1、相似三角形的性質(zhì)知識(shí)精要相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比稱為這兩個(gè)三角形的相似比，形似比用字母k表示。如abcabc，則,注意：相似比具有方向性，若寫作abcabc，則相似比為。根據(jù)合比容易得到“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比”，記abc和abc的周長(zhǎng)分別為和，則.類型一 相似比與周長(zhǎng)比在有關(guān)相似三角形的計(jì)算問題中，通過對(duì)應(yīng)邊的比例式建立方程式常用的方法。例題精解例1 如圖，已知等邊三角形abc的邊長(zhǎng)為6，過重心g作de/bc,分別交ab,ac于點(diǎn)d,e.點(diǎn)p在bc上，若bdp與cep相似，求bp的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：這是一類常見的有關(guān)三角形相似的分類討論的問題。圖中只能確定一組相等的角（b=c）為對(duì)應(yīng)角，但“這個(gè)角

2、的兩組夾邊對(duì)應(yīng)成比例”的比例式排列順序還不能完全確定，因此要分為兩種情況進(jìn)行討論?！九e一反三】1、 如圖，abc中，cd是角平分線，e在ac上，cd2=cbce.（1） 求證：adeacd；（2） 如果ad=6，ae=4，de=5，求bc的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)判定定理2得到bcddce，再根據(jù)判定定理1得到adeacd，這種類似于“二次全等”的“二次相似”是證明相似三角形常用的方法。2、 如圖，abc中,de/be,分別交ab于d，交ac于e。已知ab=7，bc=8，ac=5，且ade與四邊形bced的周長(zhǎng)相等，求de的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：無論是以相似比k作為未知量，還是以de=x作為未知量，目的都是為了把

3、其他的量用k或x來表示，根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系列方程。這一解題思路可稱為“方程思想”，這是用代數(shù)方法解決幾何問題的基本思想。3、 如圖，正三角形abc的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)e,f分別在邊ab,ac上，沿ef將aef翻折，使點(diǎn)a恰好落在bc上的點(diǎn)d.已知ae:af=5:4，求bd的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是將比值轉(zhuǎn)化為bed和cdf的相似比和周長(zhǎng)比。類型二 相似比與對(duì)應(yīng)線段之比 如圖abcabc，相似比為k，若ah,am,ae和ah,am,ae分別是abc和abc的高、中線和角平分線，則。廣義地說，所謂“對(duì)應(yīng)線段”應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的所有對(duì)應(yīng)線段，如上圖2中be和be，me和me等；而相似三角形對(duì)

4、對(duì)應(yīng)位置上的所有三角形也都是相似三角形，如圖2中的abeabe,ameame等。例2 如圖，abc中，d在bc上，dac=b,角平分線ce交ad于f.已知bd=1，dc=3.求cf:ef的值。點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形中對(duì)應(yīng)角平分線的相似比問題?！九e一反三】1、 如圖，bae=90，ab=ac=cd=de,f是bc的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)be,bd,df.（1） 找出圖中的相似三角形并說明理由；（2） 求df:db的值。點(diǎn)評(píng)：第（2）小題也可以將看作是cfdcdb的對(duì)應(yīng)邊之比。2、 如圖，rtabc中，cd是斜邊ab上的高，deac,dfbc，垂足分別為e,f。求證：de2:df2=ad:db.點(diǎn)評(píng)：解題

5、思路從相似三角形的面積比入手。一方面，相似三角形的面積比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面積之比等于相應(yīng)的邊長(zhǎng)之比，從而建立起與線段平方比有關(guān)的比例式。3、 一塊直角三角形木板的兩條直角邊ab長(zhǎng)為1.5米，bc長(zhǎng)為2米，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的的正方形桌面，請(qǐng)甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1-4-9，乙設(shè)計(jì)方案如圖1-4-10.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案中正方形面積較大？試說明理由。（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)） 點(diǎn)評(píng)：利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比”，是解三角形的內(nèi)接矩形問題的常用方法。類型三 相似比與面積比相似三角形的面積之比等于相似比的平

6、方。例如，如圖1-4-12，abc中，d,e和f,g分別是ab和ac的三等分點(diǎn)，則adf,aeg,abc的周長(zhǎng)比是1:2:3，面積比是1:4:9，而df,eg將abc分成的三部分面積之比1:3:5.另外，兩個(gè)有公共高的三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)的底邊之比。例如，如圖1-4-13，abc中，c=90，cd是高，則adccdb,另外，cd是它們的公共高，故,這樣我們就很容易得到一個(gè)比例式：.這種證明方法稱為“面積法”例3 如圖，abc中，過重心g作de/bc分別交ab,ac于點(diǎn)d,e,作df/ac交bc于點(diǎn)f.求證：。點(diǎn)評(píng)：這個(gè)結(jié)果說明，三角形ade與四邊形decf面積相等，這種等積變換很難通過畫平

