1、第第4 4.3.3節節 非參數假設檢驗法非參數假設檢驗法二、柯爾莫哥洛夫及斯米爾二、柯爾莫哥洛夫及斯米爾 諾夫檢驗諾夫檢驗三、獨立性檢驗三、獨立性檢驗 2擬合優度檢驗擬合優度檢驗一、一、c c問題的引入問題的引入 第二節涉及到的假設檢驗方法均假設總體服從第二節涉及到的假設檢驗方法均假設總體服從正態分布。總體服從什么分布，一般無法預先知曉，正態分布。總體服從什么分布，一般無法預先知曉，因而需要利用樣本檢驗總體分布的各種假設。因而需要利用樣本檢驗總體分布的各種假設。 本節將主要討論關于總體分布的假設檢驗問題，本節將主要討論關于總體分布的假設檢驗問題，此類問題通常稱為此類問題通常稱為非參數統計方法非

2、參數統計方法.下面主要介紹其中常見的下面主要介紹其中常見的3種方法種方法.一、一、 擬合擬合檢驗法檢驗法1201 , , : ( ), : ( )nxxxhxf xhxf x這這是是在在總總體體的的分分布布未未知知的的情情況況下下 根根據據樣樣本本來來檢檢驗驗關關于于總總體體分分布布的的假假設設總總體體的的分分布布函函數數為為總總體體的的分分布布函函數數不不是是說明說明 (1)在這里備擇假設在這里備擇假設h1可以不必寫出可以不必寫出.2c c檢驗法的定義檢驗法的定義2. 1c c : )3(為連續型為連續型若總體若總體 x則上述假設相當于則上述假設相當于).( :0 xfxh的概率密度為的概率

3、密度為總體總體 : )2(為離散型為離散型若總體若總體 x則上述假設相當于則上述假設相當于0: ,1,2,.iihxp xxpi總體的分布律為總體的分布律為. , , , )( , )4(02然后作檢驗然后作檢驗然估計法估計參數然估計法估計參數需要先用最大似需要先用最大似但其參數值未知但其參數值未知形式已知形式已知的的若若時時檢驗法檢驗假設檢驗法檢驗假設在使用在使用xfhc c12100001 21 2,(, ,). , () , , , . , , , , .mmiijiiiiiima aaaa aiji jmhpp aiknanphn 將將隨隨機機試試驗驗可可能能結結果果的的全全體體 分分

4、為為個個互互不不相相容容的的事事件件于于是是在在假假設設下下 我我們們可可以以計計算算在在 次次試試驗驗中中 事事件件出出現現的的頻頻率率與與往往往往有有差差異異 但但一一般般來來說說 若若為為真真 且且試試驗驗次次數數較較多多時時 這這種種差差異異不不應應很很大大檢驗法的基本思想檢驗法的基本思想2. 2c c3.皮爾遜定理皮爾遜定理 020210c-miiniihnnpnp 皮皮爾爾遜遜給給出出皮皮爾爾遜遜統統計計量量檢檢驗驗假假設設的的統統計計量量定理定理4.10012 (50), ( ), nhhmc 若若充充分分大大則則當當為為真真時時不不論論中中的的分分布布屬屬什什么么分分布布皮皮爾

5、爾遜遜統統計計量量總總是是近近似似地地服服從從自自由由度度為為的的分分布布. . 2022101()miiniinnpmnpcc 近近似似0, , h于于是是 如如果果在在假假設設成成立立時時2220101()(),miiniinnpmnpcc . , 00hh否則就接受否則就接受下拒絕下拒絕則在顯著性水平則在顯著性水平 注意：注意：005052, , . , , .iinnpnnpc在在使使用用檢檢驗驗法法時時要要足足夠夠大大不不太太小小根根據據實實踐踐 一一般般每每一一個個4. 多項分布的多項分布的 檢驗法檢驗法2cx設設總總體體 為為離離散散型型分分布布，其其分分布布律律為為1 2, ,

6、 ,.iip xxpim121212121(,)(,),(,)tntninmtimixxxxxxxnxxxinn nnn 設設為為來來自自總總體體 的的樣樣本本，為為其其觀觀測測值值，表表示示 中中取取值值為為 的的個個數數，且且分分布布為為多多項項分分布布，其其分分布布律律為為1112211!,!mnnmmmmnp nn nnnnppnn檢驗的假設為檢驗的假設為00101 2:, ,iiiihpphppim由前面的分析可以看出，選擇皮爾遜統計量由前面的分析可以看出，選擇皮爾遜統計量 20210cmiiniinnpnp 拒絕域為拒絕域為2220101():()miiniinnpwxmnpcc

