1、數值分析數值分析數值分析數值分析 樣條是繪圖員用于描繪光滑曲線的一種機樣條是繪圖員用于描繪光滑曲線的一種機械器件械器件,它是一些易彎曲材料制成的窄條或棒條它是一些易彎曲材料制成的窄條或棒條.在繪制需要通過某點的光滑曲線時在繪制需要通過某點的光滑曲線時,對它在這些對它在這些點的位置上點的位置上“壓鐵壓鐵”,它就被強制通過或接近圖它就被強制通過或接近圖表上確定的描繪點表上確定的描繪點.“樣條函數樣條函數”這個術語意在這個術語意在點出這種函數的圖象與機械樣條畫出的曲線很點出這種函數的圖象與機械樣條畫出的曲線很象象.第六節第六節 三次樣條插值三次樣條插值數值分析數值分析數值分析數值分析011( ) ,

2、 , ,:()0,1,2,nniyf xa ba baxxxxbf xinx 若若函函數數在在上上連連續續，對對于于區區間間上上的的一一個個分分劃劃給給定定節節點點上上函函數數值值，。若若函函數數S S定定( (義義) )滿滿足足11110(1) ()0 1(2) ( ) , (3) ( ),0 11( ),.,iikiinnS xyinS xCa bS xx xinS xkxxxx ， ，；，即即在在整整體體上上是是k-1k-1階階連連續續的的；在在每每一一個個小小區區間間是是k k次次多多項項式式（， ，）則則稱稱為為 次次樣樣條條函函數數。稱稱為為內內節節點點稱稱為為外外節節點點. .一

3、一.k次樣條函數的定義次樣條函數的定義數值分析數值分析數值分析數值分析011( ) , , :()0,1,2,nniyf xa ba baxxxxbf xinx 若若函函數數在在上上連連續續，對對于于區區間間上上的的一一個個1 1. .定定義義分分劃劃給給定定節節點點上上函函數數值值，。若若函函數數S S( ( ) )滿滿足足21110(1) ()0 1(2) ( ) , (3) ( ),0 11( ),.,iiiinnS xyinS xCa bS xx xinS xxxxx ， ，；，即即在在整整體體上上是是二二階階連連續續的的；在在每每一一個個小小區區間間（， ，）是是三三次次多多項項式式

4、; ;則則稱稱為為三三次次樣樣條條函函數數。稱稱為為內內節節點點稱稱為為外外節節點點. .二二.三次樣條插值函數的提法三次樣條插值函數的提法數值分析數值分析數值分析數值分析(1)3(1)42,nnn 共共有有個個條條件件缺缺兩兩個個條條件件，由由邊邊界界條條件件給給出出。2、插插值值條條件件分分析析1,0,1,2,.,iy in 由由（ ）已已知知節節點點上上函函數數值值。 這這是是n n+ +1 1個個條條件件21112( ) , ,()(),()(),()(),1,2,.,1iiiiiiiiiiiiS xC a bSxSxSxS xSxSxin 由由（ ）隱隱含含著著在在內內節節點點上上應

5、應有有1001112113( ),( ),;( ),;( )( ),;iinnnS xx xSxxxxSxxxxS xSxxxx 由由（ ）在在每每個個上上表表達達式式不不同同，故故應應分分段段構構造造：( )4S xn故故構構造造需需要要個個條條件件3(1)n 個個條條件件數值分析數值分析數值分析數值分析000(0)(0)(0)(0)(0)(0)3nnnS xS xSxSxSxSx（ ）周期邊界條件（ ）周期邊界條件，00()(),()(3).1nnSxfxSxfx邊邊常常見見的的邊邊界界條條件件有有界界條條件件（ ）給給定定端端點點一一階階導導以以下下三三種種：稱稱為為固固支支邊邊數數值值

6、界界條條件件。000()()()2()()0()0nnnSxfxSxfxSxSx ，特特別別，（ ）給給定定端端點點二二階階導導數數當當和和稱稱為為自自然然值值邊邊界界條條件件。數值分析數值分析數值分析數值分析4.( )S x構構造造三三次次樣樣條條插插值值函函數數的的基基本本方方法法(2)(2)三三轉轉角角插插值值法法(1)(1)三三彎彎矩矩插插值值法法以以下下面面問問題題為為例例介介紹紹三三彎彎矩矩插插值值法法. .0,()(0,1,., )(),()( )()(1,2,.,1)(),()()(0, )iiniijjjjyf xinfxfxS xS xyinS xyS xfxjn 對對于于

7、分分劃劃已已給給相相應應的的函函數數值值以以及及邊邊界界點點上上的的一一階階導導數數值值. .求求一一個個三三次次樣樣條條函函數數使使之之滿滿足足問問題題三三彎矩插值法三三彎矩插值法數值分析數值分析數值分析數值分析4,(0,1,2,., )iMin （ ）再再由由三三彎彎矩矩方方程程邊邊界界條條件件（補補充充兩兩個個方方程程）封封閉閉的的方方程程組組，可可求求出出1()(),(,)iiiiiiiiyfxSxMMyMy （）未未知知，但但可可設設三三彎彎矩矩插插值值法法的的基基本本只只是是思思想想2( ).iiiMMyS x（ ）如如能能求求出出，則則可可由由和和 構構造造1()(),1,2,.

