1、專題二解答重難點(diǎn)題型突破題型一實(shí)際應(yīng)用問題類型一一次函數(shù)與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1(2021·遼陽)某超市銷售櫻桃，櫻桃的進(jìn)價(jià)為15元/千克，如果售價(jià)為20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售價(jià)為25元/千克，那么每天可獲利2000元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天的銷售量y(千克)與售價(jià)x(元/千克)之間存在一次函數(shù)關(guān)系(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)櫻桃的售價(jià)不得高于28元/千克，請(qǐng)問售價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售櫻桃所獲的利潤最大？最大利潤是多少元？解：(1)當(dāng)x25時(shí)，y2000÷(2515)200(千克)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，把(20，250)(25，2

2、00)代入得解得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y10x450；(2)設(shè)每天獲利W元，W(x15)(10x450)10x2600x675010(x30)22250，a10<0，對(duì)稱軸為直線x30，在x28時(shí)，W隨x的增大而增大，當(dāng)x28時(shí)，W最大2210(元)，答：售價(jià)為28元時(shí)，每天獲最大利潤為2210元.2.(2021·安徽)某超市銷售一種商品，本錢為每千克40元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于本錢，且不高于80元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，局部數(shù)據(jù)如下表：售價(jià)x(元/千克)506070銷售量y(千克)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(

3、2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤收入本錢)；(3)試說明(2)中總利潤W隨售價(jià)x的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是多少？解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為ykxb，解得即y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y2x200；(2)由題意可得，W(x40)(2x200)2x2280x8000，即W與x之間的函數(shù)表達(dá)式是W2x2280x8000；(3)W2x2280x80002(x70)21800，40x80，當(dāng)40x70時(shí)，W隨x的增大而增大，當(dāng)70x80時(shí)，W隨x的增大而減小，當(dāng)x70時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W1800，答：當(dāng)40x70時(shí)，W隨x的

4、增大而增大，當(dāng)70x80時(shí)，W隨x的增大而減小，售價(jià)為70元時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是1800元3(2021·鐵嶺模擬)某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)120元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用，設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加10x元(x為整數(shù))(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)賓館每天的利潤為W元，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？(3)某日，賓館了解當(dāng)天的住宿情況，得到以下信息：當(dāng)日所獲利潤不低于5000元，賓館為游客居住

5、的房間共支出費(fèi)用沒有超過600元，每個(gè)房間剛好住滿2人問：這天賓館入住的游客人數(shù)最少有多少人？(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824232)解：(1)根據(jù)題意，得：y50x(0x50，且x為整數(shù))；(2)W(12010x20)(50x)10x2400x500010(x20)29000，a100當(dāng)x20時(shí)，W取得最大值，W最大值為9000元，答：當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)為320元時(shí)，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是9000元；(3)由10(x20)290005000，20(x50)600，解得20x40，房間數(shù)y50x，又10，y隨x的增大而減小，當(dāng)x40時(shí)，y的值最小，這天賓館入住的游客人數(shù)最少，最少人數(shù)為2y2(x50)

6、20(人)，答：這天賓館入住的游客人數(shù)最少有20人4(2021·湖州)湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，一次性收購了20000 kg淡水魚，方案養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同，放養(yǎng)10天的總本錢為30.4萬元；放養(yǎng)20天的總本錢為30.8萬元(總本錢放養(yǎng)總費(fèi)用收購本錢)(1)設(shè)每天的放養(yǎng)費(fèi)用是a萬元，收購本錢為b萬元，求a和b的值；(2)設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m(kg)，銷售單價(jià)為y元/kg.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知：m與t的函數(shù)關(guān)系為my與t的函數(shù)關(guān)系如下圖分別求出當(dāng)0t50和50t100時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售所

