1、習 題 五 1假設有10只同種電器元件，其中兩只廢品，從這批元件中任取一只，如果是廢品，則扔掉重新取一只，如仍是廢品，則扔掉再取一只，試求在取到正品之前，已取出的廢品只數的數學期望和方差。 解 設為已取出的廢品只數，則的分布為 即 所以 ， 2假設一部機器在一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作，若1周5個工作日里無故障，可獲利10萬元；發生一次故障仍可獲利5萬元，發生兩次故障所獲利潤零元；發生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求1周內期望利潤是多少？ 解 設一周所獲利潤為（萬元），則的可能值為. 又設為機器一周內發生故障的次數，則，于是， 類似地可求出的分布為 所以一周內的

2、期望利潤為 （萬元） 3假設自動線加工的某種零件的內徑（毫米）服從正態分布，內徑小于10或大于12為不合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤（元）與零件的內徑有如下關系： 問平均內徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大. 解 即 兩邊取對數得 即 .時，平均利潤最大. 4從學校到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設為途中遇到紅燈的次數，求隨機變量的分布律、分布函數和數學期望. 解 ，分布律為即 的分布函數為 5設隨機變量服從幾何分布，其分布列為 ，求與 解1 其中 由函數的冪級數展開有 ，所以 因為 ，所以 解2 設 （

3、1）則 （2）（1）（2）得，所以，從而，得 . ， ， ，于是 ，所以 ，故得的方差為 6設隨機變量分別具有下列概率密度，求其數學期望和方差. （1）； （2） （3） （4） 解 （1），（因為被積函數為奇函數） （2） . （3） , ，所以 . （4）, ,所以 . 7在習題三第4題中求 解 因的分布為 所以 . 8設隨機變量的概率密度為 已知，求 （1）的值 （2）隨機變量的數學期望和方差. 解 （1） ， ，解方程組 得 ， ， . （2）， . 9游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個整點的第5分鐘，25分鐘和55分鐘從底層起行。假設一游客在早八點的第分鐘到達底層候梯處，且

4、在上均勻分布，求該游客等候時間的數學期望. 解 設候梯時間為，則 .10設某種商品每周的需求量是服從區間上均勻分布的隨機變量，而經銷商店進貨量為區間中的某一個整數，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，則從外部調劑供應，此時每一單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最小進貨量。 解 設商店獲得的利潤為，進貨量為，則 由題意 即.解不等式得 ，即使利潤的期望值不少于9280元的最少進貨量為21個單位. 11設與同分布，且的概率密度為 （1）已知事件和事件獨立，且，求常數； （2）求。 解 （1） ，即有

5、方程 即 ，可見 或 ，解之得 或（不合題意） 故 . （2）. 12于習題四第15題中求的數學期望. 解 的分布為 （1）求（2）設，求（3）設，求 13設的分布律為YX10112300 解 （1） ； （2） ； （3） .或 或，先求的分布 . 14設離散型二維隨機變量在點取值的概率均為，求 解 ， ，所以 ； ； 15設的概率密度為 求的數學期望. 解 16設二維隨機變量的概率密度為 y0x求. 解 ； ； ； ，于是 ；故 17假設隨機變量服從參數為的指數分布，隨機變量 求（1）的聯合分布，（2）. 解 （1）的分布：X2X1 ， ， （2）. 18設連續型隨機變量的所有可能值在區間

6、之內，證明： （1）； （2） 證 （1）因為，所以，即； （2）因為對于任意的常數有 ，取 ，則有 19一商店經銷某種商品，每周進貨量與顧客對該種商品的需求量是相互獨立的隨機變量，且都服從區間上的均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了進貨量，商店可從其他商店調劑供應，這時每單位商品獲利潤500元，試計算此商店經銷該種商品每周所得利潤的期望值。D2 D1y201020100x 解 設為一周內所得利潤，則 其中所以 （元）. 20設是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 求 解 ， （注：因為參數為1的指數分布的數學期望為1，而是前指數分布向右平移了5個單位，所以）

7、 因獨立，所以 . 今求 方法1 . 方法2 利用公式：當獨立時 21在長為的線段上任取兩點，求兩點距離的期望和方差. 解 以線段的左端點為原點建立坐標系，任取兩點的坐標分別為，則它們均在上服從均勻分布，且相互獨立. 所以 . 22設隨機變量與獨立，且服從均值為1，標準差（均方差）為的正態分布，而服從標準正態分布，試求隨機變量的概率密度. 解 因為相互獨立的正態分布的線性組合仍為正態分布，所以其中 所以的概率密度為 ， 23設是兩個相互獨立的且均服從正態分布的隨機變量，求與. 解1 ； ；所以 . 注意：從上面的解題過程看，計算相當麻煩，下面給出一種簡單的計算方法： 解2 設，則 ； ，所以.

