1、 在靜電場中，場強沿在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積任意閉合路徑的線積分分（環流）（環流）等于零。等于零。三、靜電場的環流定理三、靜電場的環流定理 acbadbl dEql dEq000abcdq0沿閉合路徑沿閉合路徑 a c b d a 一周電場力所作的功一周電場力所作的功 acbbdal dEql dEql dEqA000即靜電場力移動電荷沿即靜電場力移動電荷沿任一閉合路徑任一閉合路徑所作的功為零。所作的功為零。00 q 0l dE靜電場的靜電場的環流定理環流定理四、電勢能四、電勢能保守力的功保守力的功 = 相應勢能的減少相應勢能的減少所以所以 靜電力的功靜電力的功=靜電勢能增量的負值

2、靜電勢能增量的負值b點電勢能點電勢能pbE試驗電荷試驗電荷 處于處于0qa點電勢能點電勢能paEab則則ab電場力的功電場力的功0babaWqE dlpapbEEpE 0E取0paaaEWq E dl 試驗電荷試驗電荷 在電場中某點的電勢能，在數值上在電場中某點的電勢能，在數值上就等于把它從該點移到零勢能處靜電場力所作的功就等于把它從該點移到零勢能處靜電場力所作的功. .0q五、五、電勢、電勢差電勢、電勢差0aaaWVE dlq aaldEqW0單位正電荷在該點單位正電荷在該點所具有的電勢能所具有的電勢能單位正電荷從該點到無窮遠單位正電荷從該點到無窮遠點點(電勢零電勢零)電場力所作的功電場力所

3、作的功 定義定義電勢電勢 定義定義電勢差電勢差 電場中任意兩點電場中任意兩點 的的電勢之差（電壓）電勢之差（電壓）abVVabababUVVE dlE dl bal dE a、b兩點的電勢差等于將兩點的電勢差等于將單位正電荷單位正電荷從從a點移點移到到b時，電場力所做的功。時，電場力所做的功。0()ababWq VV注意注意:1、電勢是相對量，電勢零點的選擇是任意的。、電勢是相對量，電勢零點的選擇是任意的。對于有限帶電體而言對于有限帶電體而言,電勢零點的選擇在電勢零點的選擇在無限無限遠點遠點;對于儀器而言電勢零點選擇在對于儀器而言電勢零點選擇在底板底板上上.2、兩點間的電勢差與電勢零點選擇無關

4、。、兩點間的電勢差與電勢零點選擇無關。l 電勢是電場的屬性，與試驗電荷無關；電勢是電場的屬性，與試驗電荷無關；l 電勢能是屬于電荷和電場系統所共有。電勢能是屬于電荷和電場系統所共有。u電勢和電勢能的區別：電勢和電勢能的區別：六、電勢的計算電勢的計算（1 1）點電荷電場中的電勢）點電荷電場中的電勢r qP 0r距距q為為r（P點）的場強為點）的場強為 0204rrqE 20044PPrqqVEdldrrr由電勢定義得：由電勢定義得：討論：討論： 對稱性對稱性: :大小大小以以 q 為球心的同一球面上的點電勢相等為球心的同一球面上的點電勢相等.00qVrVrV最小00qVrVrV最大1. 用點電荷

5、電勢公式用點電荷電勢公式加加電勢疊加原理求電勢電勢疊加原理求電勢根據場強疊加原理場根據場強疊加原理場中任一點的中任一點的場強：場強：電勢：電勢：nE.EEE 2112()nPPVEdlEEEdl121.nniiVVVV各點電荷單獨存在時在該點電勢的各點電荷單獨存在時在該點電勢的代數和代數和. PPnPl dE.l dEl dE21 場源為場源為q1 、q2 qn的點電荷系的點電荷系(標量疊加標量疊加)（2 2）電勢疊加原理電勢疊加原理 若電荷連續分布若電荷連續分布0d4 PVqVrqEdrPVqddqd1、r 是是dq到場點的距離到場點的距離2 2、該公式利用了點電荷電勢、該公式利用了點電荷電

6、勢 ，這一，這一結果已選無限遠處為電勢零點，即：使用此公式的結果已選無限遠處為電勢零點，即：使用此公式的前前提條件提條件為為有限大有限大帶電體且選帶電體且選無限遠無限遠處為電勢零點處為電勢零點. .0/ 4 Vqr注意：注意：例例1 、求電偶極子電場中任一點求電偶極子電場中任一點P的電勢的電勢lOq q XYr1r2r ),(yxP 21120 10 20 1 2()444Pq rrqqVVVrrrr由疊加原理由疊加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4qlVr22cosyxx 222yxr 其中其中3220214()pxVxyXYZO Rdlr Px例例2、求均勻帶電圓環軸線

