1、會計學(xué)1單孔的夫瑯和費(fèi)衍射單孔的夫瑯和費(fèi)衍射衍射物只在衍射物只在方向上限制入射光波，在方向上限制入射光波，在方向不受限制。方向不受限制。因此單縫衍射是一維問題因此單縫衍射是一維問題。入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。設(shè)衍射物（單縫）的透射系數(shù)為：設(shè)衍射物（單縫）的透射系數(shù)為：0rect)(at則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：0rect)()(atA代入我們上次課得到的一維孔徑夫瑯和費(fèi)衍射積分公式即可。代入我們上次課得到的一維孔徑夫瑯和費(fèi)衍射積分公式即可。第1頁/共39頁dydxadyxdjkdjyxE222exp1),(其中：其

2、中：ddxjAdxa2exp)(ddxja2exprect0dxaa00sinc代入上式，可得單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布：代入上式，可得單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布：fyfxafyxfjkfjayxE2200sinc2exp),(第2頁/共39頁單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的輻照度分布：單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的輻照度分布：2),(),(yxEyxLfyfxafa022220sinc單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的衍射圖形見教材單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的衍射圖形見教材186頁圖（頁圖（a）圖（）圖（b）令：令：0)(xL得：得：0/afx所以中央亮斑的條紋寬度：所以中央亮斑的條紋寬度：0/2afw不難得出，其

3、他條紋的寬度是中央條紋寬度的不難得出，其他條紋的寬度是中央條紋寬度的1/2。第3頁/共39頁 f /a0- f /a02 f /a0-2 f /a0 x 1L / L0 0輻照度分布：輻照度分布：斜入射情況：斜入射情況：S第4頁/共39頁入射光是斜入射平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為：入射光是斜入射平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為：rk jexpSsinexp jk則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：0rect)sinexp()()sinexp()(ajktjkA其傅立葉變換為：其傅立葉變換為：ddxjAdxa2exp)(第5頁/共39頁ddxjAdxa2exp)(sinsinc0

4、0dxaa斜入射時單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布：斜入射時單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布：fyfxafyxfjkfjayxE22sinsinc2exp),(00輻照度分布：輻照度分布：fyfxafayxLsinsinc),(022220所以斜入射時屏上的復(fù)振幅分布不變，只是有了一個平移：所以斜入射時屏上的復(fù)振幅分布不變，只是有了一個平移：sinfx 第6頁/共39頁4.3.2 矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射fSCLy yx這是一個二維衍射問題，需要計算一個二重積分。但是對于這是一個二維衍射問題，需要計算一個二重積分。但是對于可分離變量的透射系數(shù)，可簡化為分別計算兩個一維積分?？煞蛛x變

5、量的透射系數(shù)，可簡化為分別計算兩個一維積分。第7頁/共39頁入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。設(shè)衍射物（矩孔）的透射系數(shù)為：設(shè)衍射物（矩孔）的透射系數(shù)為：0021rectrect)()(),(battt則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：0021rectrect)()(),(baAAA函數(shù)函數(shù))(),(21AA的傅立葉變換為：的傅立葉變換為：dxaadxa001sincdybbdya002sinc第8頁/共39頁上次課得到的夫瑯和費(fèi)衍射積分公式：上次課得到的夫瑯和費(fèi)衍射積分公式：dddydxjkEyx2djkdjjkdyxE22ex

6、p,expexp,利用剛才求得的傅立葉變換結(jié)果：利用剛才求得的傅立葉變換結(jié)果：fybfxabayx2fjkfjjkfyxE220000sincsincexpexp,屏上的輻照度分布：屏上的輻照度分布：2),(),(yxEyxLfybfxafba0202222020sincsincfybfxaL0202sincsinc)0 , 0(第9頁/共39頁(1) 衍射光強(qiáng)分布衍射光強(qiáng)分布對于沿對于沿x軸軸的光強(qiáng)度分布，的光強(qiáng)度分布， 因因y=0， 有有fxaLxL02sinc)0 , 0()0 ,(當(dāng)當(dāng)x=0 時時(對應(yīng)于原點(diǎn)對應(yīng)于原點(diǎn))，有主極大。在，有主極大。在為整數(shù)處，有極小值，為整數(shù)處，有極小值