7、得利潤為W元，求當(dāng)t為何值時(shí)，W最大？并求出最大值(利潤銷售總額總本錢)解：(1)由題意，得：解得(2)當(dāng)0t50時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為yk1tn1，將(0，15)、(50，25)代入，得：解得：y與t的函數(shù)關(guān)系式為yt15；當(dāng)50t100時(shí)，設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為yk2tn2，將點(diǎn)(50，25)、(100，20)代入，得：解得：y與t的函數(shù)關(guān)系式為yt30；由題意，當(dāng)0t50時(shí)，W20000(t15)(400t300000)3600t，36000，當(dāng)t50時(shí)，W最大180000(元)；當(dāng)50t100時(shí)，W(100t15000)(t30)(400t300000)10t21100t15000

8、010(t55)2180250，100，當(dāng)t55時(shí)，W最大180250(元)，綜上所述，放養(yǎng)55天時(shí)，W最大，最大值為180250元5(2021·丹東)某超市銷售一種本錢為每臺(tái)20元的臺(tái)燈，規(guī)定銷售單價(jià)不低于本錢價(jià)，又不高于每臺(tái)32元，銷售中平均每月銷售量y(臺(tái))與銷售單價(jià)x(元)的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)，如下表所示：x22242628y90807060(1)請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)為了實(shí)現(xiàn)平均每月375元的臺(tái)燈銷售利潤，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)每月應(yīng)購進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？(3)設(shè)超市每月臺(tái)燈銷售利潤為w(元)，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x取何值時(shí)，w的值最大？

9、最大值是多少？解：(1)y5x200；(2)根據(jù)題意可得：(x20)(5x200)375，解得：x135>32舍去，x225，代入y5x200得y75，答：這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為25元/臺(tái)，這時(shí)應(yīng)購進(jìn)臺(tái)燈75臺(tái)；(3)w(x20)(5x200)5x2300x40005(x30)2500，a5<0，當(dāng)x30時(shí)，w最大500元. 類型二方程、不等式的實(shí)際應(yīng)用1(2021·益陽)我市南縣大力開展農(nóng)村旅游事業(yè)，全力打造“洞庭之心濕地公園，其中羅文村的“花海、涂鴉、美食特色游享譽(yù)三湘，游人如織去年村民羅南洲抓住機(jī)遇，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，投入20萬元?jiǎng)?chuàng)辦農(nóng)家樂(餐飲住宿)，一年時(shí)間就收回投資的8

10、0%，其中餐飲利潤是住宿利潤的2倍還多1萬元(1)求去年該農(nóng)家樂餐飲和住宿的利潤各為多少萬元？(2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤全部用于繼續(xù)投資，增設(shè)了土特產(chǎn)的實(shí)體店銷售和網(wǎng)上銷售工程他在接受記者采訪時(shí)說：“我預(yù)計(jì)今年餐飲和住宿的利潤比去年會(huì)有10%的增長，加上土特產(chǎn)銷售的利潤，到年底除收回所有投資外，還將獲得不少于10萬元的純利潤請(qǐng)問今年土特產(chǎn)銷售至少有多少萬元的利潤？(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824233)解：(1)設(shè)去年餐飲利潤x萬元，住宿利潤y萬元，依題意得：解得：答：去年餐飲利潤11萬元，住宿利潤5萬元；(2)設(shè)今年土特產(chǎn)利潤m萬元，依題意得：1616×(110%)m201110，解得，m

11、7.4，答：今年土特產(chǎn)銷售至少有7.4萬元的利潤2某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺(tái)GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成工廠現(xiàn)有80名工人，每個(gè)工人每天能加工6個(gè)G型裝置或3個(gè)H型裝置工廠將所有工人分成兩組同時(shí)開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G，H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品(1)按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品？(2)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)，工廠決定補(bǔ)充一些新工人，這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工，且每人每天只能加工4個(gè)G型裝置請(qǐng)問至少需要補(bǔ)充多少名新工人？解：(1)設(shè)有x名工人加工G型裝置，那么有

