1、2008級材料物理專業量子力學復習提綱要點之一1. 20世紀初，經典理論在解釋黑體輻射、光電效應和原子光譜的線狀結構等實驗結果時遇到了嚴重的困難。 愛因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假設的啟發下，提出了“光量子”的概念，認為光是由一顆顆具有一定能量的粒子組成的粒子流。2. 描述光的粒子性的能量E和動量與描述其波動性的頻率n（或角頻率w）和波矢由 Planck- Einstein方程聯系起來，即： ； 。3. 德布羅意提出，一切物質粒子（原子、電子、質子等）都具有粒子、波動二重性，在一定條件下，表現出粒子性，在另一些條件下體現出波動性。 4. 描述微觀粒子（如原子、電子、質子等）粒子性的物理量為能量

2、E和動量，描述其波動性的物理量為頻率n（或角頻率w）和波長l， 它們間的關系可用德布羅意關系式表示，即： ； 。5. 微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態不能用坐標、速度、加速度等物理量來描述，而是用波函數來描述。描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波，即：。6. 波函數在空間某點的強度，即波函數模的平方，與在該點找到粒子的幾率成正比例，即描寫粒子的波可認為是幾率波，反映了微觀粒子運動的統計規律。7. 波函數在全空間每一點應滿足單值、有限、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。推薦精選8. 通常將在無窮遠處為零的波函數所描寫的狀態稱為束縛態，屬于不同能級的束縛定態波函數彼此正交，可表

3、示為。9. 設的對易關系為，且，則的測不準關系式為：；如果不等于零，則的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數，這意味著和不能同時測定。10. 當體系處于定態時，則體系有：1）能量有確定值；2）粒子在空間幾率密度與時間無關；3）幾率流密度與時間無關。11. 粒子在一維無限深勢阱中的定態解可表示為：，當n為奇數時，波函數具有偶宇稱，當n為偶數時，波函數具有奇宇稱。12. 在點電荷的庫侖場中運動的電子，其處于束縛態的波函數可表示成：，其中，主量子數n=1，2，3，角量子數l=0，1，2，.，n-1，磁量子數m=0，1，2，.，l。是算符、和共同本征函數，當電子處于該波函數描述的狀態時，力學量

4、、和可以同時測得， 體系， L2=，Lz=。 13. 角動量算符和對易，即，因此它們有共同的本征函數完備系。在 描述的狀態中，力學量和可以同時測得，L2=，Lz=，此時總磁矩（沿z軸方向）Mz=。14. 電子在點電荷的庫侖場中運動，其處于束縛態的第n個能級 En 只與n有關，而與l、m無關，是 推薦精選n2 度簡并的；若n = 2 時，對應E2的波函數有 、和。而在非點電荷的庫侖場中運動的電子，如 Li，Na，K 等堿金屬原子中最外層價電子是在由核和內殼層電子所產生的有心力場中運動，這個場不再是點電荷的庫侖場，因此價電子的能級由主量子數n和角量子數l決定，僅對m簡并。15. 兩個算符與有共同本

5、征函數系的充要條件是這兩個算符彼此對易；在兩個力學量算符的共同本征函數所描寫的狀態中，這兩個算符所表示的力學量同時有確定值。 16. 選定一個特定Q表象，就相當于在Hilbert空間中選定一個特定的坐標系，力學量算符的正交歸一完備函數系構成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。任意態矢量在Q表象中的表示是一列矩陣，矩陣元是態矢量在算符的本征矢上的投影，即：。17. 選定力學量Q表象，算符的正交歸一的本征函數完備系記為，一力學量算符在Q表象中是一個矩陣F=（Fmn），其矩陣元為：；該矩陣為厄米矩陣，對角矩陣元為實數。一力學量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣，對角元就是算符的本征值。 1

6、8. 在坐標表象中，；而在動量表象中， px 。19. 若力學量算符不顯含時間t，且與哈米頓算符對易，力學量的平均值不隨時間而變化，則稱為運動積分，或在運動中守恒。推薦精選20. 動量算符、 彼此對易，它們有共同的本征函數完備系：；在該本征函數描述的狀態中，、同時具有確定的值。要點之二1. 態疊加原理：若y1，y2， , yn 是粒子的可能狀態，則粒子也可處在它們的線性迭加態y=c1y1+c2y2+.+ cnyn；當體系處于y 態時，發現體系處于yk態的幾率是（k=1，2，3，），并且。2. 隧道效應：粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現象稱為隧道效應。它是粒子具有波動性的生動表現。只有當粒子的

