1、第3章不等式3.1不等式的基本性質 必備知識必備知識自主學習自主學習導導思思1.1.不等式具有哪些基本性質不等式具有哪些基本性質? ?2.2.不等式的基本性質有哪些基本不等式的基本性質有哪些基本用途用途? ?1.1.實數比較大小的基本事實實數比較大小的基本事實文字語言文字語言符號表示符號表示如果如果ab,ab,那么那么a-ba-b是正數是正數; ;如果如果ab,ababa-b0a-b0ababa-b0a-bbabb bab,bab,bcc_同向同向性質性質3 3可加性可加性abab_可逆可逆性質性質3 3的推論的推論移項法則移項法則a+ba+bcca ac-bc-b可逆可逆性質性質4 4可乘性

2、可乘性ab,cab,c00acbcacbcab,cab,c0b,cab,cdd_同向同向性質性質6 6同向同同向同正可乘性正可乘性ab0,ab0,cd0cd0_同向同向同正同正acaca+cb+ca+cb+cacbcacb+da+cb+dacbdacbd(2)(2)本質本質: :不等式的基本性質可以由實數比較大小的基本事實證明不等式的基本性質可以由實數比較大小的基本事實證明, ,它闡述了不它闡述了不等式在不同條件下的同解變形結論等式在不同條件下的同解變形結論, ,是求解和證明不等式的依據是求解和證明不等式的依據. .(3)(3)應用應用: :解不等式解不等式; ;判斷或證明不等式判斷或證明不等

3、式. .【思考【思考】(1)(1)性質性質4 4就是在不等式的兩邊同乘以一個不為零的數就是在不等式的兩邊同乘以一個不為零的數, ,不改變不等號的方向不改變不等號的方向, ,對嗎對嗎? ?為什么為什么? ?提示提示: :不對不對. .要看兩邊同乘以的數的符號要看兩邊同乘以的數的符號, ,同乘以正數同乘以正數, ,不改變不等號的方向不改變不等號的方向, ,但但是同乘以負數時是同乘以負數時, ,要改變不等號的方向要改變不等號的方向. .(2)(2)使用性質使用性質6 6時時, ,要注意什么條件要注意什么條件? ?提示提示: :各個數均為正數各個數均為正數. .【基礎小測【基礎小測】 1.1.辨析記憶

4、辨析記憶( (對的打對的打“”,”,錯的打錯的打“”)”)(1)(1)兩個實數兩個實數a,ba,b之間之間, ,有且只有有且只有ab,a=b,aab,a=b,abb(2)ab且且cd,cd,則則a-cb-da-cb-d. .( () )(3) (3) 若若a+cb+da+cb+d, ,則則ab,cab,cd.d.( () )(4)ab0,(4)ab0,且且cd0,cd0,則則 . .( () )abcd提示提示: :(1).(1).任意兩數之間任意兩數之間, ,有且只有有且只有ab,a=b,aab,a=b,ab353且且4141時時, ,則則5-43-15-43-1是錯的是錯的. .(3)(3

5、). . 取取a=4,c=5,b=6,d=2.a=4,c=5,b=6,d=2.滿足滿足a+cb+da+cb+d, ,但不滿足但不滿足ab. ab. (4)(4). .例如例如5353且且41,41,則則 是錯的是錯的. .53412.2.已知已知ab,cab,cd,d,且且cd0,cd0,則則( () )a.adbca.adbcb.acbcb.acbcc.a-cb-dc.a-cb-dd.a+cb+dd.a+cb+d【解析【解析】選選d.a,b,c,dd.a,b,c,d的符號未確定的符號未確定, ,排除排除a a、b b兩項兩項; ;同向不等式相減同向不等式相減, ,結果未必結果未必是同向不等式

6、是同向不等式, ,排除排除c c項項. .3.(3.(教材二次開發教材二次開發: :例題改編例題改編) )已知已知x2,x2,則則x x2 2+4+4與與4x4x的大小關系為的大小關系為_._.【解析【解析】x x2 2+4-4x= ,+4-4x= ,而而x2,x2,所以所以 0,0,所以所以x x2 2+4-4x0,+4-4x0,所以所以x x2 2+44x.+44x.答案答案: :x x2 2+44x+44x2(x2)2(x2)關鍵能力關鍵能力合作學習合作學習類型一解不等式類型一解不等式( (數學運算、邏輯推理數學運算、邏輯推理) )【題組訓練【題組訓練】1.1.不等式不等式 11的解集為

