1、數學思想和數學方法既有區別又有密切聯系。數學思想的理論和抽象程度要高一些，而數學方法的實踐性更強一些。人們實現數學思想往往要靠一定的數學方法；而人們選擇數學方法，又要以一定的數學思想為依據。因此，二者是有密切聯系的。我們把二者合稱為數學思想方法。數學思想方法是數學的靈魂，那么，要想學好數學、用好數學，就要深入到數學的“靈魂深處”。 數學課程標準在總體目標中明確提出：“學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”這一總體目標貫穿于小學和初中，這充分說明了數學思想方法的重要性。在小學數學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法可以加深學

2、生對數學概念、公式、法則、定律的理解，提高學生解決問題的能力和思維能力，也是小學數學進行素質教育的真正內涵之所在。同時，也能為初中數學思想方法的學習打下較好的基礎。在小學階段，數學思想方法主要有符號化思想、化歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函數思想、一一對應思想、模型思想、數形結合思想、演繹推理思想、變換思想、統計與概率思想等等。為了使廣大小學數學教師在教學中能很好地滲透這些數學思想方法，筆者把這些思想方法比較系統地進行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們在小學數學各個知識點中的應用，以及了解每個思想方法的適當拓展。一、符號化思想1. 符號化思想的概念。數學符

3、號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數學有了符號，才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數學的普及和發展；國際通用的數學符號的使用，使數學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號化思想。數學課程標準比較重視培養學生的符號意識，并提出了幾點要求。那么，在小學階段，如何理解這一重要思想呢？下面結合案例做簡要解析。第一，能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數相加，

4、交換加數的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：Sab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。第二，理解符號所代表的數量關系和變化規律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表示情境中數量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。第三，會進行符號間的轉換。數量間的關系一旦確定，便可以用數學符號表示出來，但數學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛

5、汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數量關系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉換的。第四，能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數學基本功，也是非常重要的數學能力。3. 符號化思想的具體應用。數學的發展雖然經歷了幾千年，但是數學符號的規范和統一卻經歷了比較慢長的過程。如我們現在通用的算術中的十進制計數符號數字09于公元8世紀在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數在早期

6、主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。符號在小學數學中的應用如下表。知識領域知識點應用舉例應用拓展數與代數數的表示阿拉伯數字：09中文數字：一十百分號：千分號：用數軸表示數數的運算+、( ) 2（平方）3（立方）數的大小關系、K21K24，所以KK（K1）（K1）（K2）（K2），所以把這個偶數拆分成兩個相等的數的和，它們的積最大。如果N為奇數，可設N2K1（K為任意大于1的自然數）；那么NK（K1）（K1）（K2）（K2）（K3），因為K2KK2K2K2K6，所以K（K1）（K1）（K2）（K2）（K3），所以把這個奇數拆分成

7、兩個相差1的數的和，它們的積最大。仔細觀察問題可以發現，題中的自然數只要大于4, 便存在一種普遍的規律；因此，取幾個具體的特殊的數，也應該存在這樣的規律。這時就可以把一般問題轉化為特殊問題，僅舉幾個有代表性的比較小的數（只要大于4）進行枚舉歸納，如10,11等，就可以解決問題，具體案例見前文。化歸思想作為最重要的數學思想之一，在學習數學和解決數學問題的過程中無所不在，對于學生而言，要學會善于運用化歸的思想方法解決各種復雜的問題，最終達到在數學的世界里舉重若輕的境界。三、模型思想1. 模型思想的概念。數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣

8、義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖表、程序等都是數學模型。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數學家對數學模型的理解似乎更注重數學的應用性,即把數學模型描述為特定的事物系統的數學關系結構。如通過數學在經濟、物理、農業、生物、社會學等領域的應用，所構造的各種數學模型。為了把數學模型與數學知識或是符號思想明顯地區分開來，本文主要從俠義的角度討論數學模型，即重點分析小學數學的應用及數學模型的構建。2. 模型思想的重要意義。數學模型是運用數學的語言和工具，對現