12、(80x)名工人加工H型裝置，根據(jù)題意，解得x32，那么6×32÷448(套)，答：每天能組裝48套GH型電子產(chǎn)品；(2)設(shè)補(bǔ)充a名新工人加工G型裝置仍設(shè)x名工人加工G型裝置，(80x)名工人加工H型裝置，根據(jù)題意，整理可得，x，另外，注意到80x，即x20，于是20，解得：a30，答：至少需要補(bǔ)充30名新工人3(2021·寧波)2021年5月14日至15日，“一帶一路國際合作頂峰論壇在北京舉行，本屆論壇期間，中國同30多個(gè)國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議，某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路沿線國家和地區(qū)2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同，3件甲種商品比2

13、件乙種商品的銷售收入多1500元(1)甲種商品與乙種商品的銷售單價(jià)各多少元？(2)假設(shè)甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元，那么至少銷售甲種商品多少萬件？(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824234)解：(1)設(shè)甲種商品的銷售單價(jià)為x元，乙種商品的銷售單價(jià)為y元，依題意有解得答：甲種商品的銷售單價(jià)為900元，乙種商品的銷售單價(jià)為600元；(2)設(shè)銷售甲種商品a萬件，依題意有900a600(8a)5400，解得a2，答：至少銷售甲種商品2萬件4(2021·無錫)某地新建的一個(gè)企業(yè)，每月將生產(chǎn)1960噸污水，為保護(hù)環(huán)境，該企業(yè)方案購置污水處理器，并在如下兩個(gè)型號(hào)中選擇：污水處理器型號(hào)A型B型處理污水

14、能力(噸/月)240180商家售出的2臺(tái)A型、3臺(tái)B型污水處理器的總價(jià)為44萬元，售出的1臺(tái)A型、4臺(tái)B型污水處理器的總價(jià)為42萬元(1)求每臺(tái)A型、B型污水處理器的價(jià)格；(2)為確保將每月產(chǎn)生的污水全部處理完，該企業(yè)決定購置上述的污水處理器，那么他們至少要支付多少錢？解：(1)設(shè)每臺(tái)A型污水處理器的價(jià)格是x萬元，每臺(tái)B型污水處理器的價(jià)格是y萬元，依題意有解得答：每臺(tái)A型污水處理器的價(jià)格是10萬元，每臺(tái)B型污水處理器的價(jià)格是8萬元；(2)購置9臺(tái)A型污水處理器，費(fèi)用為10×990(萬元)；購置8臺(tái)A型污水處理器、1臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×8880888(萬元)；購置7

15、臺(tái)A型污水處理器、2臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×78×2701686(萬元)；購置6臺(tái)A型污水處理器、3臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×68×3602484(萬元)；購置5臺(tái)A型污水處理器、5臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×58×5504090(萬元)；購置4臺(tái)A型污水處理器、6臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×48×6404888(萬元)；購置3臺(tái)A型污水處理器、7臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×38×7305686(萬元)；購置2臺(tái)A型污水處理器、9臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×28

16、15;9207292(萬元)；購置1臺(tái)A型污水處理器、10臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為10×18×10108090(萬元)；購置11臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用為8×1188(萬元)故購置6臺(tái)A型污水處理器、3臺(tái)B型污水處理器，費(fèi)用最少答：他們至少要支付84萬元類型三方程、不等式與函數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用1(2021·泰州)怡然美食店的A，B兩種菜品，每份本錢均為14元，售價(jià)分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營業(yè)額共為1120元，總利潤為280元(1)該店每天賣出這兩種菜品共多少份？(2)該店為了增加利潤，準(zhǔn)備降低A種菜品的售價(jià)，同時(shí)提高B種菜品的售價(jià)，售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，

17、A種菜品售價(jià)每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價(jià)每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少？解：(1)設(shè)該店每天賣出A、B兩種菜品分別為x、y份，根據(jù)題意得，解得：答：該店每天賣出這兩種菜品共60份；(2)設(shè)A種菜品售價(jià)降0.5a元，即每天賣(20a)份；總利潤為w元，因?yàn)閮煞N菜品每天銷售總份數(shù)不變，所以B種菜品每天賣(40a)份，每份售價(jià)提高0.5a元w(20140.5a)(20a)(18140.5a)(40a)(60.5a)(20a)(40.5a)(40a)(0.5a24a120)(0.5a216a160)a212a280(a6)231