8、 24設隨機變量與相互獨立，且都服從分布，試證 證1 令，則仍相互獨立且均服從于是 從而 ，所以 ；同理可證 證2 如上所設，令，則 利用23題的結果得 由公式 得 ； . 25（超幾何分布的數學期望）設件產品中有件次品，從中任取件進行檢查，求查得的次品數的數學期望. 解 設則 ， 的分布為 ，則 故 注：（1）的分布為，所以的期望為 ，由上面的計算得. （2）若表示次有放回地抽取所得次品數，則，此時，這與超幾何分布的期望相同。 26對三臺儀器進行檢驗，各臺儀器產生故障的概率分別為，求產生故障儀器的臺數的數學期望和方差。 解1 的分布為 由此計算和相當麻繁，我們利用期望的性質進行計算。 設 的

9、分布如下： 于是 故 ；. 27袋中有張卡片，分別記有號碼，從中有放回地抽取張來，以表示所得號碼之和，求. 解 設為第張的號碼，則 的分布為 則 ， 所以 ，. 28將只球（編號為隨機地放入只盒子（編號為）中去，一只盒放一只球。將一只球放入與球同號的盒子算作一個配對，記為配對的個數，求. 解 設則 的分布為 ， . 29從10雙不同的鞋子中任取8只，記為這8只鞋子中成雙的對數，求。 解 的分布為 即 故 . 30已知，求及. 解 31設為三個隨機變量，且 ，若求. 解 32設是三個兩兩不相關的隨機變量，數學期望全為零，方差都是1，求和的相關系數. 解 .所以與的相關系數為 33某箱裝有100件

10、產品，其中一、二和三等品分別為80，10和10件，現從中隨機抽取一件，記試求：（1）隨機變量與的聯合分布；（2）隨機變量與的相關系數. 解 （1）的分布X2X1 所以的相關系數為 34設二維隨機變量在矩形上服從均勻分布，記0xyx=2yx=y 求：（1）和的聯合分布；（2）和的相關系數. 解 （1）， ， ， VU即的概率分布為 （2）， ， ， 所以的相關系數為 . 35設與為具有二階矩的隨機變量，且設，求使達到最小值，并證明 解 ， ， .解方程組 得 ，此時 36設隨機變量和在圓城上服從均勻分布，（1）求和的相關系數；（2）問是否獨立？為什么？ 解 的密度為 （1） 故 的相關系數. （

11、2）關于的邊緣密度為 關于的邊緣密度的 因為，所以不獨立. 37設是二隨機事件，隨機變量 試證明隨機變量和不相關的充分必要條件是與相互獨立. 證 若獨立，則與獨立，當然與不相關，充分性得證，今證必要性設與不相關，即. 因為 ，所以 ，從而有 ，故與獨立。 38設隨機變量的概率密度為，試證明與不相關，也不獨立. 證 （此乃因為是奇函數） 所以，即與不相關。今證與不獨立，用反證法. 假定與獨立，則對任意的正數有但 而，所以出現矛盾，故與不獨立。 39設為二維正態變量，求的概率密度. 解 的相關系數為，所以的密度為 40設二維隨機變量的密度函數為 ，其中和都是二維正態密度函數，且它們對應的二維隨機變

12、量的相關系數分別為和，它們的邊緣密度函數所對應的隨機變量的數學期望都是零，方差都是1。 （1）求隨機變量和的密度函數和，及和的相關系數（可以直接利用二維正態密度的性質）。 （2）問是否獨立？為什么？ 解 （1） ，.同理 ， 因為，所以和的相關系數為 ； （2）因為的密度為 而邊緣密度的乘積為 所以不獨立. 41設為隨機變量，存在，試證明：對任意有 證 若為離散型，其概率分布為則 ； 若為連續型，其概率密度為，則 42若，利用切比雪夫不等式估計概率. 解 由切比雪夫不等式 43給定，利用切比雪夫不等式估計。 解 44用切比雪夫不等式確定，擲一均質硬幣時，需擲多少次，才能保證正面出現的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于0.9. 解 設需擲次，正面出現的次數為，則，依題意應有 而 所以 . 45若隨機變量序列滿足條件 試證明服從大數定律. 證：由切比雪夫不等式，對任意的有 所以對任意的 故服從大數定律。 46設有30個電子器件，它們的使用情況如下：損壞，立即使用；損壞，立即使用等等，設器件的壽命服從參數為小時的指數分布的隨機變量，令為