9、實世界的一些信息進行適當的簡化，經過推理和運算，對相應的數據進行分析、預測、決策和控制，并且要經過實踐的檢驗。如果檢驗的結果是正確的，便可以指導我們的實踐。如上所述，數學模型在當今市場經濟和信息化社會已經有比較廣泛的應用；因而，模型思想在數學思想方法中有非常重要的地位，在數學教育領域也應該有它的一席之地。如果說符號化思想更注重數學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數學的應用，即通過數學結構化解決問題，尤其是現實中的各種問題；當然，把現實情境數學結構化的過程也是一個抽象的過程。現行的數學課程標準對符號化思想有明確的要求，如要求學生“能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示”這實際上

10、就包含了模型思想。但是，課程標準對第一、二學段并沒有明確提出模型思想的要求，只是在第三學段的內容標準和教學建議中明確提出了模型思想，要求在教學中“注重使學生經歷從實際問題中建立數學模型”，教學過程以“問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的模式展開。如果說小學數學教育工作者中有人關注了模型思想，多數人基本上只是套用第三學段對模型思想的要求進行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學的貫徹落實。據了解，即將頒布的課程標準修改稿與現行的課程標準相比有了較大變化，在課程內容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過

11、程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識”。并在教材編寫建議中提出了“教材應當根據課程內容，設計運用數學知識解決問題的活動。這樣的活動應體現問題情境建立模型求解驗證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想、積累活動經驗；要有利于提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創新意識”。這是否可以理解為：在小學階段，從課程標準的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重

12、要意義。這不僅表明了數學的應用價值，同時明確了建立模型是數學應用和解決問題的核心。3. 模型思想的具體應用。數學的發現和發展過程，也是一個應用的過程。從這個角度而言，伴隨著數學知識的產生和發展，數學模型實際上也隨后產生和發展了。如自然數系統1，2，3，是描述離散數量的數學模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決問題的。就小學數學的應用來說，大多數是古老的初等數學的簡單應用，也許在數學家的眼里，這根本就不是真正的數學模型；不過，小學數學的應用雖然簡單，但仍然是現實生活和進一步學習所不可或缺的。小學數學中的模型如下表。知識領域知

13、識點應用舉例數與代數數的表示自然數列：0,1,2,用數軸表示數數的運算a+b=cca =b, cbaabc(a0,b0)ca=b, cba運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數量關系時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價：a=np正比例關系：y/x=k反比例關系：xy=k用表格表示數量間的關系用圖象表示數量間的關系空間與圖形用字母表示公式三角形面積：Sab平行四邊形面積：Sah梯形面積：S (a+b)h圓周長：C2r圓面積：Sr2長方體體積：v=a

14、bc正方體體積：v=a3圓柱體積：v=sh圓錐體積：v=sh空間形式用圖表表示空間和平面結構統計與概率統計圖和統計表用統計圖表描述和分析各種信息可能性用分數表示可能性的大小4模型思想的教學。從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經過抽象后用符號和圖表表達數量關系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數學解決生活和科學研究中的各種問題。正是因為數學在各個領域的廣泛應用，不但促進了科學和人類的進步，也使得人們對數學有了新的認識：數學不僅僅是數學家的樂園，它也不應是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學生的朋友。廣大教師在教學

15、中結合數學的應用和解決問題的教學，要注意貫徹課程標準的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，并喜歡數學。學生學習數學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學習的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及各種課外問題。數學建模是一個比較復雜和富有挑戰性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：(1) 理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統。(2) 把復雜的情境經過分析和簡化，確定必要的數據。(3) 建立模型，可以是數量

16、關系式，也可以是圖表形式。(4) 解答問題。下面結合案例做簡要解析。第一，學習的過程可以經歷類似于數學家建模的再創造過程。現實生活中已有的數學模型基本上是數學家和物理學家等科學家們把數學應用于各個科學領域經過艱辛的研究創造出來的，使得我們能夠享受現有的成果。如阿基米德發現了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，等于兩個物體重量的反比，即1：22：L1。根據課程標準的理念，學生的學習過程有時是一個探索的過程，也是一個再創造的過程；也就是說有些模型是可以由學生進行再創造的，可以把科學家發明的成果再創造一次。如在學習了反比例關系以后，可以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠桿定律。再如利用若

17、干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數與長方體的長、寬、高的關系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型Vabc，這是一個模型化的過程，也是一個再創造的過程。第二，對于大多數人來說，在現實生活和工作中利用數學解決各種問題，基本上都是根據對現實情境的分析，利用已有的數學知識構建模型。這樣的模型是已經存在并且是科學的，并不是新發明的，由學生進行再創造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學生再創造。如兩個變量成反比例關系，如果給出兩個量數據變化的表格，學生通過觀察和計算有可能發現這兩個量的關系。但是如果讓學生動手實踐操作去發現規律，還是有一定

