優(yōu)缺點,其中加權平均法既考慮了如何克服實驗的系統(tǒng)誤差,又能按照處理原則去對待非等精度測量,且建立在數理統(tǒng)計理論基礎上。該方法主要是比較相應的權,進而求出加權平均值,得出加權平均法為牛頓環(huán)實驗數據處理的最佳方法，但加權平均法中要計算的數據較多，公式較多，較傳統(tǒng)的方法要復雜的多。故探討如何簡化加權平均法，利用matlab軟件進行處理。關鍵字：牛頓環(huán)實驗、加權平均法、非等精度實驗數據的處理、干涉條紋 、加權平均值 引言：牛頓環(huán)是牛頓在1675年所做的著名實驗。牛頓環(huán)是等厚干涉的一種，它在光學計量、基本物理量測量等方面有廣泛的應用：用牛頓環(huán)測定光波的波長、透鏡曲率半

3、徑，用牛頓環(huán)來檢驗磨制透鏡的質量等。處理牛頓環(huán)的測量數據常采用逐差法，最小二乘法，加權平均以及其它方法，因為該實驗測量是非等精度的測量，逐差法可以很好的克服實驗的系統(tǒng)誤差，但是沒有按照數據的處理原則去對待非等精度的測量，該方法雖然被廣泛的使用，但是處理的結果并不是很理想，最小二乘法回避了非等精度性的困難，但是它沒有考慮實驗的系統(tǒng)誤差，所以用該方法來處理實驗得到的數據也不是很理想的。基于以上兩中方法的利弊，本實驗可以采用加權平均法來處理實驗數據，它既考慮了如何消除實驗的系統(tǒng)誤差，又按照了數據處理原則來處理非等精度的測量，因此它是處理牛頓環(huán)實驗數據的較為理想的方法。1實驗原理牛頓環(huán)儀是由待測平凸透

4、鏡l(曲率半徑約為200700 cm)和磨光的平玻璃板p疊合裝在金屬框架f中構成(如圖一)，框架上有三個螺旋h，用以調節(jié)l和p之間的接觸，改變干涉環(huán)紋的形狀和位置。調節(jié)h時，螺旋不可旋的過緊，以免接觸壓力過大引起透鏡彈性形變，甚至損壞透鏡。圖一 牛頓環(huán)儀 圖二測量原理 如圖二所示將曲率半徑很大的平凸透鏡的凸面放在一光學平面玻璃上，在透鏡和平面之間形成空氣膜，以平行單色光垂直照射時，經空氣膜層上，下兩表面反射的兩束光發(fā)生干涉，在空氣膜上表面出現一組干涉條紋。干涉條紋是以接觸點o為圓心的一系列同心圓環(huán)，稱為牛頓環(huán)。在圖中，設r為牛頓環(huán)某環(huán)的半徑，e為與該環(huán)對應的空氣膜層的厚度。考慮到光在空氣膜下表

5、面反射的光，是從光疏介質(空氣)入射到光密介質(玻璃)，有半波損失，而在空氣膜上表面反射的光，是從光密介質入射到光疏介質，無半波損失。所以在空氣膜上、下表面反射的兩束反射光的光程差為 (1)在直角三角形aoc中，有 從而得 考慮到e<<r, e跟r相比可以略去，即 (2) 代入（1）式，可得到 根據干涉相長和干涉相消的條件 可得明環(huán)半徑為 (3)暗紋半徑為 (4)必須指出，由于干涉條紋有一定寬度，上式中的r是第k級牛頓環(huán)的條紋中心到圓環(huán)中心的距離，根據二光相干時光強分布的理論計算可知，各級牛頓環(huán)的條紋寬度并不相同，k愈小，即距離環(huán)中心愈近，條紋愈粗，中心為一圓形暗斑。 將（4）式加

6、以變換，可得 (5)顯然，只要測出第k級暗紋的半徑rk，由已知波長即可根據上式算出曲率半徑r。但由于接觸壓力引起的彈性形變使接觸部位不是一個點而是一個小圓面， 圓環(huán)中心為一暗斑，使得中心難以找準，這樣，干涉級數k和第k級暗紋半徑rk都難以測準，另外，接觸面鏡面上可能有微小灰塵存在，會引起附加光程差，這會給測量帶來系統(tǒng)誤差。設dm、dn分別是第m級和第n級暗環(huán)的直徑，由式(4)可得到： (6) (7) 不難證明用上面的式子計算曲率半徑r可消除前面所述因素的影響，而且, 即使中心o未能找準，測量的d不是直徑而是牛頓環(huán)的弦長，也不產生原理性誤差。本實驗已知鈉光波長=5 8 9.3 nm，測出dm和d