18、6，當(dāng)a6時(shí)，w最大，此時(shí)w316.答：這兩種菜品一天的總利潤最多是316元，2(2021·本溪)某種商品的進(jìn)價(jià)為40元/件，以獲利不低于25%的價(jià)格銷售時(shí)，商品的銷售單價(jià)y(元/件)與銷售數(shù)量x(件)(x是正整數(shù))之間的關(guān)系如下表：x(件)5101520y(元/件)75706560(1)由題意知商品的最低銷售單價(jià)是_50_元，當(dāng)銷售單價(jià)不低于最低銷售單價(jià)時(shí)，y是x的一次函數(shù)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；(2)在(1)的條件下，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，所獲銷售利潤最大，最大利潤是多少元？(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824235)解：(1)設(shè)ykxb，根據(jù)題意得：解得根據(jù)題意得：1x30且x為

19、整數(shù)，yx80(0x30，且x為整數(shù))；(2)設(shè)所獲利潤為P元，根據(jù)題意得：P(y40)x(x8040)x(x20)2400，a10，P有最大值，當(dāng)x20時(shí)，P最大400，此時(shí)y60，當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，所獲最大利潤為400元3(2021·鄂州)鄂州某個(gè)體商戶購進(jìn)某種電子產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)是50元/個(gè)，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)售價(jià)是80元/個(gè)時(shí)，每周可賣出160個(gè)，假設(shè)銷售單價(jià)每個(gè)降低2元，那么每周可多賣出20個(gè)設(shè)銷售價(jià)格每個(gè)降低x元(x為偶數(shù))，每周銷售為y個(gè)(1)直接寫出銷售量y個(gè)與降價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)商戶每周獲得的利潤為W元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每周銷售利潤最大，最大利潤是

20、多少元？(3)假設(shè)商戶方案下周利潤不低于5200元的情況下，他至少要準(zhǔn)備多少元進(jìn)貨本錢？解：(1)依題意有：y10x160；(2)依題意有：W(8050x)(10x160)10(x7)25290，100，x為偶數(shù)，x6或8時(shí)，W有最大值，W最大5280.故當(dāng)銷售單價(jià)定為80674元或80872元時(shí)，每周銷售利潤最大，最大利潤是5280元；(3)依題意有：10(x7)252905200，解得4x10，那么200y260，200×5010000(元)，答：他至少要準(zhǔn)備10000元進(jìn)貨本錢4(2021·長春)甲、乙兩車間同時(shí)開始加工一批服裝從開始加工到加工完這批服裝甲車間工作了9

21、小時(shí)，乙車間在中途停工一段時(shí)間維修設(shè)備，然后按停工前的工作效率繼續(xù)加工，直到與甲車間同時(shí)完成這批服裝的加工任務(wù)為止設(shè)甲、乙兩車間各自加工服裝的數(shù)量為y(件)甲車間加工的時(shí)間為x(時(shí))，y與x之間的函數(shù)圖象如下圖(1)甲車間每小時(shí)加工服裝件數(shù)為_80_件；這批服裝的總件數(shù)為_1140_件；(2)求乙車間維修設(shè)備后，乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)求甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時(shí)甲車間所用的時(shí)間解：(2)乙車間每小時(shí)加工服裝件數(shù)為120÷260(件)，乙車間修好設(shè)備的時(shí)間為9(420120)÷604(時(shí)). 乙車間維修設(shè)備后，乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間

22、的函數(shù)關(guān)系式為y12060(x4)60x120(4x9)；(3)甲車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y80x，當(dāng)80x60x1201000時(shí)，x8.答：甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時(shí)甲車間所用的時(shí)間為8小時(shí)5(2021·咸寧)某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品，該產(chǎn)品的本錢價(jià)為6元/件，該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期一個(gè)月(30天)的試營銷，售價(jià)為8元/件，工作人員對(duì)銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，并將記錄情況繪成圖象，圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系，線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中，時(shí)間每增加1天，日銷售量減少5件(1)第24天的日銷售量是