18、難度的。再如物體運動的路程、時間和速度的關系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學生進行再創造。教師只需要通過現實模擬或者動畫模擬，使學生能夠理解模型的意義便可。第三，應用已有的數學知識分析數量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進而解決各種問題。學生學習了教材上的基礎知識以后，利用已有知識解決新的更加復雜的各種問題，是一個富有挑戰的過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學生奧林匹克數學競賽中有很多應用數學解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學生和大學生組隊參加數學建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。案

19、例1：小明的家距離學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早晨出門2分鐘后發現忘記帶學具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，他從回家再到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）解答過程如下：(1) 本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關于時間、速度和路程的問題。(2) 這里需要明確所求的速度相對應的路程和時間是什么，因為取東西等時間忽略不計，因此剩余的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘后開始算，再回家的路程加上從家到學校的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。(3) 根據基本的關系式s=vt，可先求出s60

20、0+（60010）2720(米),t1028(分鐘)。列式為：7208v。(4)v90，即小明步行的速度為90米分鐘。從上面的解答過程來看，小學數學的情境還是比較容易理解的，模型系統也容易確定。如果說此題比教材中的一般習題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出,拐了個彎。也就是說難點在于第二步中知道模型系統后相應的數量怎么準確地找出來，一定要注意題中對每一個量是怎樣敘述的，有什么特殊的要求，在認真讀題的基礎上準確地找出來或計算出來。案例2 ：有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩余，并且每種規格的跳繩至少要有一根。）分析：此題從表面上看，是小

21、學數學整數乘除法的一般問題，但是由于題目中有特殊要求，無法直接列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數，屬于二元一次方程，超出了小學數學的范圍。那么，面對這樣的問題如何解決呢？在小學數學中面對一些非常規的問題時，有時運用列表枚舉或者猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣一些。5米跳繩的根數12342米跳繩的根數7520剩余米數1010由上表可知符合要求的答案為：5米和2米的跳繩分別剪2根和5根。此題如果用方程解決，可設5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程：5x2y20。可仿照正比例關系ykx圖像的畫法，在有方格紙的坐標系里，通過兩點(0，10)和(4，0)畫出一條直線，就是方程5x

22、2y20的圖像。再找出圖像與方格的交叉點重合的點，就是方程的解。案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？分析：此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要的假設，就是礦泉水瓶圓柱部分并不是一個嚴格的圓柱形狀，要假設它是圓柱形狀，這樣才便于建立模型。由于不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據容積公式vsh，可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比。這樣就把求容積問題轉化為比例的問題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規則，倒立過來以后喝的水就相當于圓

23、柱形瓶子高度為4厘米的水。滿瓶礦泉水就相當于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水。可設小林喝的水為v毫升，列式為：v：5004：(16+4)，v100。四、推理思想1. 推理思想的概念。推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據的判斷叫前提，根據前提所得到的判斷叫結論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據一般性的真命題（或邏輯規則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。合情推理的常用

24、形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真時，合情推理所得的結論可能為真也可能為假。(1) 演繹推理。三段論，有兩個前提和一個結論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：一切奇數都不能被整除，(3)是奇數，所以(3)不能被整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支，結論則肯定剩下的那個選言支。例如：一個三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要

25、么是鈍角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個鈍角三角形。假言推理， 假言推理的分類較為復雜，這里簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個數的末位是，那么這個數能被整除；這個數的末位是，所以這個數能被整除。這里的大前提是一個假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關系推理，是前提中至少有一個是關系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關系推理：(1)對稱性關系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反對稱性關系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)傳遞性關系推理，ab，bc，所以

26、ac。關系推理在數學學習中應用比較普遍，如在一年級學習數的大小比較時，把一些數按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用到了關系推理。(2) 合情推理。歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質，而推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對象發現某些相同的性質，推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。依據該方法得到的

27、結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。數學歸納法是一種特殊的數學推理方法，從表面上看并沒有考察所有對象，但是根據自然數的性質，相當于考察了所有對象，因而數學歸納法實際上屬于完全歸納推理。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。2. 推理思想的重要意義。我國數學教育幾十年來的主要優勢或者說成果就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想象能力。傳統的數學大綱比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而現行的課程標準又矯枉過正，過于強調合情推理，在邏

