1、高等數學論文 二重積分學習總結 姓名：徐琛豪 班級：安全工程02班 學號：1201050221 完成時間：2013年6月2日 推薦精選 二重積分【本章學習目標】理解二重積分的概念與性質，了解二重積分的幾何意義以及二重積分與定積分之間的聯系，會用性質比較二重積分的大小，估計二重積分的取值范圍。領會將二重積分化為二次積分時如何確定積分次序和積分限，如何改換二次積分的積分次序，并且如何根據被積函數和積分區域的特征選擇坐標系。熟練掌握直角坐標系和極坐標系下重積分的計算方法。掌握曲頂柱體體積的求法，會求由曲面圍成的空間區域的體積。1 二重積分的概念與性質1二重積分定義為了更好地理解二重積分的定義，必須首

2、先引入二重積分的兩個“原型”，一個是幾何的“原型”曲頂柱體的體積如何計算，另一個是物理的“原型”平面薄片的質量如何求。從這兩個“原型”出發，對所抽象出來的二重積分的定義就易于理解了。在二重積分的定義中，必須要特別注意其中的兩個“任意”，一是將區域D成n個小區域的分法要任意，二是在每個小區域上的點的取法也要任意。有了這兩個“任意”，如果所對應的積分和當各小區域的直徑中的最大值時總有同一個極限，才能稱二元函數在區域D上的二重積分存在。2明確二重積分的幾何意義。(1) 若在D上0，則表示以區域D為底，以為曲頂的曲頂柱體的體積。特別地，當1時，推薦精選表示平面區域D的面積。(2) 若在D上0，則上述曲

3、頂柱體在Oxy面的下方，二重積分的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積(3)若在D的某些子區域上為正的，在D的另一些子區域上為負的，則表示在這些子區域上曲頂柱體體積的代數和(即在Oxy平面之上的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).3二重積分的性質，即線性、區域可加性、有序性、估值不等式、二重積分中值定理都與一元定積分類似。有序性常用于比較兩個二重積分的大小，估值不等式常用于估計一個二重積分的取值范圍，在用估值不等式對一個二重積分估值的時候，一般情形須按求函數在閉區域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值，再應用估值不等式得到取值范圍。【主要概念梳理】1.二重積分的定義 設

4、二元函數f(x,y)在閉區域D上有定義且有界.分割 用任意兩組曲線分割D成n個小區域同時用表示它們的面積，其中任意兩小塊和除邊界外無公共點。既表示第i小塊,又表示第i小塊的面積.近似、求和 對任意點 ,作和式取極限 若為的直徑，記,若極限推薦精選存在，且它不依賴于區域D的分法，也不依賴于點的取法，稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分. 記為稱f(x,y)為被積函數，D為積分區域，x、y為積分變元，為面積微元(或面積元素).2.二重積分 的幾何意義(1) 若在D上f(x,y)0，則表示以區域D為底，以f(x,y)為曲頂的曲頂柱體的體積.(2) 若在D上f(x,y)0，則上述曲頂柱體在Oxy面的

5、下方，二重積分 的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積(3)若f(x,y)在D的某些子區域上為正的，在D的另一些子區域上為負的，則表示在這些子區域上曲頂柱體體積的代數和(即在Oxy平面之上的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).3二重積分的存在定理 3.1若f(x,y)在有界閉區域D上連續，則f(x,y)在D上的二重積分必存在(即f(x,y)在D上必可積).3.2若有界函數f(x,y)在有界閉區域D上除去有限個點或有限個光滑曲線外都連續，則f(x,y)在D可積.推薦精選4二重積分的性質二重積分有與定積分類似的性質.假設下面各性質中所涉及的函數f(x,y)，g(x,y)在區域 D上都

6、是可積的.性質1 有限個可積函數的代數和必定可積，且函數代數和的積分等于各函數積分的代數和，即性質2 被積函數中的常數因子可以提到積分號前面，即性質3 若D可以分為兩個區域D1,D2，它們除邊界外無公共點，則性質4 若在積分區域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示區域D的面積，則性質5 若在D上處處有f(x,y)g(x,y)，則有推論 性質6(估值定理) 若在D上處處有mf(x,y)M，且S(D)為區域D的面積，則性質7(二重積分中值定理) 設f(x,y)在有界閉區域D上連續，則在D上存在一點,使推薦精選【數學思想方法】二重積分是一元函數定積分的推廣與發展，它們都是某種形式的和的極限，即分

7、割求和、取極限，故可用微元法的思想來理解二重積分的概念與性質。2 在直角坐標系中二重積分的計算本章的重點是二重積分的計算問題，而直角坐標系中二重積分的計算問題關鍵是如何確定積分區域及確定X型區域還是Y型區域，這也是本章的難點。直角坐標系中二重積分計算的基本技巧： (1)在定積分計算中，如果D的形狀不能簡單地用類似或的形式來表示，則我們可以將D分成若干塊，并由積分性質對右端各式進行計算。(2)交換積分次序不僅要考慮到區域D的形狀，還要考慮被積函數的特點。如果按照某一積分次序的積分比較困難，若交換積分次序后，由于累次積分的積分函數(一元積分)形式發生變化，可能會使新的積分次序下的積分容易計算，從而

8、完成積分的求解。但是無論是先對推薦精選積分，再對y積分，還是先對y積分，再對積分最終計算的結果應該是相同的。一般的處理方法是由積分限確定積分區域D，并按照新的積分次序將二重積分化成二次積分。具體步驟如下：確定D的邊界曲線，畫出D的草圖；求出D邊界曲線的交點坐標；將D的邊界曲線表示為x或y的單值函數；考慮是否要將D分成幾塊；用x,y的不等式表示D.注：在積分次序選擇時，應考慮以下幾個方面的內容：()保證各層積分的原函數能夠求出；()若D為X型(Y型),先對x(y)積分；()若D既為X型又為Y型，且滿足()時，要使對D的分塊最少。(3) 利用對稱性等公式簡化計算設f(x,y)在區域D上連續，則當區

9、域D關于x軸對稱若，則0；若，則2，其中D1為D在x軸上方部分。當區域D關于y軸對稱若，則0；若，則2，其中D2為D在推薦精選y軸右側部分。當區域D關于x軸和y軸都對稱若或，則0；若，則4，其中D1為D在第一象限部分。輪換對稱式設D關于直線對稱，則.【主要概念梳理】直角坐標系中二重積分計算當被積函數f(x,y)0且在D上連續時, 若D為 X - 型區域 則 若D為Y 型區域,則說明:若積分區域既是X型區域又是Y 型區域 , 則有3 在極坐標系中二重積分的計算極坐標系中二重積分計算的基本技巧：(1)一般地，如果積分區域是圓域、扇形域或圓環形域，且被積函數為推薦精選等形式時，計算二重積分時，往往采用極坐標系來計算。【主要概念梳理】利用極坐標系計算二重積分 在極坐標系下, 用同心圓r=常數及射線q =常數, 分劃區域D 為。則特別地若 則有若則有若則有 9.4 二重積分的應用二重積分的應用主要在幾何方面和物理方面。幾何應用之一是求曲線所圍成的面積，應用之二是求曲面所圍成的立體的體積；物理應用主要是平面薄片的質量。【主要概念梳理】(1) 空間立體的體積V設空間立體由曲面與所圍成， 在面投影為平面區域D，并且.則推薦精選或.