1、第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉10.4 矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉學習指導學習指導 扭轉問題是空間問題中的一個專門扭轉問題是空間問題中的一個專門問問題。題。 扭轉問題的理論，是從空間問題的基扭轉問題的理論，是從空間問題的基本方程出發，考慮扭轉問題的特性而建立本方程出發，考慮扭轉問題的特性而建立起來的。扭轉問題的應力函數起來的。扭轉問題的應力函數 (x(x，y)y)，仍，仍然是二維問題。然是二維問題。柱體扭轉 圓柱扭轉：平面假設 非圓截面

2、扭轉：橫截面發生翹曲 柱體扭轉精確求解是十分困難的！第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移等直非圓桿扭轉： 橫截面翹曲純扭轉（自由扭轉）：端面可以自由翹曲（翹曲不受限制）。 相鄰截面翹曲的程度完全相同，橫截面上只有切應力，沒有正應力。約束扭轉：兩端受到約束而不能自由翹曲（翹曲受到限制）。 相鄰截面的翹曲程度不同，在橫截面上引起附加正應力。彈性力學討論自由扭轉。第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1

3、 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移 設有等直截面桿，體力可以不計，在兩端平面內受有大小相等而轉向相反的扭矩m。取桿的一端平面為xy面，z軸沿著桿的縱向。yxxy第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移 設有等直截面桿，體力可以不計，在兩端平面內受有大小相等而轉向相反的扭矩m。取桿的一端平面為xy面，z軸沿著桿的縱向。 用半逆解法。參考材料力學中對于圓截面桿的解答，這里假設：除了橫截面上的剪應力zx和zy（即扭應力）以外，其余應力分量都等于零，即：0 xyzyx(10-1），即得：注意：代入平衡方程0),18(zyx1、求

4、應力分量和位移分量：、求應力分量和位移分量：0xxyxzxyxx0yyzyxyzyy0zyxzyzxzz第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移1、求應力分量和位移分量：、求應力分量和位移分量：0xzyxzxyxx0yxzyxyzyy0zyxzyzxzz0, 0, 0yxzzyzxzyzxz(a）)(yzxzyx改寫為：變化。第三個方程可以不隨的函數，和應當只是和由前兩個方程可見，zyxzyzx:平衡方程f(x,y)第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移:),(

5、，使得一個函數定存在根據微分方程理論，一yx)(yzxzyx改寫為：變化。第三個方程可以的函數，不隨和應當只是和由前兩個方程可見，zyxzyzxxyyzxz,表示成為：函數于是可以將應力分量用xyzyyzzxxz,(10-2）數，是普朗都提出的。稱為扭轉問題的應力函這里的函數),(yx式要求：最后總能滿足，其余二可見其中的前三式及代入相容方程及將),329()210() 110(第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移該兩式要求：, 02yz02zx前三式自動滿足。0)1 (22zyyz0)1 (22xzzx0)1 (22yxx

6、y最后一式自動滿足。代入，得：將)210(xyzyyzzxxz(10-2）, 02x02yc2(10-3）0)1(0)1(0)1(222222222zyxzyx0 xyzyx第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移而第三式要求：中的前兩式總能滿足，可見應力邊界及在桿的側面上，有)58(, 00zyxn0)()(syzsxzml2 考察邊界條件：考察邊界條件：ijijxlxyzyyzzxxz(10-2）0)()(ssxmyl0)()(dsddsdxxdsdyyssdsdxmdsdyl,在邊界上有：的邊界值應當是常量。應力函數線上）

7、，上（在橫截面的邊界曲這就是說，在桿的側面常量s常量s mdxdy2(1)yx第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移的邊界值可以取零：函數情況下，為簡便，應力況下，即實心桿的因此，在單連截面的情應力分量并不受影響。數時，增加增加或減少一個常可見，當應力函數由式)210(0s(10-4）件來確定。，則須根據位移單值條零。其他邊界上的取為一個邊界上的。因此，只能把其中某各個常數一般并不相同，但在每一邊界上都是常數雖然應力函數在多連截面的情況下，ss討論：討論：xyzyyzzxxz,(10-2）第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直

8、桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移而前二式成為：中的第三式總能滿足，應力邊界條件，而端，在桿的任一端，例如上)58(10nmlyxyzxz,，所以要求：而力偶的矩等于扭矩必須合成力偶，及因為面力myxmdxdyyxxydxdyydxdyx)(00(c）(d）(e）：左邊的積分式可以寫成，式中的第一式及根據c)()210()(b靜力等效靜力等效(2)xyzyyzzxxz,(10-2）dxdyydxdydxdyxzxdxdyydxab)(第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移而前二式成為：中的第三