7、上求均勻帶電圓環軸線上的電勢分布。已知：的電勢分布。已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法（疊加）（疊加）04dqdVrrdl04 2000244RPdlRVdVrr 2204xRq 方法二方法二 定義法定義法由電場強度的分布由電場強度的分布23220)(4RxqxE 322204()ppxxqxdxVEdxxR=例例3： 如圖：如圖：(1)計算計算O點的電勢和點的電勢和電場強度電場強度. qqqq(2) 將試探正電荷將試探正電荷從無窮遠處從無窮遠處移到移到O點，電場力作的功。點，電場力作的功。(3)電勢能的增量。電勢能的增量。解題思路：解題思路：由對稱性得：由對稱性得：EO0rqr4q

8、40000000oqqWq VWr 例例5 5：如圖，若以：如圖，若以B B作為電勢作為電勢零點，求零點，求C C點的電勢。點的電勢。ABCqr1r2解題思路：解題思路：兩點之間的電勢差與電勢零點的選取無關。兩點之間的電勢差與電勢零點的選取無關。點）（選無窮遠處為電勢零點為電勢零點）選 B 00(0UUCCB例例4 4：求半徑為：求半徑為R R、帶電量為的球面在球心帶電量為的球面在球心O O處處產生的電勢。產生的電勢。RqrdqUrdqdU0004442. 用電勢定義式求電勢用電勢定義式求電勢 ldEU(當電荷分布具有一定的對稱性時當電荷分布具有一定的對稱性時,用高斯定理很容易求用高斯定理很容

9、易求出場強分布出場強分布,這種情況下用該式求電勢較方便）這種情況下用該式求電勢較方便）例例1 1：如圖，求：如圖，求帶電量為的帶電量為的均均勻帶電球體勻帶電球體在空間的電勢分布。在空間的電勢分布。q132R1R2解題思路：解題思路： 4 :Rr R 4 :2222131rqRqrrqdrrql dErr3233344U 4 : Rr 2332rq22322URrRrl dEl dEl dE21213211 URRRRrrl dEl dEl dEl dE例例2: 2: 求半徑為求半徑為R R，帶電量為帶電量為 q q 的均勻帶電球的均勻帶電球面的電場中的電勢分布。面的電場中的電勢分布。Rrr4U

10、外外真空時：真空時：RrrU04外內外有介質時（如圖）有介質時（如圖）$帶電球殼是個帶電球殼是個等勢體，表面等勢體，表面是個等勢面是個等勢面RrRU 40內內RrR4U 外外內內例：求無限長均勻帶電直線的電場中電勢分布例：求無限長均勻帶電直線的電場中電勢分布drr2ldEU000pp由此例看出，當電荷分布擴展到由此例看出，當電荷分布擴展到無窮遠時，電勢零點不能再選在無窮遠時，電勢零點不能再選在無窮遠處。無窮遠處。 proporrE02已知場強為：已知場強為： 方向垂直于帶電直線。方向垂直于帶電直線。電荷線密度電荷線密度解題思路解題思路: drr2ldEU0p rln20rrln2003. 利用

11、已知電勢結果加電勢疊加原理利用已知電勢結果加電勢疊加原理例例1 : 求均勻帶電的圓盤在中心軸線上一點所求均勻帶電的圓盤在中心軸線上一點所產生的電勢產生的電勢例例3 :如圖如圖,半徑均為半徑均為R的兩個球體的兩個球體相交相交,球心距離球心距離o1o2=d，不重疊部，不重疊部分均勻帶電，電荷體密度左側分均勻帶電，電荷體密度左側為為 ，右側為，右側為 。求距離。求距離o2為為r的的P點的電勢。點的電勢。12 2Pr提示提示:將相交部分看成帶將相交部分看成帶 電荷。電荷。提示：將圓盤看成許多圓環組成提示：將圓盤看成許多圓環組成Vrqu201108 .2844 rO2q1q4q3q課堂練習：課堂練習：已

12、知正方形頂點有四個等量的電點荷已知正方形頂點有四個等量的電點荷r=5cmC9100 . 4 求該過程中電勢能的改變求該過程中電勢能的改變求求ou將將cq90100 . 1 O電場力所作的功電場力所作的功JquuqAO72000108 .28)108 .280()( 電勢能電勢能 0108 .28700 WWA 在點電荷在點電荷+q的電場中，若取圖中的電場中，若取圖中P點處為電勢零點點處為電勢零點 ， 則則M點的電勢為點的電勢為 (B) (C) (D) aq04 aq08 aq04 aq08 (本題選自靜電場練習三)思思路路aq04 aq08 aq08 a a +q P M P 點處相對于點處相