7、解解例例1試檢驗這顆骰子的六個面是否勻稱試檢驗這顆骰子的六個面是否勻稱?)05. 0 ( 取取根據題意需要檢驗假設根據題意需要檢驗假設把一顆骰子重復拋擲把一顆骰子重復拋擲 300 次次, 結果如下結果如下:305260487040654321出現的頻數出現的頻數出現的點數出現的點數h0: 這顆骰子的六個面是勻稱的這顆骰子的六個面是勻稱的. )6 , 2 , 1(61:(0 iixph或或其中其中x表示拋擲這骰子一次所出現的點數表示拋擲這骰子一次所出現的點數 (可能值可能值只有只有6個個), 在在 h0 為真的前提下為真的前提下, 011 266(, , )ipi262010()iiniinnp

8、npc 61300)6130040(2 61300)6130070(2 61300)6130048(2 5,1-6 自自由由度度為為0.052211.07, cccc查查表表得得2n20.1611.07,c c所以拒絕所以拒絕 h0, 認為這顆骰子的六個面不是勻稱的認為這顆骰子的六個面不是勻稱的. 61300)6130060(2 61300)6130052(221(30300)620.1613006 5. 一般分布的一般分布的 檢驗法檢驗法2c假設檢驗的問題為假設檢驗的問題為00:( )( ),hf xf x 11111,mmmaaaa 任取個實數,;使得-任取個實數,;使得-10010001

9、001211() , ()(), ()iiimmpf apf af aimpf a 令令121212121(,)(,),(, ,)tntninmtiimixxxxx xxnxxxann nnn 設設為為來來自自總總體體 的的樣樣本本，為為其其觀觀測測值值，表表示示 中中的的個個數數，且且分分布布為為多多落落入入區區間間項項分分布布. .經過上述處理，此問題又轉化為檢驗多項分布問題經過上述處理，此問題又轉化為檢驗多項分布問題.選擇皮爾遜統計量選擇皮爾遜統計量 20210cmiiniinnpnp 拒絕域為拒絕域為2220101():()miiniinnpwxmnpcc 例例2(p131例例4.11

10、)某盒中裝有白球和黑球，現做某盒中裝有白球和黑球，現做下面的試驗，用返回式抽取方式從盒中取球，直到取下面的試驗，用返回式抽取方式從盒中取球，直到取到白球為止，記錄下抽取的次數，重復如此的試驗到白球為止，記錄下抽取的次數，重復如此的試驗100次，其結果為：次，其結果為：抽取次數抽取次數1234頻數頻數433115655 試問該盒中的白球與黑球的個數是否相等試問該盒中的白球與黑球的個數是否相等( =0.05)?解解從題意可知，該總體服從幾何分布，從題意可知，該總體服從幾何分布，111 2(), ,kp xkpp k 若黑球白球個數相等，則若黑球白球個數相等，則p=1/2,因此因此11451616,

11、p xp x111123248,p xp xp x由此可知，檢驗的假設是由此可知，檢驗的假設是012345111112481616:,hppppp計算皮爾遜統計量可得：計算皮爾遜統計量可得： 202103 2 .miiniinnpnpc 查表可得查表可得20 0549 488.( )c . .顯然顯然 20220 05103 249 488.( ).miiniinnpnpcc 因而接受原假設，黑球白球個數相等因而接受原假設，黑球白球個數相等.6. 分布中含有未知參數的分布中含有未知參數的 檢驗法檢驗法2c假設檢驗的問題為假設檢驗的問題為001101:( )( ,):( )( ,)rrhf xf

12、 xhf xf x01,.rf其其中中的的形形式式已已知知 參參數數未未知知121201(,)(,)( ,),tntnrxxxxxxxf x 設設為為來來自自總總體體 的的樣樣本本，為為其其觀觀測測值值，用用最最大大似似然然估估計計首首先先得得到到參參數數的的估估計計. .由由此此可可以以得得到到令令110101100110010121(,), (,)(,)(,), rrmmrriiipf apf apf af aim 由此可以看到，此問題又可以轉化為多項分布的由此可以看到，此問題又可以轉化為多項分布的假設檢驗問題，其統計量為假設檢驗問題，其統計量為 20210cmiiniinnpnp 定理定