23、_330_件，日銷售利潤是_660_元；(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有多少天？試銷售期間，日銷售最大利潤是多少元？(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824236)解：(2)設(shè)線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為ykx，將(17，340)代入ykx中，34017k，解得：k20，線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y20x；根據(jù)題意得：線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y3405(x22)5x450.聯(lián)立兩線段所表示的函數(shù)關(guān)系式得，解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(18，360)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y(3)當(dāng)0x18時(shí)，根據(jù)題意得：(86)×

24、;20x640，解得：18x16；當(dāng)18x30時(shí)，根據(jù)題意得：(86)×(5x450)640，解得：18x26.16x26.2616111(天)，日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有11天；點(diǎn)D的坐標(biāo)為(18，360)，日最大銷售量為360件，360×2720(元)，試銷售期間，日銷售最大利潤是720元6(2021·隨州)某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤，并且兩次降價(jià)的百分率相同(1)求該種水果每次降價(jià)的百分率；(2)從第一次降價(jià)的第1天算起，第x天(x為整數(shù))的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損消耗用的相關(guān)信息如表所示該種水果的

25、進(jìn)價(jià)為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元)，求y與x(1x15)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時(shí)銷售利潤最大？時(shí)間x(天)1x99x15x15售價(jià)(元/斤)第1次降價(jià)后的價(jià)格第2次降價(jià)后的價(jià)格銷量(斤)803x120x儲(chǔ)存和損消耗用(元)403x3x264x400(3)在(2)的條件下，假設(shè)要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元，那么第15天在第14天的價(jià)格根底上最多可降多少元？解：(1)設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率是x，依題意有10(1x)28.1，解得x10%或x190%(舍去)，答：該種水果每次降價(jià)的百分率是10%；(2)當(dāng)1x9時(shí)，第1次降價(jià)后的價(jià)格：10

26、×(110%)9，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352，17.70，y隨x的增大而減小，當(dāng)x1時(shí)，y有最大值，y最大17.7×1352334.3(元)，當(dāng)9x15時(shí)，第2次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x803(x10)2380，30，當(dāng)9x10時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)10x15時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x10時(shí)，y有最大值，y最大380(元)，綜上所述，y與x(1x15)之間的函數(shù)關(guān)系式為：y第10天時(shí)銷售利潤最大；(3)設(shè)第15天在第14天的價(jià)格根底上最多可降a元，由題意得：380127.5(4

27、a)(12015)(3×15264×15400)，2525105(4a)115，解得a0.5.答：第15天在第14天的價(jià)格根底上最多可降0.5元題型二幾何圖形探究題類型一與三角形、四邊形有關(guān)的探究題1(2021·成都)問題背景：如圖，等腰ABC中，ABAC，BAC120°，作ADBC于點(diǎn)D，那么D為BC的中點(diǎn)，BADBAC60°，于是.遷移應(yīng)用：如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD.求證：ADBAEC；請(qǐng)直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖，在菱形AB

28、CD中，ABC120°，在ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF.證明CEF是等邊三角形；假設(shè)AE5，CE2，求BF的長圖圖圖遷移應(yīng)用：證明：BACDAE120°，DABCAE，在DAB和EAC中，DABEAC；解：CDADBD；拓展延伸：證明：如解圖，作BHAE于點(diǎn)H，連接BE.四邊形ABCD是菱形，ABC120°，ABD，BDC是等邊三角形，BABDBC，E、C關(guān)于BM對(duì)稱，BCBEBDBA，F(xiàn)EFC，A、D、E、C四點(diǎn)共圓，ADCAEC120°，F(xiàn)EC60°，EFC是等邊三角形，解：AE5

29、，ECEF2，AHHE2.5，F(xiàn)H4.5，在RtBHF中，BFH30°，cos30°，BF3.2(2021·沈陽)四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG(點(diǎn)D，點(diǎn)F在直線CE的同側(cè))，連接BF.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF的長；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE1；求點(diǎn)F到AD的距離；求BF的長；(3)假設(shè)BF3，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE的長(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824237)解：(1)作FHAB于點(diǎn)H，如解圖所示：那么FHE90°，四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，ADCD4，EFC

