1、2. 參數式方程設得參數式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0),(0000zyxM),(zyxMs第1頁/共21頁xyzo3. 一般式方程01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)第2頁/共21頁例1 1. .用對稱式及參數式表示直線解: :先在直線上找一點.043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns第3頁/

2、共21頁故所給直線的對稱式方程為參數式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路:先找直線上一點;再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji第4頁/共21頁),(0000zyxM是直線外一點,pzznyymxxL111:點例2. 求點 M0 到線 L 的距離.解:d0ML1Ms由直線方程可知,直線方向向量為( , , ),sm n p1111( ,)Mx y z是直線 L上一點.那么向量10M M與s構成的平行四邊形的面積為10,M Ms所以點 M0 到線 L 的距離為10.M Msds第5頁/共21頁2L1L二、線面間的位置關系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角

3、 則兩直線夾角 滿足21, LL設直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s第6頁/共21頁特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss第7頁/共21頁例3. . 求以下兩直線的夾角解: 直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(

4、1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 第8頁/共21頁當直線與平面垂直時,規定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn第9頁/共21頁特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解: : 取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132

5、垂 ) 1,3,2(nn例4. 求過點(1,2 , 4) 且與平面第10頁/共21頁三、 有軸平面束設空間直線方程為00:22221111DzCyBxADzCyBxAL則過 L 的平面束方程為)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA0,21不全為12若1不為零，令1, 則過 L 的平面束方程為)(1111DzCyBxA2222()0A xB yC zD第11頁/共21頁例5. 求過直線 L:0405zxzyxzyx84 且與平面4夾成角的平面方程.解:過直線 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程

6、n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n應該還有一個平面，怎么丟了呢？第12頁/共21頁例6. 求直線0101zyxzyx在平面上的投影直線方程.解：過已知直線的平面束方程從中選擇01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程, 1第13頁/共21頁一般式對稱式參數式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm1. 空間直線方程 內容小結 第14頁/共21頁,111111

7、1pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 第15頁/共21頁, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面與線間的關系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L第16頁/共21頁P228 A: 1.(2),(4); 2.(1); 3; 5.(2) 6.(3) B: 2; 5作業第17頁/

8、共21頁)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設直線解：,2上在因原點LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點及 的平2L面的法向量為則所求直線的方向向量方法1 利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直線過點 且垂直于直線 又和直線備用題nOA2L2s第18頁/共21頁設所求直線與的交點為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法2 利用所求直線與L2 的交點 .即故所求直線方程為 2L),(000zyxB則有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB第19頁/共21頁0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy5122