9、式總能滿足，應力邊界條件，而端，在桿的任一端，例如上)58(10nmlyxyzxz,，所以要求：而力偶的矩等于扭矩必須合成力偶，及因為面力myxmdxdyyxxydxdyydxdyx)(00(c）(d）(e）dxdyydxdydxdyxzxdxdyydxab)(也是滿足的。是滿足的。同樣可見式值，應當等于零。可見點的點及是橫截面上及其中)()(dcabab靜力等效靜力等效(2)第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移：左邊的積分式可以寫成式，式及根據式)()210()(ebdxdyxxyyxydxdyyxxyzyzx)()()(

10、dxxxdydyyydx (。可見進行分部積分，注意0ab dxdydydyyydxdyyydxaabb)( 同樣可見 dxdydxxxdy(成為：于是式 )(emdxdy2(10-5）mdxdyyxxy)(xyzyyzzxxz,(10-2）第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移）求出應力分量。，然后由能滿足方程使它，尋求出應力函數為了求得扭應力：210()510()310(,歸納zyzx(10-3）(10-4）c20s mdxdy2(10-5）解出函數(10-2）xyzyyzzxxz第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的

11、扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移現在推導有關位移的公式現在推導有關位移的公式。將應力分量的表達式(10-1)及(10-2)代入物理方程（8-17)，得：0, 0, 0zyx0,1,1xyzxyzygxgzwyvxuzyx,zvywyz,xwzuzxyuxvxy0 xuxgzvyw1ygxwzu10yuxv0yv0zw(f）xyzyyzzxxz0 xyzyx第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移 通過積分運算，可求得位移分量：，則：保留與變形有關的位移如果不計剛體位移，只也是積分常數。移和以前一樣

12、代表剛體位、其中積分常數kvuzyx,00kyzyzuuzy0kxzzzvvxz0kyzukxzv (10-6） 用柱坐標系表示，即：0rukrzu 可見，每個橫截面在xy面上的投影不改變形狀，只是轉動一個角度kz。由此又可見，桿的單位長度內的扭轉角滿足：第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.1 10.1 扭轉問題的應力和位移扭轉問題的應力和位移得：式中第五式及第四式，代入將（)()610fxgzvyw1ygxwzu1kxxgyw1kyygxw1(10-7）：求導，然后相見，即得、。將上列二式分別對可以用來求出位移分量yxwgk22(10-8）中的常數應為：由此可見，方程)310

13、(c2(10-3）gkc2(10-9）10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉德國力學家 prantle 普朗都指出，薄膜在均勻壓力作用下的垂度，與等直截面桿扭轉問題中的應力函數，在數學上相似。用薄膜來比擬扭桿，可以有助于求得扭轉問題的解答.10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬 當薄膜承受微小的均勻壓力時當薄膜承受微小的均勻壓力時，薄膜的各點將發生微小的垂度。以邊界所在的水平面為xy面，則垂度為則垂度為z。 由于薄模的柔性，可以假定它不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，而假定它不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，而只能承受均

14、勻拉力只能承受均勻拉力t（好像液膜的表面張力）。（好像液膜的表面張力）。均勻薄膜，張在一個水平邊界上（上圖所示）條件：水平邊界形狀和大小扭轉桿的橫截面邊界第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉qdxdyzabcddyyzzytdxztdxbcyztdxztdxaddxxzzxtdyztdycdxztdyztdyabtdydxxyabcd軸上的投影：部分所受的總壓力在注意）（軸上投影：在邊上的拉力：軸上投影：在邊上的拉力：）（軸上投影：在邊上的拉力：軸上的投影：在邊上的拉力：拉力是薄膜每單位寬度上的。微元體受力情況。和邊長是是一個矩形，而矩形的面上的投影，它在（微元體）取薄膜的一個微小部

15、分,.平衡條件：0zf0)()(qdxdyyzzytdxyztdxxzzxtdyxztdy10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉平衡條件：0zf簡化后0)()(qdxdyyzzytdxyztdxxzzxtdyxztdy0)(2222qyzxzttqz2(10-10)此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即0sz(10-11)10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉薄膜問題與扭轉問題比較：扭轉問題薄膜問題.v之間的體積為命薄膜及其邊界平面gkc220s mdxdy2tqz2