30、E，ADCDAHBADCEF90°，F(xiàn)EHCED，在EFH和CED中，EFHCED(AAS)，F(xiàn)HCD4，AHAD4，BHABAH8，BF4；(2)過F作FHAD交AD的延長線于點(diǎn)H，作FMAB交BA延長線于點(diǎn)M，如解圖所示：那么FMAH，AMFH，AD4，AE1，DE3，同(1)得：EFHCED(AAS)，F(xiàn)HDE3，EHCD4，即點(diǎn)F到AD的距離為3；BMABAM437，F(xiàn)MAEEH5，BF；(3)AE的長為1或2.圖圖3(2021·長春改編)【再現(xiàn)】如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DEBC，且DEBC.(不需要證明)【探究】如圖，在四邊形A

31、BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明；【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：_ACBD_(只添加一個(gè)條件)；(2)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.假設(shè)AOOC，四邊形ABCD面積為5，求陰影局部圖形的面積解：【探究】平行四邊形【應(yīng)用】(2)如解圖，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，F(xiàn)，G是BC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CFGCBD，SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，

32、四邊形ABCD面積為5，SBCDSABD5，SCFGSAEH，同理：SDHGSBEF，S四邊形EFGHS四邊形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)5，設(shè)AC與FG，EH相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N，EF與BD相交于點(diǎn)P，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CMOMOC，同理：ANONOA，OAOC，OMON，易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是平行四邊形，S陰影S四邊形EFGH.類型二與圖形的變換結(jié)合的探究題1(2021·營口)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且EFAB.(1)假設(shè)四邊形ABCD為正方形如圖，請(qǐng)直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系_DFAE_；將EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針

33、旋轉(zhuǎn)到圖所示的位置，連接AE，DF，猜測AE，DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖，假設(shè)四邊形ABCD為矩形，BCmAB，其他條件都不變，將EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°90°)得到EBF，連接AE，DF，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出草圖，并直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系解：(1)DFAE.理由如下：EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，ABEDBF，ABEDBF，即DFAE；(2)如解圖，四邊形ABCD為矩形，ADBCmAB，BDAB，EFAB，EFAD，BEFBAD，EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°90°)得到EBF，ABEDBF，BEBE，BFBF，ABEDBF，即DFAE.2(202

34、1·濰坊)邊長為6的等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DEAB，EC2.(1)如圖，將DEC沿射線EC方向平移，得到DEC，邊DE與AC的交點(diǎn)為M，邊CD與ACC的角平分線交于點(diǎn)N，當(dāng)CC多大時(shí)，四邊形MCND為菱形？并說明理由；(2)如圖，將DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(0°360°)，得到DEC，連接AD，BE.邊DE的中點(diǎn)為P.在旋轉(zhuǎn)過程中，AD和BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD的值(結(jié)果保存根號(hào))(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824238)圖圖解：(1)當(dāng)CC時(shí)，四邊形MCND是菱形理由：由平移的性質(zhì)得，CDCD，DEDE，ABC是等邊三角形，

35、BACB60°，ACC180°ACB120°，CN是ACC的角平分線，NCCACC60°BDEC，DECN，四邊形MCND是平行四邊形，MECMCE60°，NCCNCC60°，MCE和NCC是等邊三角形，MCCE，NCCC，四邊形MCND是菱形，CNCM，CECC.又ECEC2，CCEC；(2)ADBE.理由：當(dāng)180°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ACDBCE，由(1)知，ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE，當(dāng)180°時(shí)，ADACCD，BEBCCE，即：ADBE，綜上可知：ADBE.如解圖，連接CP，在ACP中，由

36、三角形三邊關(guān)系得，APACCP，當(dāng)點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，如解圖，在DCE中，由P為DE的中點(diǎn)，得APDE，PD，CP3，AP639，在RtAPD中，由勾股定理得，AD2.圖圖3(2021·葫蘆島)如圖，MAN60°，AP平分MAN，點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng)，連接BC，將ABC(0°<ABC<120°)的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí)請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；請(qǐng)?zhí)骄烤€段AC、AD和BE的