7、， L=0，與這些，與這些值相應(yīng)的點(diǎn)是暗點(diǎn)，值相應(yīng)的點(diǎn)是暗點(diǎn)， 暗點(diǎn)的位置為暗點(diǎn)的位置為 2sinc)0 , 0(L0afmx(m=1,2,)相鄰兩暗點(diǎn)之間的間隔為：相鄰兩暗點(diǎn)之間的間隔為： 0afx第10頁/共39頁 在相鄰兩個暗點(diǎn)之間有一個強(qiáng)度次極大，在相鄰兩個暗點(diǎn)之間有一個強(qiáng)度次極大， 次極大的位置由次極大的位置由下式?jīng)Q定下式?jīng)Q定: 0)(sinc2ddtan夫朗和費(fèi)矩形孔衍射在夫朗和費(fèi)矩形孔衍射在y軸上的強(qiáng)度分布特性與軸上的強(qiáng)度分布特性與x軸類似。軸類似。在在x, y軸以外軸以外各點(diǎn)的光強(qiáng)度，可按各點(diǎn)的光強(qiáng)度，可按式式進(jìn)行計算，進(jìn)行計算，圖圖 給出了一些給出了一些特征點(diǎn)的光強(qiáng)度相對值。

8、特征點(diǎn)的光強(qiáng)度相對值。 顯然，顯然， 盡管在盡管在xOy面內(nèi)存在一些次極面內(nèi)存在一些次極大點(diǎn)，大點(diǎn)， 但它們的光強(qiáng)度極弱。但它們的光強(qiáng)度極弱。 第11頁/共39頁)(sinc2第12頁/共39頁夫朗和費(fèi)矩形孔衍射圖樣中一些特征點(diǎn)的相對強(qiáng)度夫朗和費(fèi)矩形孔衍射圖樣中一些特征點(diǎn)的相對強(qiáng)度 第13頁/共39頁 (2) 中央亮斑中央亮斑 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處， 其邊緣在其邊緣在x, y軸上的位置是軸上的位置是 00bfyafx和中央亮斑面積為中央亮斑面積為 002204bafS該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比，在相同波長和該式說明，中央亮斑

9、面積與矩形孔面積成反比，在相同波長和裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大. 第14頁/共39頁 (3) 衍射圖形狀衍射圖形狀 當(dāng)孔徑尺寸當(dāng)孔徑尺寸a0=b0, 即為方形孔徑時，沿即為方形孔徑時，沿x, y方向有相同的衍射圖樣。當(dāng)方向有相同的衍射圖樣。當(dāng)a0b0， 即對于矩形孔徑，即對于矩形孔徑， 其衍射其衍射圖樣沿圖樣沿x, y方向的形狀雖然相似，但線度不同。例如，方向的形狀雖然相似，但線度不同。例如，a 0b0時時， 衍射圖樣沿衍射圖樣沿x軸亮斑寬度比沿軸亮斑寬度比沿y軸的亮斑寬度大。軸的亮斑寬度大。4.3.3 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射由于光學(xué)儀器的光

10、瞳通常是圓形的，所以討論圓孔衍射現(xiàn)象對光由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，所以討論圓孔衍射現(xiàn)象對光學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實(shí)際意義。學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實(shí)際意義。夫朗和費(fèi)圓孔衍射的討論方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只夫朗和費(fèi)圓孔衍射的討論方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，采用極坐標(biāo)處理更加方便。是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對稱性，采用極坐標(biāo)處理更加方便。第15頁/共39頁fSCLy yx這是一個二維衍射問題，需要計算一個二重積分?？紤]到圓這是一個二維衍射問題，需要計算一個二重積分?？紤]到圓孔的對稱性，在極坐標(biāo)系中處理比較簡便。孔的對稱性，在極坐標(biāo)系中處理比較簡便。第16