28、輯推理能力方面有所淡化。近年來課程改革的實踐證明，二者不可偏廢。就學好數學或者培養人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據了解，課程標準修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性”。數學在當今市場經濟和信息化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成。但是就人的思維能力構成而言，推

29、理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養推理能力仍然是數學教育的主要任務之一。3. 推理思想的具體應用。推理思想作為數學的一個重要的思想方法，無論在小學還是在中學都有著廣泛的應用，尤其是合情推理作為數學發現的一種重要方法，在小學數學的探究學習和再創造學習中應用更為廣泛。在小學數學中雖然沒有初中類似于數學證明等嚴密規范的演繹推理，但是在很多結論的推導過程中間接地應用了演繹推理。如推導出平行四邊形的面積公式之后，三角形的面積公式的推導過程是先把兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。這個過程實際上應用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等于底乘高，兩個同樣

30、的三角形的面積等于平行四邊形的面積，所以兩個同樣的三角形的面積等于底乘高；因而一個三角形的面積就等于底乘高的積除以2。小學數學中推理思想的應用如下表。思想方法知識點應用舉例不完全歸納法找規律找數列和圖形的規律整數計算四則計算法則的總結運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不變的規律分數分數的基本性質面積長方形面積公式的推導體積長方體體積公式的推導圓柱體積公式的推導圓錐體積公式的推導完全歸納法三角形三角形內角和的推導類比推理整數讀寫法億以內及億以上的數的讀寫，與萬以

31、內數的讀寫相類比整數的運算四則計算的法則：多位數加減法與兩位數加減法相類比，多位數乘多位數與多位數乘一位數相類比，除數是多位數的除法與除數是一位數的除法相類比小數的運算整數的運算法則、順序和定律推廣到小數分數的運算整數的運算順序和運算定律推廣到分數除法、分數和比除法商不變的規律、分數的基本性質和比的基本性質進行類比面積與平行四邊形面積公式的推導方法相類比，三角形、梯形面積公式的推導，也用轉化的方法，把它們轉化成平行四邊形推導面積公式。長度、面積、體積線、面、體之間的類比：線段有長短，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來計量問題解決數量關系相近

32、的實際問題的類比，如分數實際問題與百分數實際問題的類比雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問題的類比抽屜原理不同素材的抽屜原理問題的類比三段論多邊形多邊形內角和的推導面積正方形面積公式的推導平行四邊形面積公式的推導三角形面積公式的推導梯形面積公式的推導圓面積公式的推導體積正方體體積公式的推導選言推理類似于人教版二年級上冊數學廣角中的“猜一猜”假言推理根據概念、性質等進行判斷的一些問題關系推理大小比較、恒等變形、等量代換等等4推理思想的教學。就演繹推理和合情推理的關系及教學建議，課程標準修改稿指出“推理貫穿于數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條

33、理性，不要過分強調推理的形式。教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特征提出不同程度的要求”。根據以上課程標準關于推理思想的理念和要求，在小學數學教學中要注意把握以下幾點。第一，推理是重要的思想方法之一，是數學的基本思維方式，要貫穿于數學教學的始終。在小學數學中，除了運算是數學的基本方法外，推理也是常用的數學方法。無論是低年級的找規律、總結計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理的思想方法。因而，廣大教

34、師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應用，是一個長期的培養過程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據特殊的事實去發現和總結一般性的結論，演繹推理往往用于根據已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。二者在數學中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培養與四大內容領域的教學要有機地結合。推理能力的發展與各領域知識的學習是一個有機的結合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發現結論，培養推理能力。第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養要結合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水平和接受能力。綜合現行課程標準

35、及其修改稿關于 “數學思考”分階段的目標要求，推理能力在小學階段的要求可參考下表。學段推理能力教學目標第一學段初步學會選擇有用信息進行簡單的歸納和類比第二學段在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果下面再結合案例談談幾種在小學數學中應用較多的推理思想的教學。（1）類比思想。無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。因此，要引導學生在學習數學的過程中善于利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如由整數的運算定律遷移到小數、分數的運算定律，問題解決中數量關系相近的問題的類比等。而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現。如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵就是通過類比找到抽屜。應用類比的思想方法，關鍵在于發