37、數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長線上時(shí)，BC交射線AM于點(diǎn)F，假設(shè)AB4，AC，請(qǐng)直接寫出AD和DF的長圖圖解：(1)BCBD；ACADBE，證明如下：如解圖，過點(diǎn) B作BHAE于點(diǎn)H，MAN60°，AP平分MAN，12MAN30°，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，CBDABE120°，CBDABDABEABD，即：34，ABE120°，130°5180°ABE130°，51，BABE，5230°，34，ABCEBD，ACD

38、E，ACADDEADAE，BHAE于點(diǎn)H，BABE，AHEHAE，530°，EHBE·cos30°BE，即：AEBE，AEBE，ACADBE；(2)AD5，DF.4(2021·河南)如圖，在RtABC中，A90°，ABAC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，ADAE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)(1)觀察猜測圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是_PMPN_，位置關(guān)系是_PMPN_；(2)探究證明把ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接MN，BD，CE，判斷PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，

39、假設(shè)AD4，AB10，請(qǐng)直接寫出PMN面積的最大值解：(2)由旋轉(zhuǎn)知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，ABDACE，BDCE，同(1)的方法，利用三角形的中位線得，PNBD，PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PMCE，DPMDCE，同(1)的方法得，PNBD，PNCDBC，DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC，BAC90°，ACBABC90°，MPN90°，PMN是等腰直角三角形；(3)如解圖，同(2)的方法得，PMN是等腰

40、直角三角形，MN最大時(shí)，PMN的面積最大，在AMN中，MN<AMAN，當(dāng)A、M、N共線時(shí)MN最大DEBC且DE在頂點(diǎn)A上面，MN最大AMAN，連接AM，AN，在ADE中，ADAE4，DAE90°，AM2，在RtABC中，ABAC10，AN5，MN最大257，SPMN最大PM2××MN2×(7)2.類型三 動(dòng)點(diǎn)問題1(2021·撫順)如圖，OF是MON的平分線，點(diǎn)A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且PQOA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB.(1)如圖，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線

41、ON上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時(shí)，線段AB，PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系？假設(shè)存在，請(qǐng)寫出證明過程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由； (3)如圖，MON60°，連接AP，設(shè)k，當(dāng)P和Q兩點(diǎn)都在射線ON上移動(dòng)時(shí)，k是否存在最小值？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出k的最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由 解：(1)ABPB；(2)存在理由：如解圖，連接BQ，BC垂直平分OQ，BQOB，BQCBOC，OF平分MON，MOFNOF，NOFBOC，BQCMOF，180°BQC180°MOF，AOBBQP，又PQAO，BQPBOA，

42、ABPB；(3)存在最小值，k最小值0.5.2(2021·宜昌)正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)O是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B，C不重合)，以O(shè)為頂點(diǎn)在BC所在直線的上方作MON90°.(1)當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，請(qǐng)直接填空：ON_不可能_(可能，不可能)過D點(diǎn)；(圖僅供分析)如圖，在ON上截取OEOA，過E點(diǎn)作EF垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)F，作EHCD于點(diǎn)H，求證：四邊形EFCH為正方形；(2)當(dāng)OM不過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)OM交邊AB于點(diǎn)G，且OG1.在ON上存在點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PK垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)K，使得SPKO4SOBG，連接GP，求四邊形PKBG的最大面積(導(dǎo)學(xué)號(hào)5882423

43、9)解：(1)EHCD，EFBC，EHCEFC90°，且HCF90°，四邊形EFCH為矩形，MON90°，EOF90°AOB，在正方形ABCD中，BAO90°AOB，EOFBAO，在OFE和ABO中，OFEABO(AAS)，EFOB，OFAB，又OFCFOCABBCBOOCEFOC，CFEF，四邊形EFCH為正方形；(2)如解圖，POKOGB，PKOOBG，PKOOBG，SPKO4SOBG，()24，OP2，SPOGOG·OP×1×21，設(shè)OBa，BGb，那么a2b2OG21，b，SOBGaba.當(dāng)a2時(shí)，OBG面