11、頁/共39頁設(shè)圓孔上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)為設(shè)圓孔上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)為、，與相應(yīng)的直角坐標(biāo)，與相應(yīng)的直角坐標(biāo)x, y的關(guān)系為：的關(guān)系為：=cos=sin 類似地，觀察屏上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)類似地，觀察屏上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)r、與相應(yīng)的直角與相應(yīng)的直角坐標(biāo)的關(guān)系為坐標(biāo)的關(guān)系為 sincosryrx第17頁/共39頁dddydxjkEyx2djkdjjkdyxE22exp,expexp,ddfrjkEr2fjkfjjkfrE)cos(exp,expexp,2由此，屏上光場復(fù)振幅，由此，屏上光場復(fù)振幅， 在經(jīng)過坐標(biāo)變換后為在經(jīng)過坐標(biāo)變換后為 ：fr/是衍射角。是衍射角。設(shè)衍射物（圓孔）的透射系數(shù)為：設(shè)衍射物（

12、圓孔）的透射系數(shù)為：circ)( t是圓孔的半徑。是圓孔的半徑。第18頁/共39頁入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：則透過衍射物之后的復(fù)振幅為：circ),(E代入后：代入后：ddfrjkr2fjkfjjkfrE)cos(expexpexp,2根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式 ：dixxJ200)cosexp(21)(第19頁/共39頁可將上式變換為可將上式變換為 ：002expexp2,dfrkJr2fjkfjjkfrE這里已利用了這里已利用了J0(x)為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)為偶函

13、數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì): )()(10 xxJdxxxJ式中，式中，J1(x)為一階貝塞爾函數(shù)，可得為一階貝塞爾函數(shù)，可得: frkJ2frfjkjrrE12exp,第20頁/共39頁屏上的輻照度分布：屏上的輻照度分布：2)()(rErL21frkJrfrkfrkJf1222可以證明，可以證明，x0時，時， 1)(21xxJ屏上中心點(diǎn)輻照度：屏上中心點(diǎn)輻照度：22) 0(fL令：令： frk則：則： 21)(2)0()(JLL第21頁/共39頁21)(2)0()(JLL基于此式，可以得到夫朗和費(fèi)圓孔衍射的如下特點(diǎn)：基于此式，可以得到夫朗和費(fèi)圓孔衍射的如下特點(diǎn)：(1) 衍射圖樣衍射圖樣

14、由上三式可見，夫朗和費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度由上三式可見，夫朗和費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度分布僅與衍射角分布僅與衍射角有關(guān)有關(guān)(或者，由或者，由=r/f，僅與，僅與r有關(guān)有關(guān))， 而與方而與方位角位角坐標(biāo)無關(guān)。這說明，夫朗和費(fèi)圓孔衍射圖樣是圓形條坐標(biāo)無關(guān)。這說明，夫朗和費(fèi)圓孔衍射圖樣是圓形條紋。紋。 fr/是衍射角。是衍射角。frk第22頁/共39頁0/LL第23頁/共39頁圓孔夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布圓孔夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布 21/ )(2J第24頁/共39頁 (2) 愛里斑愛里斑 由上表可見，中央亮斑集中了入射在圓孔上能量的由上表可見，中央亮斑集中了入射在圓孔上能量的83.78%，這個亮斑叫愛里斑。愛里

15、斑的半徑，這個亮斑叫愛里斑。愛里斑的半徑r0由第一光強(qiáng)極由第一光強(qiáng)極小值處的小值處的值決定，值決定， 即即 ：22. 1010frk因此因此 ffr61. 0222. 10或以角半徑或以角半徑0表示表示 61. 000fr第25頁/共39頁4.3.4 光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) 瑞利判據(jù)瑞利判據(jù)從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看，每個像點(diǎn)應(yīng)該是一個幾何點(diǎn)，因此，從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看，每個像點(diǎn)應(yīng)該是一個幾何點(diǎn)，因此， 對于一個無像差的理想光學(xué)成像系統(tǒng)，其分辨本領(lǐng)應(yīng)當(dāng)是無對于一個無像差的理想光學(xué)成像系統(tǒng)，其分辨本領(lǐng)應(yīng)當(dāng)是無限的，限的， 即兩個點(diǎn)物無論靠得多近，像點(diǎn)總可分辨開。即兩個點(diǎn)物無論靠得多近