7、質量和勢壘寬度比較小時，這種效應才顯著。3. 厄密算符：若算符滿足 ，則算符稱為厄密算符，其性質是厄密算符的本征值必為實數，因此量子力學的力學量算符都是厄密算符。4. 偶宇稱與奇宇稱：在空間反射下，如果有，則稱波函數有確定的宇稱。當，則稱波函數具有偶宇稱；當，則稱波函數具有奇宇稱。5. Hilbert空間：以某一力學量的本征波函數為基底， 構成的無限維的函數空間，稱為Hilbert空間。任意態矢量在該力學量表象中的表示是一列矩陣，矩陣元是態矢量在該力學量算符的本征矢上的投影。6. 測不準原理：量子力學揭示，要同時測出微觀粒子的位置和動量，其精度是有一定的限制。海森伯推得，測量一個微粒的位置時，

8、如果不確定范圍是，那么同時測量其動量也有一個不確定范圍，且位置不確定度和動量的不確定度推薦精選的乘積總是大于一定的數值，即。粒子的位置和動量不能同時準確測定源于物質具有微粒和波動二象性。測不準原理是普遍存在的；若兩個力學量不對易，則它們不可能同時被準確測定，其不確定度的乘積總是大于一定的值。7. 定態：當薛定諤方程中的勢能U與時間t無關，則薛定諤方程的解可表示成，通過分離變量求解薛定諤方程，得到薛定諤方程的解是（分離變量過程中引入的常數E為粒子的能量），當粒子處在由該波函數所描述的狀態時，粒子的能量E 有確定的值，這種狀態稱為定態。8. 零點能：也就是線性諧振子基態的能量，其中w是諧振子的角頻

9、率。零點能不等于零是量子力學中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的“靜止的” 波是沒有意義的，零點能是量子效應，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實。要點之三：1. 請闡述力學量的算符、力學量算符的本征值、力學量測量值及力學量平均值之間的關系。答：量子力學中的所有力學量用厄米算符來表示。算符的本征函數組成正交歸一本征波函數完備系。當體系處于力學量算符的本征態fn時，表示的力學量F有確定值，該值就是在fn態中的本征值ln，此時力學量F的測得值即為ln，F的平均值為ln；當體系處在一般狀態Y中，表示的力學量F沒有確定值，而是具有一系列的可能值，這些可能值就是表示力學量算符的本征值推

10、薦精選ln（n=1,2,3,.），每個可能值都以確定的幾率被測得，F的平均值為。2設粒子在一維無限深方勢阱中運動，方勢阱。求：（1）處于基態的粒子的動量幾率分布；（2）處于基態粒子的動量平均值。解：由于勢阱，在阱內粒子所滿足的定態薛定諤方程為 (1)在阱外粒子滿足的定態薛定諤方程為 (2)在（2）中，根據波函數滿足的連續性和有限性條件，只有當時，（2）才能成立，所以有 (3)為了方便，引入符號，則（2）式簡寫為 (4)它的解是 (5)根據的連續性，由（3）式的，代入(5)，有由此求得推薦精選A和B不能同時為零，否則到處為零，在物理上無意義。因此求得歸一化的定態薛定諤方程的解為：定態能量為：基態

11、波函數： 將基態波函數用動量本征函數展開： = (1) 動量的幾率分布為：(2) 動量的平均值：3. 在一維無限深勢阱中運動的粒子，方勢阱，如果粒子的狀態由波函數描寫，其中A為歸一化常數，a為勢阱寬度。求粒子能量的概率分布和能量平均值。推薦精選解：由于勢阱，阱內粒子所滿足的定態薛定諤方程為 (1)在阱外粒子滿足的定態薛定諤方程為 (2)在（2）中，根據波函數滿足的連續性和有限性條件，只有當時，（2）才能成立，所以有 (3)為了方便，引入符號，則（2）式簡寫為 (4)它的解是 (5)根據的連續性，由（3）式的，代入(5)，有由此求得A和B不能同時為零，否則到處為零，在物理上無意義。因此求得歸一化的定態薛定諤方程的解為：推薦精選定態能量為：對波函數進行歸一化，有用定態波函數將展開，（1）粒子能量取的幾率為：（2）5. 一個在球對稱勢場中運動的波函數為：，其中k、a為實