1、1一、泰勒級數上節例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數在其收斂域內以f(x)為和函數問題問題: 1.如果能展開, 是什么?na2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數?第1頁/共27頁2n階泰勒公式階泰勒公式若函數 在 的某鄰域內具有 階導數 , )(xf0 x1n則在該)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 與 之間)0 x稱為拉格朗日余項拉格朗日余項 .此式稱為 的 階泰勒公式階泰勒公式 , )(xfn10) 1()(! ) 1()(

2、nnxxnf鄰域內有 :第2頁/共27頁3如果 在 的某鄰域內存在任意階導數 , )(xf0 x則稱下)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為 的泰勒級數泰勒級數 . )(xf列級數當 時, 泰勒級數變為 .00 x稱為麥克勞林級數麥克勞林級數 .)(0fxf)(0220 xf!)( nnxnf!)()(0第3頁/共27頁4待解決的問題待解決的問題 :1) 對此級數, 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數是否為?)(xf的的xexf)(麥克勞林級數麥克勞林級數nxnexexee)(!)(!)(222222222nnxne)(!20

3、2)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(處的泰勒級數處的泰勒級數在在如如2xexfx,)(nnxn01!nxnxx!12112第4頁/共27頁5定理定理 1各階導數, 設函數 在點 的某一鄰域 內具有0 x)(xf)(0 x則)(xf條件條件是)(xf的泰勒公式中的余項滿足0)(limxRnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要充要第5頁

4、/共27頁6定理定理2 若 能展成 x 的冪級數, 則這種展開式是)(xf唯一唯一的 , 且與它的麥克勞林級數相同.證證: 設),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn則在收斂區間內;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0(!1)(nnfna 顯然結論成立 .)0(0fa 第6頁/共27頁7二二. 函數展開成冪級數函數展開成冪級數1. 直接展開法直接展開法由上述泰勒級數理論可知 , )(xf第一步第一步 求函數及其各階導數在 x = 0 處的值 ;第二步第二步 寫出麥克勞林級數 , 并求出其收

5、斂半徑 R ;第三步第三步 判別在收斂區間),(RR是否)(limxRnn內為0 .函數展開成冪級數的步驟如下 :第7頁/共27頁8例例1. 將函將函數數)(xfxe展開成 x 的冪級數. 解解: )()(xfn,xe), 2, 1, 0(1) 0 ()(nfnxe1級數的收斂半徑為 ,R對任何有限數 x , 其余項有 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故xenxnxxx!1!31!21132 limnR!1n! ) 1(1nn0),(x( 在 0 與 x 之間 )x2!21x3!31xnxn!1nnxn01!第8頁/共27頁9)2sin(2) 12sin(kk例例2.

6、 將函將函數數xxfsin)(展開成 x 的冪級數. 解解: )()(xfn)0()(nfxsinx)2sin(nx級數的收斂半徑為 ,R對任何有限數 x , 其余項有 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxnkcosk) 1(12 kn),2, 1,0(k3!31x5!51x121! ) 12(1) 1(nnxn),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxxn0kn2,) 1(k,0第9頁/共27頁1022142221141211nnxnxxx! )()(!cos類似可推出類似可推出),(x),(x12153! ) 12(1)

7、1(!51!31sinnnxnxxxx1201211nnnxn! )()(nnnxn20211! )()(第10頁/共27頁11例例3. 將函數將函數mxxf)1 ()(展開成 x 的冪級數, 其中m 為任意常數 . 解解: 容易求出 ,1)0(f,)0(mf,) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是mx)1 ( mx12!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(由于1limnnnaaR!) 1() 1(nnmmman! ) 1()() 1(1nnmmman因此, 對任意常數)1, 1(nmnn1lim1級數在開區間內收斂 .m , 第11頁/共27頁

8、12為了避免研究余項為了避免研究余項 , 設此級數的和函設此級數的和函數為數為 11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx)(xmFmxxF)1 ()(,1)()(00 xxdxxmdxxFxF)1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(,F推導第12頁/共27頁13由此得由此得 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項展開式二項展開式 .說明：說明：1 . 在1x處的收斂性與m有關 . 2. 當 m 為正整數時, 級數為

9、x 的 m 次多項式, 上式就是代數學中的二項式定理二項式定理.nnxnnmmm011!)()(第13頁/共27頁14對應m,21,211的二項展開式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(x4xx2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x第14頁/共27頁152. 間接展開間接展開法法211x x11 利用一些已知的函數展開式及冪級數的運算性質, 將所給函數展開成 冪級數. 例例4. 將函數展開成 x 的冪級數.解解: nxx

10、x21)11(x把 x 換成 , 得2x211xnnxxx242) 1(1)11(x的展式的展式記住記住mxxxxexx)( ,cos,sin,:11111第15頁/共27頁16例例5. 將函將函數數)(xf)1ln(x展開成 x 的冪級數 .解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分xdxxxnnn00) 1()1ln(,1) 1(01nnnxn上式右端的冪級數在 收斂 ,1x而 在 有)1ln(x1x定義, 且連續 , 所以展開式對 也是成立的 , 于是收斂1x區間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x第16頁/共27頁176例

11、例.sin的冪級數的冪級數展成展成將將xxy2:解解xy22121cos0! )2(1) 1(2121nnnnx2)2(,! )()(nnnnxn21121221),(x:另解另解xxxy22sincossin12021211nnnxn)(! )()(dxxnynxnn)(! )()(120021211 ,! )()(nnnnxn21121221),(x第17頁/共27頁187例例的冪級數的冪級數展成展成將將xxxxf1212)(:解解)()(xxxf2121131111110 xxxnnn)(而而11110 xxxnn2122110 xxxnnn第18頁/共27頁19)()(xxxf2121

12、131(21nnnx01)()nnnx02nnnnx011321)(2121x第19頁/共27頁2012153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxxnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos例例8. 將將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級數. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x第20頁/共27頁21例例9. 將將3412 xx展成 的冪級數. 1x解解: )3)(1

13、(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1第21頁/共27頁2210例例.!的和函數的和函數求求nnnxnn0221:解解nnnxnnxS0221!)(nnxnnnn)(!)(211001221211221nnnnnnxnxnxn)(!)()!()()!(000221212212nnkkkkxnxkxxkx)(!)(!)(!)(22124xexx)(x第22頁/共27頁23內容小結內容小結1. 函數的冪級數展開法(1) 直接展開法利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法利用冪級數的性質及已知展開式的函數 .2. 常用函數的冪級數展開式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn第23頁/共27頁24! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmm,!) 1() 1(nxnnmmm當 m = 1 時x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1,