16、，像點(diǎn)總可分辨開。 但實(shí)但實(shí)際上，際上， 光波通過光學(xué)成像系統(tǒng)時，總會因光學(xué)孔徑的有限光波通過光學(xué)成像系統(tǒng)時，總會因光學(xué)孔徑的有限性產(chǎn)生衍射，性產(chǎn)生衍射， 這就限制了光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)。通常這就限制了光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)。通常，由于光學(xué)成像系統(tǒng)具有光闌、，由于光學(xué)成像系統(tǒng)具有光闌、 透鏡外框等圓形孔徑，所透鏡外框等圓形孔徑，所以討論它們的分辨本領(lǐng)時，都是以夫朗和費(fèi)圓孔衍射為理論以討論它們的分辨本領(lǐng)時，都是以夫朗和費(fèi)圓孔衍射為理論基礎(chǔ)?；A(chǔ)。如圖如圖 422所示，設(shè)有所示，設(shè)有S1和和S2兩個非相干點(diǎn)光源，間距為兩個非相干點(diǎn)光源，間距為， 它們到直徑為它們到直徑為D的圓孔距離為的圓孔距離為

17、R，則，則S1和和S2對圓孔的張對圓孔的張角角為為 R第26頁/共39頁由于圓孔的衍射效應(yīng)，由于圓孔的衍射效應(yīng)，S1和和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。假設(shè)其愛里斑關(guān)于圓孔的張角為射圖樣。假設(shè)其愛里斑關(guān)于圓孔的張角為0：D22. 10第27頁/共39頁 根據(jù)根據(jù)瑞利判據(jù)瑞利判據(jù)，將一個點(diǎn)物衍射圖樣的中央極大位置與另，將一個點(diǎn)物衍射圖樣的中央極大位置與另一個點(diǎn)物衍射圖樣的第一個極小位置重合的狀態(tài)作為光學(xué)成像一個點(diǎn)物衍射圖樣的第一個極小位置重合的狀態(tài)作為光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨極限，認(rèn)為此時光學(xué)系統(tǒng)恰好可分辨開這兩個點(diǎn)物系統(tǒng)的分辨極限，認(rèn)為此時光學(xué)系統(tǒng)恰好可分辨開這兩

18、個點(diǎn)物。 這時，兩點(diǎn)物衍射圖樣的重疊區(qū)中點(diǎn)光強(qiáng)度約為每個衍射圖這時，兩點(diǎn)物衍射圖樣的重疊區(qū)中點(diǎn)光強(qiáng)度約為每個衍射圖樣中心最亮處光強(qiáng)度的樣中心最亮處光強(qiáng)度的73.5%(對于縫隙形光闌，約為對于縫隙形光闌，約為81%)。 于是，由于衍射效應(yīng)，一個光學(xué)成像系統(tǒng)對點(diǎn)物成像的愛于是，由于衍射效應(yīng)，一個光學(xué)成像系統(tǒng)對點(diǎn)物成像的愛里斑角半徑里斑角半徑0決定了該系統(tǒng)的分辨極限。決定了該系統(tǒng)的分辨極限。 第28頁/共39頁幾種光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)幾種光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) (1) 人眼睛的分辨本領(lǐng)人眼睛的分辨本領(lǐng) 人眼的成像作用可以等價于一個單人眼的成像作用可以等價于一個單凸透鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為凸透

19、鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為 1.56 mm（視入射光（視入射光強(qiáng)的大小而定強(qiáng)的大小而定)。當(dāng)人眼瞳孔直徑為。當(dāng)人眼瞳孔直徑為 2 mm時，對于最敏感的時，對于最敏感的光波波長光波波長=0.55 m，按，按(3 - 42)式可以算得人眼的最小分辨角式可以算得人眼的最小分辨角e為為通常由實(shí)驗測得的人眼最小分辨角約為通常由實(shí)驗測得的人眼最小分辨角約為1(=2.910-4rad)，與，與上面計算的結(jié)果基本相符。上面計算的結(jié)果基本相符。 radDee4103 . 322. 1第29頁/共39頁 (2) 望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng) 望遠(yuǎn)鏡的作用相當(dāng)于增大人眼睛的瞳孔。設(shè)望遠(yuǎn)鏡物鏡望遠(yuǎn)鏡的作用相當(dāng)于