13、對于 +q 的電勢為的電勢為 M點處相對于點處相對于 +q 的電勢為的電勢為M點相對于點相對于P 點處的電勢差為點處的電勢差為一半徑為一半徑為R的均勻帶電圓環，電荷線密度為的均勻帶電圓環，電荷線密度為 設無窮遠處為電勢零點，則圓環中心設無窮遠處為電勢零點，則圓環中心O點的電勢點的電勢U_標量疊加標量疊加 / (2 0) Rq2思路思路:(本題選自靜電場練習三)RqRdqdUU0044 02 U：1.求等量異號的同心帶電球面間的電求等量異號的同心帶電球面間的電勢差。已知勢差。已知+q 、-q、RA 、RB ARBRq q 解解: 由高斯定理由高斯定理ARr BRr 204rqBARrR E0BA

14、ABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020課堂練習課堂練習求單位正電荷沿求單位正電荷沿odc 移至移至c ，電場力所作的功，電場力所作的功 將單位負電荷由將單位負電荷由 O O電場力所作的功電場力所作的功 )434(000RqRquuAcooc Rq06 0 oOuuA2.如圖已知如圖已知+q 、-q、Rq q RRR0dabc一、電勢的圖示法：等勢面一、電勢的圖示法：等勢面1、等勢面：、等勢面：電勢相等的點構成的曲面。電勢相等的點構成的曲面。+11-4 場強與電勢的關系場強與電勢的關系點電荷的等勢面點電荷的等勢面勻強電場的等勢面勻強電場的等勢面+電偶極子的等勢面電偶

15、極子的等勢面2、等勢面的性質：、等勢面的性質：電場線與等勢面處處電場線與等勢面處處正交正交；0)( baabuuqAbauu a,b為等勢面上任意兩點為等勢面上任意兩點,移動移動q,從從a到到babu2 電場線的方向指向電場線的方向指向電勢降落電勢降落的方向。的方向。cdE0)( dcdccduuqWWA沿電力線移動沿電力線移動 q dcuu 0d0 baablEqA0d000 lEq等勢面較等勢面較密集密集的地方的地方場強大場強大，較，較稀疏稀疏的地方的地方場強小場強小。規定規定:場中任意兩相鄰等勢面間的電勢差相等場中任意兩相鄰等勢面間的電勢差相等1dl2dl12ddll 12EE 課堂練習

16、：課堂練習：由等勢面確定由等勢面確定a、b點的場強大小和方向點的場強大小和方向1u2u3uab03221 uuuu已知已知aEbE3、比較、比較 和和 UE(1) 和和U都是描述都是描述電場電場的兩個物理量。的兩個物理量。E(2) 的形象表示是的形象表示是電場線電場線， U 的形象表示是的形象表示是等勢面等勢面。EU：等勢面：等勢面的的法線方向法線方向表示表示 的的方向方向，E等勢面的等勢面的疏密疏密表示表示 的的大小大小。E(3) ：電場線的：電場線的切線方向切線方向表示表示 的的方向方向， E電場線的電場線的疏密疏密表示表示 的的大小大小。EE二、場強與電勢梯度的關系二、場強與電勢梯度的關

17、系 l dEqdUUUqdAab 00dlEdUcosdldUE cos電場中某一點的場強沿任一方向的分量等于電場中某一點的場強沿任一方向的分量等于這一點的電勢這一點的電勢沿該方向上變化率的負值沿該方向上變化率的負值。Eabl dn uduu lEdldUEl E在在dl方向方向的分量的分量dldUEl ),(zyxuu 一般一般xuEx yuEy zuEz 所以所以kEjEiEEzyx )(kzujyuixu ugradu 或或u的梯度的梯度:uugradE 電場中任意一點的場強等于該點電勢梯度的負值電場中任意一點的場強等于該點電勢梯度的負值UUU Eld高電勢高電勢低電勢低電勢0nnl d

18、方向方向 與與 相反相反nenddlVE 大小大小nnddlUE nddll lEE nlUEldd nnddelUE 電場強度的方向恒指電場強度的方向恒指向向電勢降落電勢降落的方向的方向. .空間某點電場強度的大小取決空間某點電場強度的大小取決于該點領域內電勢的空間變化于該點領域內電勢的空間變化率率uE nnddelUE nnedldUU 物理意義物理意義：電勢梯度是一個電勢梯度是一個矢量矢量，它的，它的大小大小為電勢沿為電勢沿等勢面法線方向的變化率，它的等勢面法線方向的變化率，它的方向方向沿等勢面法線方沿等勢面法線方向且指向電勢增大的方向。向且指向電勢增大的方向。求求 的三種方法的三種方法E利用場強疊加原理利用場強疊加原理利用高斯定理利用高斯定理利用場強與電勢梯度的關系利用場強與電勢梯度的關系例例1利用場強與電勢梯度的關系，利用場強與電勢