7、的解集為( () )xx223a.x|x1 b.x|x 1c.x|x2 d.x|x22.2.不等式不等式 的解集是的解集是( () )xx12352727a.x|x b.x|x882727c.x|x d.x|x88 3.3.下面解不等式的過程及理由對應正確的有下面解不等式的過程及理由對應正確的有_.(_.(填序號填序號)求解不等式求解不等式3- 5,3- 5,并用不等式性質說明理由并用不等式性質說明理由. .解解: :不等式不等式3- 53- 5兩邊同乘以兩邊同乘以4,4,得得12-3x20.12-3x20.( (不等式性質不等式性質4)4)兩邊同加上兩邊同加上-12,-12,得得-3x8.-

8、3x8.( (不等式性質不等式性質3)3)兩邊同乘以兩邊同乘以- ,- ,得得x- .x6,3x+2 6,整理得整理得,5x-46,5x-46,兩邊同加兩邊同加上上4 4得得,5x10,5x10,兩邊同乘以兩邊同乘以 得得,x2.,x2.2.2.選選b.b.不等式兩邊同乘以不等式兩邊同乘以1515得得,-5x3x-27,-5x3x-27,兩邊同加上兩邊同加上-3x-3x得得,-8x-27,-8x-27,兩邊兩邊同乘以同乘以- - 得得x .x .3.3.根據解不等式的過程可知根據解不等式的過程可知, ,步驟步驟分別應用了不等式的性質分別應用了不等式的性質4,3,4,3,正確正確; ;步驟步驟應

9、用了不等式的性質應用了不等式的性質4,4,不是性質不是性質6,6,錯誤錯誤. .答案答案: :(x2)1518278【解題策略【解題策略】一元一次不等式的解題策略一元一次不等式的解題策略(1)(1)依據依據: :不等式的性質不等式的性質3 3與與4;4;(2)(2)步驟步驟: :去分母去分母, ,移項移項, ,系數化為系數化為1.1.【補償訓練【補償訓練】求解關于求解關于a a的不等式的不等式2x-aa(x+1).2x-aa(x+1).【解析【解析】由原不等式得由原不等式得2x-aax+a2x-aax+a, ,根據不等式的性質根據不等式的性質3,3,得得 x2a,x2a,若若a=2,a=2,則

10、原不等式無解則原不等式無解; ;若若a2,a ;x ;若若a2,a2,根據不等式的性質根據不等式的性質4,4,得得x .xb,ab,則則 ( () )a.aca.ac2 2bcbc2 2 b. b. c.ac.a4 4bb4 4d.a+cb+cd.a+cb+c【思路導引【思路導引】根據不等式的基本性質或取特殊值判斷根據不等式的基本性質或取特殊值判斷. .11ab【解析【解析】選選d.ad.a中中,c=0,c=0時時, ,由由abab不能得到不能得到acac2 2bcbc2 2, ,故不正確故不正確;b;b中中, ,當當a0,b0,bbab不能得到不能得到 , ,故不正確故不正確;c;c中中,

11、,當當a=-1,b=-5a=-1,b=-5時時,ab,ab,而而a a4 4bb4 4, ,故不正確故不正確; ;根據不等式性質根據不等式性質3,d3,d正確正確. .11ab【變式探究【變式探究】本例條件若改為本例條件若改為:a,b:a,b為非零實數為非零實數, ,且且ab,ab,判斷下列命題成立的是判斷下列命題成立的是 ( () )a.aa.a2 2bb2 2b.ab.a2 2babbab2 2c. c. d. d. 【解析【解析】選選c.c.對于對于a,a,在在abab中中, ,當當a0,b0a0,b0時時,a,a2 2bb2 2不成立不成立; ;對于對于b,b,當當a0a0時時, ,a

12、 a2 2b0,abb0,ab2 20,a0,a2 2babbab2 2不成立不成立; ;對于對于c,c,因為因為a0,a0,所以所以 ; ;對于對于d,d,當當a=-1,b=1a=-1,b=1時時, =-1., =-1.2211aba bbaab221a b2211aba bbaab角度角度2 2利用不等式的性質證明不等式利用不等式的性質證明不等式【典例【典例】已知已知cab0,cab0,求證求證: : 【思路導引【思路導引】利用不等式的性質利用不等式的性質, ,先證明先證明 , ,再由再由 得到得到 , ,也可也可以先證以先證0c-ac-b0c-ab0,ab0,所以所以 , ,因為因為c0