8、,111iiiiSxS xinnn 可可利利用用在在節節點點上上一一階階導導數數連連續續條條件件由由導導出出三三彎彎矩矩方方程程（個個方方程程要要解解個個未未知知數數）(3)iM如如何何求求? ?數值分析數值分析數值分析數值分析11323211( ),()()()()()1,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xxxhxxyS xa xxb xxc xxddyS xa hb ha b cc hdMd 在在中中代代入入兩兩個個端端點點 和和并并（ ）建建立立記記和和之之的的關關系系得得到到間間132( )()()()(0 11),41iiiiiiiiiiii

9、iixxS xa xxb xxc xxdina b c dn 、建建立立三三彎彎矩矩方方程程在在，上上，三三次次樣樣條條函函數數可可表表示示為為， ， ，其其中中是是四四個個待待定定系系數數。（共共有有個個待待求求系系數數）()(0 1)1iiiiiSxMinMynM 設設， ， ，共共有有個個待待求求。數值分析數值分析數值分析數值分析11111()/6/226,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaMMhbMdyyyh Mh MchMMyyabcd 得得到到以以上上得得到到用用和和表表示示系系數數 ， ， ，的的關關系系式式。211( ) ( )3()2 () ( )6()2 (

10、)6()22 ()62iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiS xSxa xxb xxcSxa xxbMSxa xxbbMSxa hb 對對求求導導于于是是數值分析數值分析數值分析數值分析（2）構造三彎矩方程）構造三彎矩方程2 (),1() 3( -)2( -) S xxxiiSxax xbx xciiiiii 利利用用在在內內節節點點上上一一階階導導數數連連續續的的條條件件，在在區區間間上上2111111111 (-0)(0) ()() 32 , iiiiiiiiiiiiiiiiixSxSxSxSxahb hccabcc 在在節節點點上上應應有有，即即，得得到到將將前前已已得得到

11、到的的和和 的的表表達達式式代代入入上上式式 有有12111111,( ) 3( -)2( -)iiiiiiiixxSxax xbx xc 在在區區間間上上數值分析數值分析數值分析數值分析00110111221222111(1) (1)112()2()2()11nnnnnnnnnnhhhhMghhhhMghhhhMgRRRnn 即即三三彎彎矩矩方方程程組組共共個個方方程程要要解解個個未未知知數數，是是不不封封閉閉的的方方程程組組, ,要要求求解解必必須須補補充充邊邊界界條條件件. .11-1-1-1-1-1-1-1-1-12-6(-)-2-26iiiiiiiiiiiiiiiiiiiyyh Mh

12、 MhMMhyyhMhMMhh 11111126(,)(1,2,1)iiiiiiiiiiiihMhhMh Mf xxf xxgin （+ + ）化化簡簡后后得得到到三三彎彎矩矩方方程程數值分析數值分析數值分析數值分析00()()nnS xyS xy已已知知兩兩端端點點一一階階導導2.2.加加邊邊界界條條件件構構造造封封閉閉值值和和方方程程組組 數數 ,012( ) 3( -)2( -)000000-(2)10001()-00006026(,-)0001010 xxSxax xbx xcyyhMMySxchh Mh Mf xxy 在上得補充方程 ,12( ) 3( -)2( -)1111112(

13、) 32111111nxxnnSxax xbx xcnnnnnnySxahbhcnnnnnnn 在上數值分析數值分析數值分析數值分析111126(,)nnnnnnnabchMhMyf xx n n- -1 1n n- -1 1n n- -1 1代代入入系系數數, , ,后后整整理理可可得得補補充充方方程程00010100111111111126(,)2()6(,)(1,2,1)26(,)iiiiiiiiiiiiinnnnnnnnh Mh MfxxyghMhh Mh Mfxxfxxg inhMhMyfxxgM 將將以以上上求求解解的的方方程程合合在在一一起起, ,得得方方程程組組數值分析數值分析

14、數值分析數值分析即即：00001100111122111122()2()2nnnnnnnnnnMghhMghhhhMghhhhhhMg 數值分析數值分析數值分析數值分析3200000000,013211111111,12321111111, , ,( )( )()()(),;( )()()() ,;( )()()()3.( )iiiiinnnnnnnnMa b c dS xS xa xxb xxc xxd xx xS xa xxb xxc xxd xx xSxaxxbxxcxdS xx 由由三三次次樣樣條條插插值值函函數數計計算算，就就可可得得到到分分段段三三次次樣樣條條插插值值函函數數是是：