44、積有最大值，此時(shí)SPKO4SOBG1，四邊形PKBG的最大面積為11.3(2021·沈陽模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD6，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)秒后，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以與點(diǎn)Q相同的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，將APQ沿直線PQ翻折，得到EPQ.(1)用含t的代數(shù)式表示：AP_6t_；AQ_t_；(2)連接BD，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQEBDC時(shí)，求t的值；(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，PQE能否等于ABD的一半？如果能，求出此時(shí)的t的值；如果不能，請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù)：1.4，1.7，2.2)解：(2)將APQ沿直線P

45、Q翻折，得到EPQ，PQAPQE，當(dāng)PQEBDC時(shí)，PQABDC，即，解得t；(3)不能理由如下：如解圖，延長AB至點(diǎn)M，使BMBD，連接DM，BMBD，BDMBMD，ABDBDMBMD，BDMBMDABD，當(dāng)PQEABD時(shí)，PQEPQA，PQABMDABD，PQDM，在RtBCD中，BD3，BMBD3，解得t3.5，0t.所以在運(yùn)動(dòng)過程中，PQE不能等于ABD的一半題型三二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型一與圖形判定結(jié)合1(2021·盤錦)如圖，直線y2x4交y軸于點(diǎn)A，交拋物線yx2bxc于點(diǎn)B(3，2)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(1，0)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作PEDB交DB所

46、在直線于點(diǎn)E.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)PDE為等腰直角三角形時(shí)，求出PE的長及P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，連接PB，將PBE沿直線AB翻折，直接寫出翻折后點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)備用圖備用圖解：(1)拋物線的解析式為yx2x2；(2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，BDx軸，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，那么設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，p2p2)，PEBD，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(p，2)，DE|p|，PE|p2p2(2)|p2p|，PDE是等腰直角三角形，PEDE，|p2p|p|，當(dāng)p2pp時(shí)，解得p0或p5，當(dāng)p2pp時(shí)，解得p0或p1，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為(5，3)，此時(shí)PE5，或(

47、1，3)，此時(shí)PE1；(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，3)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，2)，此時(shí)BE2，如解圖，過E作EFAB于F，延長EF到R，使得FREF，那么點(diǎn)R為點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，即為所求點(diǎn)過R作RGDE于G.點(diǎn)A是直線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，AD6，BD3，AB3，BF，tanEBFtanABD2，EF，ER，易得REGBAD，EG2GR，GR，GE，DG5，此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，)；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)，過點(diǎn)E作EFAB于F，延長EF到R使得EFFR，過R作RGBD于G，同上，易得BE2，GR，GE，DG，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，)綜上可得，翻折后點(diǎn)E的對(duì)

48、稱點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)圖圖2(2021·本溪 )如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2bxc與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B(3，0)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線AC與拋物線的另一交點(diǎn)為C(4，)，與y軸交點(diǎn)為D，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，C重合)(1)求該拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P作PEAC，垂足為E，作PFy軸交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段EF的長度為m，求m與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824240)解：(1)該拋物線解析式為yx2x；(2)令y0得x

49、2x0，解得x11，x23，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)C(4，)，直線AC的解析式為yx.點(diǎn)D是直線AC與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，)在RtAOD中，OA1，OD，由勾股定理得AD，cosADO.PFy軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，且點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)F在直線AC上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t，t)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2t)，點(diǎn)F在點(diǎn)P的上方，PFt(t2t)t2t2.PFy軸，PFEODA，cosPFEcosODA，mPFt2t；(3)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)或(1，1)或(1，1)或(2，1)或(，1)類型二與線段問題結(jié)合1(2021·武漢)點(diǎn)A(1，1)、B(4，6)在拋物線yax2bx上(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)(m2)，直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FHAE；(3)如圖，直線AB分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM2PM，直接寫出t的值圖圖(1)