13、,c0,所以所以 , ,所以所以 -1 -1-1ab0,cab0,所以所以c-a0,c-b0,c-a0,c-b0,所以所以 方法二方法二: :因為因為cab0,cab0,所以所以0c-ac-b0c-ac-b, ,所以所以0 0b0,ab0,所以所以 11abccabcacbcacbabab.cacb11110cbcacacb，即 ，ab.cacb【解題策略【解題策略】1.1.運用不等式的性質判斷命題真假的技巧運用不等式的性質判斷命題真假的技巧(1)(1)要注意不等式成立的條件要注意不等式成立的條件, ,不要弱化條件不要弱化條件, ,尤其是不能隨意捏造性質尤其是不能隨意捏造性質. .(2)(2)

14、解有關不等式選擇題時解有關不等式選擇題時, ,也可采用特殊值法進行排除也可采用特殊值法進行排除, ,注意取值一定要遵循注意取值一定要遵循如下原則如下原則: :一是滿足題設條件一是滿足題設條件; ;二是取值要簡單二是取值要簡單, ,便于驗證計算便于驗證計算. .2.2.利用不等式性質對不等式的證明其實質就是利用性質對不等式進行變形利用不等式性質對不等式的證明其實質就是利用性質對不等式進行變形, ,變變形要等價形要等價, ,同時要注意性質適用的前提條件同時要注意性質適用的前提條件. .【題組訓練【題組訓練】1.1.下列命題中一定正確的是下列命題中一定正確的是( () )a.a.若若abab且且 ,

15、 ,則則abab0b,b0,ab,b0,則則 11c.c.若若ab,ab,且且a+cb+da+cb+d, ,則則cdcdd.d.若若abab且且acbdacbd, ,則則cdcd11abab【解析【解析】選選a.a.對于對于a a項項, ,因為因為 , ,所以所以 0,0,即即 0,0,又又ab,a0,b-a0,所所以以abab0;0,b0,b0時時, ,有有 01,03+2,10+13+2,但但12,1(-2)(-1)(-2)7,7,但但-17,-10.bc-ad0,bd0.求證求證: : 【證明【證明】因為因為bc-ad0,bc-ad0,所以所以adbcadbc, ,因為因為bdbd0,0

16、,所以所以 , ,所以所以 +1 +1,+1 +1,所以所以 abcd.bdacbdabcdabcd.bd類型三作差法比較大小類型三作差法比較大小( (邏輯推理邏輯推理) )【典例【典例】已知已知a1a1且且arar, ,試比較試比較 與與1+a1+a的大小的大小. .11 a【解題策略【解題策略】作差法比較大小的步驟作差法比較大小的步驟【跟蹤訓練【跟蹤訓練】 1.1.已知已知0a ,0a ,且且m= ,m= ,則則m,nm,n的大小關系是的大小關系是_._.【解析【解析】因為因為0a ,0a0,1+b0,1-ab0,1+a0,1+b0,1-ab0,所以所以m-n= m-n= 0,0,即即mn

17、.mn.答案答案: :mnmn1b11abn1a1b1a1b， 1b1 a1b22ab1a1b1a1b（）（）2.2.已知已知a,ba,b均為正實數均為正實數, ,試比較試比較a a3 3+b+b3 3與與a a2 2b+abb+ab2 2的大小的大小. .【解析【解析】因為因為a a3 3+b+b3 3-(a-(a2 2b+abb+ab2 2)=(a)=(a3 3-a-a2 2b)+(bb)+(b3 3-ab-ab2 2)=a)=a2 2(a-b)+b(a-b)+b2 2(b-a)(b-a)=(a-b)(a=(a-b)(a2 2-b-b2 2)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b).(a+

18、b).當當a=ba=b時時,a-b=0,a,a-b=0,a3 3+b+b3 3=a=a2 2b+abb+ab2 2; ;當當abab時時,(a-b),(a-b)2 20,a+b0,a0,a+b0,a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .綜上所述綜上所述,a,a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .課堂檢測課堂檢測素養達標素養達標1.1.已知已知a+ba+b0,b0,bb-b-ab-b-ab.ab.a-b-ab-b-abc.a-bb-ac.a-bb-ad.ad.ab-a-bb-a-b【解析【解析】選選c.c.令令a=5,b=-2a=5,b=-2滿足滿足a+ba+b0,b0,b-bb-a.a-bb-a.2.2.不等式不等式x+ 1x+