15、1,1,;nnxxx 數值分析數值分析數值分析數值分析以以下下面面問問題題為為例例介介紹紹三三轉轉角角插插值值法法. .0,()(0,1,., )(),()( )()(1,2,.,1)(),()()(0, )iiniijjjjyf xinfxfxS xS xyinS xySxfxjn 對對于于分分劃劃已已給給相相應應的的函函數數值值以以及及邊邊界界點點上上的的一一階階導導數數值值. .求求一一個個三三次次樣樣條條函函數數使使之之滿滿足足問問題題四三轉角插值法四三轉角插值法數值分析數值分析數值分析數值分析4,(0,1,2,., )imin （ ）再再由由三三轉轉角角方方程程邊邊界界條條件件（補補

16、充充兩兩個個方方程程）封封閉閉的的方方程程組組，可可求求出出1()(),(,)iiiiiiiiyfxS xmmymy（ ）未未知知，但但可可三三轉轉角角插插值值法法的的基基設設只只是是本本思思想想111112,( )( )( )( )( )1.iiiiiiiiiiiiimx xHermiteS xh x yhx yh x mhx mnm （ ）如如能能求求出出，則則可可在在上上構構造造三三次次插插值值函函數數共共有有個個待待求求1(3)()(),1,2,.,111iiiiimSxSxinnn 如如何何求求？利利用用在在節節點點上上二二階階導導數數連連續續的的條條件件由由導導出出三三轉轉角角方方

17、程程（個個方方程程要要解解個個未未知知數數）數值分析數值分析數值分析數值分析11111(),(,),( )( )( )( )( )1.iiiiiiiiiiiiiiiiiiS xmmymymx xHermiteS xh x yhx yh x mhx m 設設只只是是如如果果已已知知，則則在在每每個個小小區區間間上上，可可構構造造兩兩點點三三次次插插值值建建立立三三轉轉角角方方程程11(),(),(),()iiiihxhxhxhxHermite 為為插插值值基基函函數數2211311() 2()( )12iiiiiiiiiiixxxxxxhxxh xxxxxh 2113() (2()( )iiii

18、ixxhxxhxh 2211122() ()() ()( )( )iiiiiiiixxxxxxxxh xhxhh ，數值分析數值分析數值分析數值分析1,iixx 于于是是, ,在在 上上22111332211122() (2()() (2()( )() ()() ()iiiiiiiiiiiiiiiiiiix xhx xx xhxxS xyyhhx xx xx xx xmmhh 11122113624642( )6(2 )()iiiiiiiiiiiiiixxxxxxSxmmhhxxxyyh 求求二二階階導導數數有有數值分析數值分析數值分析數值分析1111122111131624642( )6(2

19、 )(),iiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxSxmmhhxxxyyhxx 同同理理，在在也也可可以以得得到到11,2, -1()()iiiiiinSxSxx （）上上，由由在在內內節節點點11112211111112()3()iiiiiiiiiiiiiyyyymmmhhhhhh 111123(,)(1,2,1)iiiiiiiiiiimmmfxxfxxin 化化簡簡整整理理得得到到三三轉轉角角方方程程111,1iiiiiiiiihhhhhh 其其中中 數值分析數值分析數值分析數值分析0000,()()nnnnmmS xyS xyyy 這這時時，得得到到方方程程組組2 2. .加加邊邊界

20、界條條件件構構造造已已知知兩兩端端點點一一階階導導數數閉閉方方值值和和封封程程組組 1122222211101112102122232322211211122223(,)3(,)3(,)3(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnmmmmfxxfxxyfxxfxxfxxfxxfxxfxx 1nny 數值分析數值分析數值分析數值分析401 , , , ,( )na ba baxxxbxf xC 插插值值區區間間的的 一一個個剖剖分分是是設設被被插插值值函函數數 S S( ( ) )是是滿滿足足第第一一類類或或第第二二類類邊邊界界條條件件的的三三次次樣樣條條 插插值值，則則在在插插值值區區間間上上有有估估計計式式定定 理理()()4(4)()()()(0,1,2)kkkkfxSxc hfxk 1012111(),162iii nxxccc 0 0其其中中 h h= = m ma ax x五樣條插值的收斂性五樣條插值的收斂性數值分析數值分析數值分析數值分析0101,( ),( )nnm mmf xMMMf x就就是是的的近近似似值值。 就就是是的的近近似似值值。 用用三三轉轉角角方方程程求求出出函函數數在在節節點點處處一一階階導導數數用用三三彎彎矩矩方方程程求求出出函函數數在在節節點點處處二二階階導導數數 ( , )(0,8),(1