1、運(yùn)動(dòng)路徑一填空題（共6小題）1（2010南京）如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG（1）設(shè)AE=x時(shí)，EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）E、A重合時(shí)，三角形EFG的底和高都等于正方形的邊長，由此可得到其面積；E、A不重合時(shí)；易證得AEMFDM，則EM=

2、FM，由勾股定理易求得EM的長，即可得出EF的長；下面求MG的長，過M作MNBC于N，則AB=MN=2AM，由于AME和NMG同為EMN的余角，由此可證得AEMNGM，根據(jù)相似三角形得到的關(guān)于AM、MN、EM、MG的比例關(guān)系式，即可求得MG的表達(dá)式，進(jìn)而可由三角形的面積公式求出y、x的函數(shù)關(guān)系式；（2）可分別作出E、A重合和E、B重合時(shí)P點(diǎn)的位置（即P為A與E重合時(shí)得到的對應(yīng)點(diǎn)，P為E與B重合時(shí)的對應(yīng)點(diǎn)），此時(shí)可發(fā)現(xiàn)PP正好是EGG的中位線，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為GG的一半；RtBMG中，MGBG，易證得MBG=GMG，根據(jù)MBG的正切值即可得到GG、GM（即正方形的邊長）的比例關(guān)系，由此得解解答

3、：解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0，y=22=2當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0x2在正方形ABCD中，A=ADC=90MDF=90，A=MDF在AME和DMF中，推薦精選AMEDMF（ASA）ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2ME=2過M作MNBC，垂足為N（如圖）則MNG=90，AMN=90，MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90EMG=90GMN+EMN=90AME=GMNRtAMERtNMG=，即=MG=2ME=2y=EFMG=22=2x2+2y=2x2+2，其中0x2；（2）如圖，PP即為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；在RtBMG中，MGBG；MBG=GMG=90BMG

4、；tanMBG=2，tanGMG=tanMBG=2；GG=2MG=4；MGG中，P、P分別是MG、MG的中點(diǎn)，PP是MGG的中位線；PP=GG=2；即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長為2推薦精選點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識；綜合性強(qiáng)，難度較大2（2012福州）如圖1，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PDBC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

5、為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=82t，PD=t（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由并探究如何改變Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)綜合題；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有推薦精選專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，PDBC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；（2）易得APDACB，即可求得

6、AD與BD的長，由BQDP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí)DP與BD的長，由DPBD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）設(shè)E是AC的中點(diǎn)，連接ME當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，運(yùn)動(dòng)停止設(shè)此時(shí)PQ的中點(diǎn)為F，連接EF，由PMNPQC利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案解答：解：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，QB=82t，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，PDBC，APD=90，tanA=，PD=t故答案為：（1）82t，t（2）不存在在Rt

7、ABC中，C=90，AC=6，BC=8，AB=10PDBC，APDACB，即，AD=t，BD=ABAD=10t，BQDP，當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即82t=，解得：t=當(dāng)t=時(shí)，PD=，BD=10=6，DPBD，PDBQ不能為菱形設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，推薦精選則BQ=8vt，PD=t，BD=10t，要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，當(dāng)PD=BD時(shí)，即t=10t，解得：t=當(dāng)PD=BQ，t=時(shí)，即=8，解得：v=當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長度時(shí)，經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形（3）如圖2，以C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系依題意，可知0t

8、4，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)t=4時(shí)點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，4）設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b，解得，直線M1M2的解析式為y=2x+6點(diǎn)Q（0，2t），P（6t，0）在運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)（，t）把x=代入y=2x+6得y=2+6=t，點(diǎn)M3在直線M1M2上過點(diǎn)M2作M2Nx軸于點(diǎn)N，則M2N=4，M1N=2M1M2=2線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的應(yīng)用此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3（2010桂林）如圖：已知AB=10，點(diǎn)C、

9、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊AEP和等邊PFB，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長是3推薦精選考點(diǎn)：梯形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：動(dòng)點(diǎn)型分析：分別延長AE、BF交于點(diǎn)H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線MN再求出CD的長，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長度即可解答：解：如圖，分別延長AE、BF交于點(diǎn)HA=FPB=60，AHPF，B=EPA=60，BHPE，四邊形EPFH為平行四邊形，EF與HP互相平分G為EF的中點(diǎn)，G

10、正好為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線MNCD=1022=6，MN=3，即G的移動(dòng)路徑長為3點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問題，是中考的熱點(diǎn)4（2013桂林）如圖，已知線段AB=10，AC=BD=2，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設(shè)正方形對角線的交點(diǎn)分別為O1、O2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段O1O2中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長是3推薦精選考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；軌跡菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進(jìn)而得出線段O1O2中點(diǎn)G的

11、運(yùn)動(dòng)路徑的長解答：解：如圖所示：當(dāng)P移動(dòng)到C點(diǎn)以及D點(diǎn)時(shí)，得出G點(diǎn)移動(dòng)路線是直線，利用正方形的性質(zhì)即線段O1O2中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長就是O2O的長，線段AB=10，AC=BD=2，當(dāng)P與C重合時(shí)，以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，AP=2，BP=8，則O1P=，O2P=4，O2P=O2B=4，當(dāng)P與D重合，則PB=2，則AP=8，OP=4，OP=，HO=BO=，O2O=4=3故答案為：3點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出G點(diǎn)移動(dòng)的路線是解題關(guān)鍵推薦精選5（2014義烏市）等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE

12、相交于點(diǎn)P（1）若AE=CF；求證：AF=BE，并求APB的度數(shù)；若AE=2，試求APAF的值；（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）證明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案點(diǎn)

13、F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)B向AC做的垂線段的長度；解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，AB=AC，C=CAB=60，又AE=CF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60APB=180APE=120C=APE=60，PAE=CAF，APEACF，即，所以APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況推薦精選當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)ABP為等腰三角形，且ABP=BAP=30，AOB=120，又AB=

14、6，OA=，點(diǎn)P的路徑是當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)C向AB作的垂線段的長度；因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長為6，所以點(diǎn)P的路徑為：所以，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為或3點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用6（2014連云港）某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8問題思考：如圖1，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點(diǎn)K，

15、當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請說明理由問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長（4）如圖3，在“問題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值推薦精選考點(diǎn)：四邊形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）設(shè)AP=x，則PB=8x，根據(jù)正方形

16、的面積公式得到這兩個(gè)正方形面積之和=x2+（8x）2，配方得到2（x4）2+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解（2）根據(jù)PEBF求得PK=，進(jìn)而求得DK=PDPK=a=，然后根據(jù)面積公式即可求得（3）本問涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90的圓弧，如答圖3所示；（4）本問涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡GH中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖41所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖42所示解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值設(shè)AP=x，則PB=8x，根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x2+（8x）2=2x216

17、x+64=2（x4）2+32，所以當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32（2）存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是APK與DFK依題意畫出圖形，如答圖2所示設(shè)AP=a，則PB=BF=8aPEBF，即，推薦精選PK=，DK=PDPK=a=，SAPK=PKPA=a=，SDFK=DKEF=（8a）=，SAPK=SDFK（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，若點(diǎn)P在點(diǎn)A，點(diǎn)Q在點(diǎn)D，此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A此時(shí)在RtAPQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以AO=PQ=4所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90的圓弧上PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長為：24=6（4）點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為如答圖41，分別過點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T，則四邊形GRTH為梯形點(diǎn)O為中點(diǎn)，推薦精選OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS為定值點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上MN=6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)O為GH中點(diǎn)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路