7、行線的方法驗(yàn)證，只有利用相似三角形的性質(zhì)通過計(jì)算來驗(yàn)證。【舉一反三】1、 如圖，abc中，點(diǎn)d在bc上，dac=b.求證：ab2:ad2=bc:dc.2、 如圖，梯形abcd中，ad/bc,ac交bd于o.（1） 若,求;（2） 若（m,n為正數(shù)），試用m,n表示梯形abcd的面積s.點(diǎn)評(píng)：在梯形中，兩條對(duì)角線將梯形分為4個(gè)小三角形，其中分別以兩底為邊的兩個(gè)小三角形是相似關(guān)系，它們不可能全等（因?yàn)閮傻资菍?duì)應(yīng)邊，不可能相等）；另兩個(gè)以腰為邊的小三角形是等積關(guān)系（面積相等），它們可能全等（當(dāng)?shù)妊菪螘r(shí)），但不可能是非全等的相似關(guān)系。3、 如圖，平行四邊形abcd中，aebc于e,afcd于f，聯(lián)結(jié)

8、ef,ac.（1） 求證：abceaf.（2） 若ab=3be,ad=9，平行四邊形abcd的面積為，求ef的長(zhǎng)。內(nèi)容提煉1、 相似三角形的性質(zhì)包括三個(gè)方面：（1） 由定義確定的性質(zhì)-相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)邊的比值稱為相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必須是排在前面的三角形邊長(zhǎng)除以排在后面的三角形邊長(zhǎng)。若abcdef,則當(dāng)k1時(shí)，說明由abc到def是縮小的；當(dāng)k1時(shí)，說明由abc到def是放大的；當(dāng)k=1時(shí)，abcdef,因此，全等是相似的特殊情況。（2） 性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，“對(duì)應(yīng)線段”包括對(duì)應(yīng)角的角平分線，對(duì)應(yīng)邊上的中線和對(duì)應(yīng)邊上的高。實(shí)

9、際上“對(duì)應(yīng)線段”還可以推廣到兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)位置上的任何一種對(duì)應(yīng)線段，例如：兩個(gè)相似三角形外接圓半徑的比、內(nèi)切圓半徑的比都等于相似比。（3） 性質(zhì)2：相似三角形面積的比等于相似比的平方，實(shí)際上還可以推廣到兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的任何圖形的面積比都等于相似比的平方，例如：兩個(gè)相似三角形外接圓面積的比、內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方。2、 學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要克服一些常見的錯(cuò)誤。例如：（1） 在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，在書寫過程中忘記交代“相似”這一條件，或是沒有注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。（2） 誤認(rèn)為通過“兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比等于某一對(duì)應(yīng)邊的比”或“兩個(gè)三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比”就可以判斷這兩個(gè)

10、三角形相似。（3） 在運(yùn)用性質(zhì)2時(shí)忘記加平方，認(rèn)為面積比等于相似比。鞏固提高（必做題，要求步驟完整，邏輯清晰）1、 如圖，df/eg/bc,ad:de:eb=1:2:3，如果為adf面積，為梯形degf面積，為梯形ebcg面積，那么為 （ ）（a）1:4:9; (b)1:9:36; (c)1:8:27; (d)1:7:192、 已知一個(gè)三角形的三邊之比為3:4:5，與此三角形相似的另一個(gè)三角形最短邊的邊長(zhǎng)為6cm，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）（a）12cm; (b)24cm; (c)36cm; (d)48cm3、 若一個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)為6cm，平行于這條邊的直線將該三角形分成面積相等的兩部分

11、，則該直線被這個(gè)三角形兩邊所截得的線段長(zhǎng)為（ ）（a）3cm; (b)cm; (c)cm; (d)cm4、 若兩個(gè)相似三角形面積之比為3:4，則它們的周長(zhǎng)之比為 5、 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比為2:3，其中較大的一個(gè)三角形的面積是36cm2,那么另一個(gè)三角形的面積是 cm2. 6、 如圖，ab/dc,ac交bd于o，過o作直線分別交ab,dc于m,n。若2om=3on,則aob與cod的周長(zhǎng)之比為 7、 如圖，ab/dc,ac交bd于o，過o作直線分別交ab=3，ac=2，若將abc繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)到abc，則abb與acc的面積之比為 8、 梯形abcd中，ad/bc,且ad:bc=3:4，ba與cd的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)p，若梯形abcd的高是3cm，則點(diǎn)p到bc的距離為 cm.9、 如圖，abc中，d在ac上，若ad=2dc,ab2=acad，則bd:bc的值等于 10、 如圖，abc中，ab=6，ac=9，de/bc分別交ab,ac于d,e，且de=8，四邊形dbce的周長(zhǎng)是25，求bc的長(zhǎng)。11、 如圖，將abc繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)后得abc，當(dāng)abbc時(shí)ac/bc,且點(diǎn)c恰好在bc上。求abb與acc的面積之比。12、 如圖，abc中，c=2b，d在bc上，ac2=bcdc,且bad=90，點(diǎn)e是bd的中點(diǎn)。試判斷aec的形狀并說明理由。探究題（1） 如圖，四邊形abcd中，