1、 不難看出，二次型不難看出，二次型 (4.5) 的矩陣的矩陣 B 為為 n 階對角階對角矩陣矩陣.即即B = CTAC = diag(d1 , d2 , , dr , 0 , , 0). 0021rddd),.,(21nyyy nrryyyyy1212222211.rrydydyd rydydydrr的的秩秩為為2222211. .,2 . 4212222211的的全全部部特特征征值值是是二二次次型型的的矩矩陣陣其其中中把把它它化化為為標標準準形形使使得得經經過過正正交交替替換換一一定定存存在在正正交交矩矩陣陣對對于于二二次次型型定定理理AyyyQyxQXAXnnnT .,14. 31為為對對

2、角角陣陣使使得得正正交交矩矩陣陣且且存存在在一一定定與與對對角角矩矩陣陣相相似似實實對對稱稱矩矩陣陣定定理理AQQQA 用正交線性替換化下列二次型為標用正交線性替換化下列二次型為標準形準形, 并求出所作的正交線性替換并求出所作的正交線性替換:;222 )(323121321xxxxxx,x,xxf 111111 A|E|,)1)(2(2 .1113 p,21101121 p,p,01121111 ppe,21161222 ppe.11131333 ppe一般地，用正交線性替換將二次型一般地，用正交線性替換將二次型f ( x1 , x2 , xn ) = xTAx (其中其中 AT = A) 化

3、為標準形的步驟如下化為標準形的步驟如下: 求出二次型矩陣求出二次型矩陣 A 的全部特征值的全部特征值 1 , 2 , , n ; 求出正交矩陣求出正交矩陣 P，使，使PTAP = diag( 1 , 2 , , n) ; 作正交線性替換作正交線性替換 X = PY ，其中，其中Y = (x1 , x2 , , xn )T Rn ，則二次型，則二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 化為標準形化為標準形 1y12 + 2y22 + + nyn2 . 用配方法把三元二次型用配方法把三元二次型32312123222132184432),(xxxxxxxxxxxxf 化為標準形，并求所用的線

4、性替換及變換矩陣化為標準形，并求所用的線性替換及變換矩陣. 用配方法化二次型用配方法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf 為標準形為標準形.即任何一個對稱矩陣都與一個對角矩陣合同即任何一個對稱矩陣都與一個對角矩陣合同. .,A對對任任意意對對稱稱矩矩陣陣為為對對角角矩矩陣陣使使得得矩矩陣陣ACCT,C存存在在可可逆逆矩矩陣陣即即為對角矩陣為對角矩陣使使都存在一個可逆矩陣都存在一個可逆矩陣對任意對稱矩陣對任意對稱矩陣定理定理, 3 . 4ACCCAT線線性性替替換換化化為為標標準準形形每每個個二二次次型型都都可可經經可可逆逆定定理理3 . 4,AxxT對對任任意意二二次次型

5、型為標準形為標準形使得使得yACCyTT)(,Cyx 存存在在可可逆逆線線性性替替換換 EA EAPsTP2TP1TAP1P2PsP1P2Ps3231212322218241212312xxxxxxxxxf 用初等變換法化二次型用初等變換法化二次型為標準形為標準形. 用初等變換法化二次型用初等變換法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf 為標準形為標準形.標準形唯一嗎？標準形唯一嗎？ 標準形不唯一標準形不唯一!323121321622),(xxxxxxxxxf 如果二次型如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = xTAx (其中其中 AT =A) 通過可逆線性替換可以化為通過可逆線性替換可以化為則稱上式為該二次型的則稱上式為該二次型的 規范形中規范形中, ,正項的個數正項的個數 p 稱為二次型的稱為二次型的, ,負項個數負項個數rp 稱為二次型的稱為二次型的. . r 是二次型的秩是二次型的秩. . p ( r p ) = 2p r 稱為二次型的稱為二次型的 推論推論1 任一實對稱矩陣任一實對稱矩陣A A都與對角矩陣都與對角矩陣合同合同, ,其中其中 1 和和1的個數的個數共有共有r個個, ,r 為二次型的秩為二次型的秩. . OEEprp推論推論 2 兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件是它們具有相同的正慣指數