7、n代入(6)式即可求出r。2 牛頓環(huán)干涉條紋的特點（1） 干涉圖樣是以接觸點為圓心的一組明、暗相間的同心圓環(huán)，有半波損失時，中間為一暗斑。（2） 從中心向外，條紋級數越來越高，條紋的間隔越來越密。（3）用白光照射將形成彩色光譜，對每一級光譜，紅色的在外圈，紫色的在內圈。（4） 增大透鏡與平板玻璃間的距離，膜的等厚線向中心收縮，則干涉圓環(huán)也向中心收縮（內陷），膜厚每改變 ，條紋就向外冒出（擴張）或向中心內陷一條。3 實驗數據處理：定義 為個相鄰牛頓換直徑平方差的測量精度，由誤差傳遞推倒可以得到：由此可見，當取不同的值的時候，也不同，所以該實驗是非等精度的測量，應該用加權平均法處理該實驗的數據，不

8、妨令，由于本實驗的，且相應的權重為，所以加權平均值為： ，很明顯，都是非等精度的測量值，其對應的權值分別為：，所以的均方差誤差為：，由此可見， ，最終的結果為： 3.1 加權平均法: r3=r3±r3=(1 271.1±0.2) mm 下面對這三種數據處理方法進行檢驗,選擇最優(yōu)的數據處理方法,檢驗方法較多,現選擇采用t分布檢驗9: t=x1-x2(n1-1)2 1+(n2-1)22(1/n1+1/n2) 式中:n1和n2分別為凸透鏡球面的上、下兩面的折射率,由于凸透鏡球面周圍都為空氣薄膜,故n1=n2,則令=n1+n2-2=2(n-1),從而有: t=（-r2)/(2r1+

9、2r2) 方法1與方法2比較計算,可得:t1=0.350;方法2與方法3比較計算,可得:t2=0.340。 若取顯著水平=10%,則置信率p=90%,=18,查t分布表可得10t=1.734,則|t1|=0.354<1.734,|t2|=0.340<1.734。 若取= 50 %,則p=50%,=18,查表得t=0.688,則|t1|=0.354<0.688,|t2|=0.340<0.688。 通過上面分析可以看出三種數據處理方法有如下特點: (1) 逐差法主要是圍繞如何克服實驗的系統(tǒng)誤差來進行的,是建立在算術計算的基礎上,但并不滿足非等精度測量實驗數據處理的條件,而牛

10、頓環(huán)干涉實驗是非等精度測量,故逐差法對于牛頓環(huán)實驗來說并不是一種理想的數據處理方法。 (2) 線性回歸法主要是為了避免非等精度測量的困難,但未考慮該次實驗中的系統(tǒng)誤差,所以線性回歸法對于牛頓環(huán)實驗來說也不是理想的數據處理方法。 (3) 加權平均法既考慮了如何克服實驗的系統(tǒng)誤差,又能按照處理原則去對待非等精度測量,且建立在數理統(tǒng)計理論基礎上,所以加權平均法是處理牛頓環(huán)實驗數據的最佳方法。3.2 實驗數據處理 程序function dp(d)l=d(1,:);n=numel(l);c=0.0002;x=0;m=20,k=2,h=5893*power(10,-7);s3=0;s4=0;for i=1

11、:n; a(i)=d(1,i)-d(2,i); b(i)=d(3,i)-d(4,i); x(i)=a(i)2-b(i)2; y(i)=a(i)2+b(i)2; p(i)=1/(c*y(i); endfor i=1:n;x=x+(p(i)*x(i)/sum(p(:);endfor i=i:n;s3=s3+p(i)*(x(i)-x)2;s4=s4+p(i);ends1=(s3/(s4*(n-1)0.5;r=x/(4*m*h*1000),s=k*s1/(4*m*h*1000),3.3 數據處理舉例環(huán)的級數（k）454443424140左環(huán)的位置/mm38.35338.27138.17638.0753

12、7.99437.901右環(huán)的位置/mm22.20622.38322.53122.64422.73222.834環(huán)的級數（k-m）252423222120左環(huán)的位置/mm36.32136.25636.14236.01435.88535.785右環(huán)的位置/mm24.16424.40624.52924.65624.78124.912表1：用牛頓環(huán)測量透鏡的曲率半徑實驗數據應用上述程序處理該實驗數據得到的結果為：m = 20k = 2r = 2.3502s = 0.0381 其中為該實驗所采用的級差，為不確定度的擴展系數，為側得的透鏡的曲率半徑的平均值，為不確定度。所以該透鏡的曲率半徑為： 3.4 程序的使用效果該程序使用起來比較簡單，做完實驗后只需要將實驗數據按表1的形式填入到表格中，然后將表格中的數據直接導入到中，運行程序就可以了，方便且易行。結束語：本文對牛頓環(huán)實驗數據加權平均法進行分析。逐差法在牛頓環(huán)干涉實驗中是一種常用的實驗處理方法,其原理簡單且便于理解,對它的實驗原理不用再做過多的敘述,但由于逐差法不滿足非等精度測量實驗數據的條件,而牛頓環(huán)干涉實驗就是一種非等精度測量,故該方法對于牛頓環(huán)干涉實驗并不是一種理想的實驗處理方法;線性回歸法先利用數值插值法對實驗數據進行處理,再利用最小二乘法將實驗數據擬合成一條直線函數,最后用matlab軟件計算出線性擬合系數b