16、0szzdxdyv 22結論：vmgktqz2,2,10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉薄膜問題與扭轉問題比較：結論：vmgktqz2,2,方向的剪應力大小為：，沿在扭轉橫截面上，yxxyzyzx|,|方向的斜率為：及薄膜xyxziyzixy|,|扭轉問題薄膜問題10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉薄膜問題與扭轉問題比較：方向的剪應力大小為：，沿在扭轉橫截面上，yxxyzyzx|,|方向的斜率為：及薄膜xyxziyzixy|,|,)1 (yzxixzyi最大斜率所

17、在點最大剪應力 )2(。最大斜率方向相互垂直最大剪應力方向) 3(扭轉問題薄膜問題10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.2 10.2 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉薄膜曲面可以形象地描述橫截面的扭轉應力分布。薄膜的等高線：0sz切應力方向沿薄膜等高線切線0s0snns切應力與等高線法線方向導數成正比。切應力與等高線相切。切應力線。10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉 等截面直桿，它的橫截面具有一個橢圓邊界，橢圓的

18、半軸是a和b。012222byax(a)10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉 等截面直桿，它的橫截面具有一個橢圓邊界，橢圓的半軸是a和b。012222byax(a) 由于應力函數在橫截面的邊界上應當等于零，所以假設應力函數為：12222byaxm(b) 其中m是一個常數，然后考察，是否滿足一切條件。第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉cyx2222212222byaxmaab可見，取)(222222222bababacmcbam2222，而應力函數取為：即可滿足基本微分方程)310(1)(222222222byaxcbaba10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面

19、桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉cyx2222212222byaxm，而應力函數取為：即可滿足基本微分方程)310(1)(222222222byaxcbaba mdxdy2(10-5）c求出常數）代入510(432baidxdyxy432abidxdyyxmdxdydxdyybdxdyxacbaba2222222211)(2(d）10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉abadxdy由材料力學知：即得：式代入,)(d3322)(2bambac(e）為：所以，應力函數122222byaxabm(f）xyzyyzzxx

20、z(10-2）,23yabmzxxbamzy32(10-12）10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉該應力函數滿足了所有一切條件。1)(222222222byaxcbaba剪應力是：橫截面上任意一點的合,23yabmzxxbamzy32(10-12）2142422122)(2)(byaxabmzyzx(10-13）10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉2max2abmba解答同材料力學。），時（扭桿的橫截面是圓當ba 假想有一塊薄膜，張在橢圓邊界上，受均勻壓力，則，顯然可見，

21、薄膜的最大斜率將發生在?，而方向垂直于邊界。 根據薄膜比擬，扭桿橫截面上最大的切應力也發生在a點和b點，但方向平行于邊界。將a點和b點的坐標(0,b)代入（10-13），得出：得單位長度內扭角及式。由公式現在來求出形變和位移)() 910(egkc2(10-9）gbambagcdzdk3322)(2(10-15）kyzukxzv (10-6）yzgbambau3322)(xzgbambav3322)(10-16）kxxgyw1kyygxw1(10-7）10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉)()(13322yfxygbabaw)()(

22、23322xfxygbabaw得：不計這個剛體位移，即方向的剛體位移。就是，而，應當等于同一常數由此可見，zxfyf0021)(),(xygbabaw3322)(10-17），橫截面才保持平面。才有時，軸。只有當軸和是而這些雙曲線的漸近線面上的投影是雙曲線，在的等高線，而將翹成曲面。曲面橫截面并不保持為平面這個公式表明：扭桿的0wbayxxy,)(3322ygbabaxwxgbabayw3322)(10.3 10.3 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉10.4 10.4 矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉分析矩形截面桿的扭轉，設矩形的邊長為a及b。成為

23、：而，。于是可以近似地取束的影響，近似于柱面幾乎不受短邊約變化，因為對應的薄膜面上幾乎不隨在絕大部分橫截斷，應力函數下，由薄膜比擬可以推。在這一情況的。即首先假設矩形是很狹長)310(,0dydyxxbacyx22222(10-3）cdyd22積分第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉)4(222byc02/ by）邊界條件（ mdxdy2(10-5）c求出常數代入)510( mdxdy2(10-5）c求出常數代入)510(mdxdybycbbaa)4(22222/2/2/2/36abmc)4(3223ybabmxyzyyzzxxz(10-2）,63yabmzx0zy(10-18）為：截面的長邊上，其大小最大剪應力發生在矩形由薄膜比擬可以推斷，22/max3)(abmbyzx(10-19）10.4 10.4 矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉第十章第十章 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉，得扭角：代入將式)9