1、2.4鏡象法Method of images重點掌握1鏡象法的基本概念2 求解電勢的基本方法一、鏡象法的概念和適用條件1. 求解泊松方程的難度v2 = 2. 以唯一性定理為依據(jù)導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷 分布等效地看作一個或 幾個點電荷來給出嘗試 解。3鏡象法概念、適用情況鏡象法：用假想點電荷來等效 地代替導(dǎo)體邊界面上的面 電荷分布，然后用空間點 電荷和等效點電荷迭加給 出空間電勢分布。適用情況：a）所求區(qū)域有少許幾個點電 荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可 以用假想點電荷代替。b）導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則, 具有一定對稱性。c）給定邊界條件 注意：a）做替代時，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由點電荷位置.

2、0大小不能變）所以假想電荷必須放在所 求區(qū)域之外。b）不能改變原有邊界條件（實際是通過邊界條件來確定 假想電荷的大小和位置）。c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來的電荷分布。d）坐標系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定。二.鏡象法的具體應(yīng)用用鏡象法解題大致可按以下步驟進行:a）正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界 條件；b）根據(jù)給定的邊界條件計算象電荷的電量和所在 位置；R0處有一點電荷0,求空間各點電勢。解：(1)唯一性條件：導(dǎo)體 球接地故球的電勢為零。右半空間，Q點、處,電勢 滿足泊松方程。根據(jù)鏡象法原則假想電荷 應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個點 電荷，場應(yīng)具有軸對稱，故假 想電荷應(yīng)在線上，即極

3、軸上。1 VQ Q =+ 1II纟 + 4兀耳）r rr(2)由邊界條件確定0和rf設(shè) OQ9 = br = yj7?2 +/ 2尺a cos &r r20r = J+乃2 -2Rbcos&=0小+纟= 0=-2Qf2R=RR=R“解得+ ar = VR2 + a2 2Ra cos 0 r = JR? +慶 一 2Rb cos&41 =lR=Ri)l/e=&)= Qf2(R -ba2)-2Q,?R)a cos0 因0任意的Q1b = Qf2a+ F) = Q2(用 R(、Q a0 = QJ(Ra/+ R： -2RacosOQ1RJa導(dǎo)體球接地后, 電荷Q” = _Q感應(yīng)電荷總量不為零，可認為

4、=冬空移到地中去了。a|a|v|Q，因此。發(fā)出的電力線一部分會聚到導(dǎo) 體軟面!t,剩余傳到無窮遠。4兀5、yjR2 +a2 - 2Racos0+R/a - 2RR；、cosO/a(4 )若導(dǎo)體不接地若導(dǎo)體不接地，可視起分布在導(dǎo)體面上。不接地導(dǎo)體已為 等勢體，加上Q還要使導(dǎo)體為等勢體，處須均勻分布在球面上。 這時導(dǎo)體球上總電量三0 (因為均勻分布球面上可使導(dǎo)體 產(chǎn)生的電勢等效于在球心的點電荷產(chǎn)生的電勢)Q” =“ +等效電荷一般是點電荷組或一個帶電體系, 希不一楚就是一個點雖荷。(5)若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾?若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾蒕),導(dǎo)體上總電荷為 此時要保持導(dǎo)體為等勢體，0,

5、Q0,第一項為排斥力，第二項為吸引力(與Q(無關(guān)，與OJ(x-4)2 +(y + Z?)2 + Z? J(x + a)2 +(y-Z?)2 + z? b Q(3)若兩平面夾角e = tQ 放在 Q =9/2 A 用鏡象法求解的條 件是什么？象電荷數(shù)為5個象電荷數(shù)也為5個(4)若兩平面夾角6 =匕 Q放在2 v &的崔 意處。這些象電荷都在過“原”點電荷且與兩導(dǎo)體面垂直的面內(nèi)25練習:兀0 =象電荷數(shù)n2花一17T e = 47Vo =623總結(jié)與討論1. 鏡象法的基本要領(lǐng)1）根據(jù)唯一性定理要求的條件求解電磁場泊松方程邊值 問題2）在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，保持求解 區(qū)域電荷分布不變；3）引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關(guān)系和邊界條件2、與分離變量法比較共同點：1）兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊界條件進行求解；2）可解的條件都是唯一性定理所要求的分區(qū)均勻介質(zhì) 和邊界條件O不同點:分離變量法鏡象法電荷分布求解區(qū)域沒有