20、增大人眼睛的瞳孔。設(shè)望遠(yuǎn)鏡物鏡的圓形通光孔徑直徑為的圓形通光孔徑直徑為D，若有兩個物點(diǎn)恰好能為望遠(yuǎn)鏡所分，若有兩個物點(diǎn)恰好能為望遠(yuǎn)鏡所分辨開，辨開， 則根據(jù)瑞利判據(jù)，則根據(jù)瑞利判據(jù)， 這兩個物點(diǎn)對望遠(yuǎn)鏡的張角這兩個物點(diǎn)對望遠(yuǎn)鏡的張角為為 D22. 10這也就是望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角公式。該式表明，望遠(yuǎn)鏡物鏡這也就是望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角公式。該式表明，望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑的直徑D愈大，分辨本領(lǐng)愈高，并且，這時像的亮度也增加愈大，分辨本領(lǐng)愈高，并且，這時像的亮度也增加了。了。 第30頁/共39頁例如，天文望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑做得很大例如，天文望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑做得很大(可達(dá)可達(dá) 6m)，原因之一，原因之一就是為了

21、提高分辨本領(lǐng)。對于就是為了提高分辨本領(lǐng)。對于=0.55m的單色光來說，其最的單色光來說，其最小分辨角小分辨角=0.023=1.1210-7 rad，比人眼的分辨本領(lǐng)要大三，比人眼的分辨本領(lǐng)要大三千倍左右。通常在設(shè)計望遠(yuǎn)鏡時，為了充分利用望遠(yuǎn)鏡物鏡的千倍左右。通常在設(shè)計望遠(yuǎn)鏡時，為了充分利用望遠(yuǎn)鏡物鏡的分辨本領(lǐng)，應(yīng)使望遠(yuǎn)鏡的放大率保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠(yuǎn)分辨本領(lǐng)，應(yīng)使望遠(yuǎn)鏡的放大率保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后等于眼睛的最小分辨角，鏡放大后等于眼睛的最小分辨角， 即放大率應(yīng)為即放大率應(yīng)為 eeDDM第31頁/共39頁 (3) 照相物鏡的分辨本領(lǐng)照相物鏡的分辨本領(lǐng) 照相物鏡一般都是用于對較遠(yuǎn)

22、物體的成像，感光底片的位照相物鏡一般都是用于對較遠(yuǎn)物體的成像，感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。置大致與照相物鏡的焦平面重合。 若照相物鏡的孔徑為若照相物鏡的孔徑為D， 相應(yīng)第一極小的衍射角為相應(yīng)第一極小的衍射角為0， 則底片上恰能分辨的兩條直線則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離之間的距離為為 Dff22. 10習(xí)慣上，照相物鏡的分辨本領(lǐng)用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰習(xí)慣上，照相物鏡的分辨本領(lǐng)用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰能分開的線條數(shù)能分開的線條數(shù)N表示表示，N為為 fDN22. 111第32頁/共39頁式中，式中，D/f是照相物鏡的相對孔徑?？梢?，照相物鏡的相對孔是照相物鏡的相對孔徑

23、?？梢姡障辔镧R的相對孔徑愈大，分辨本領(lǐng)愈高。徑愈大，分辨本領(lǐng)愈高。 例如，對于例如，對于D/f=1 3.5的常用照相的常用照相物鏡，若物鏡，若=0.55m，則，則N=1 4901/3.5=425(條條/mm)。作為照。作為照相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來說，感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來說，感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)?；虻扔谖镧R的分辨本領(lǐng)。 例如，例如， 對于上面的例子，對于上面的例子， 應(yīng)選擇應(yīng)選擇分辨本領(lǐng)大于分辨本領(lǐng)大于425條條/mm的底片。的底片。 第33頁/共39頁 (4) 顯微鏡的分辨本領(lǐng)顯微鏡的分辨本領(lǐng) 顯微鏡由物鏡和目鏡組成，在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑顯微鏡由物鏡和目鏡組成，在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑為物鏡框，因此，限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的是物鏡框為物鏡框，因此，限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的是物鏡框(即孔徑光闌即孔徑光闌)。 顯微鏡物鏡的成