13、理4.2001c2 (50), ( ), nhhmr 若若充充分分大大則則當當為為真真時時不不論論中中的的分分布布屬屬什什么么分分布布皮皮爾爾遜遜統統計計量量總總是是漸漸近近地地服服從從自自由由度度為為的的分分布布. . 2022101cc()miiniinnpmrnp 近似近似2.c此此種種檢檢驗驗法法稱稱為為擬擬合合優優度度檢檢驗驗法法此類假設檢驗的拒絕域為此類假設檢驗的拒絕域為2220101cc():()miiniinnpwxmrnp 下面舉例說明下面舉例說明 在一試驗中在一試驗中, 每隔一定時間觀察一次由某種鈾每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射的到達計數器上的所放射的到達計數器上的 粒

14、子數粒子數, 共觀察了共觀察了100次次, 得結果如下表得結果如下表:0123456789101112012345678910111215161726119921210iiinaaaaaaaaaaaaaa 0 1 2 . , , ,!iiniexp xiii 其其中中是是觀觀察察到到有有個個粒粒子子的的次次數數 從從理理論論上上考考慮慮應應服服從從泊泊松松分分布布 0.05)?(! 是否符合實際是否符合實際問問ieixpi 例例3解解問題歸結為問題歸結為: 在水平在水平0.05下下 檢驗假設檢驗假設服從泊松分布服從泊松分布總體總體 :0xh . , 0 故故先先估估計計未未具具體體給給出出中中

15、參參數數由由于于在在 h由最大似然估計法得由最大似然估計法得, 2 . 4 x 根據題目中已知表格根據題目中已知表格, 有估計有估計ixp ;0,1,2,!iep xiii ,015. 00 2 . 40 expp如如 ,185. 0! 32 . 4332 . 43 expp ,002. 011211112 iipxpp具體計算結果見下表具體計算結果見下表, , 2 , 1 , 0!2 . 42 . 4 iieixppii表表1 1 例例3的的擬合檢驗計算表擬合檢驗計算表 1 516172611 9 9 2 1 2 1 00.0150.0630.1320.1850.1940.1630.1140

16、.0690.0360.0170.0070.0030.0021.56.313.218.519.416.311.46.93.61.70.70.30.219.39415.62234.8457.4237.10511.739iainip ipn2/iinnp0a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a664.6155.538=106.2810.0780.0652c c,2815. 6592.12)6()1(2205. 0 c cc c rk故接受故接受h0, 認為樣本來自泊松分布總體認為樣本來自泊松分布總體. , 5 ,5 示示如如表表中中第第四四列列化化括括號號所所使使得得每每組組均均有

17、有的的組組予予以以合合并并其其中中有有些些 iinppn, 6118 , 8 2 的的自自由由度度為為故故并并組組后后c ck 自自1965年年1月月1日至日至1971年年2月月9日共日共2231天中天中,全全世界記錄到里氏震級世界記錄到里氏震級4級和級和4級以上地震級以上地震共共162次次, 統統計如下計如下:(x表示相繼兩次地震間隔天數表示相繼兩次地震間隔天數, y表示出現的頻數表示出現的頻數)86681017263150403935343029252420191514109540yx 試檢驗相繼兩次地震間隔天數試檢驗相繼兩次地震間隔天數 x 服從指數分布服從指數分布.0.05)( 解解所

18、求問題為所求問題為: 在水平在水平0.05下檢驗假設下檢驗假設例例4的概率密度的概率密度 :0xh . 0, 00,1)(xxexfx . , 0 故先估計故先估計未具體給出未具體給出中參數中參數由于在由于在 h由最大似然估計法得由最大似然估計法得,77.131622231 x x 為連續型隨機變量為連續型隨機變量, . 9 , 2 , 1),9)0,1 iaakxii子子區區間間個個互互不不重重疊疊的的分分為為可可能能取取值值區區間間將將(見下頁表見下頁表)503126171086680.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.02480.0568

19、45.165635.575224.737417.204411.9718 8.3268 5.7996 4.0176 9.201655.351927.013227.327016.79808.35307.68606.207314.82695 . 40:1 xa5 . 95 . 4:2 xa5 .145 . 9:3 xa5 .195 .14:4 xa5 .245 .19:5 xa5 .295 .24:6 xa5 .345 .29:7 xa5 .395 .34:8 xa xa5 .39:9=163.563313.2192iainip ipn2/iinnp表表2 例例4的的擬合檢驗計算表擬合檢驗計算表2c

20、 c在在 h0 為真的前提下為真的前提下, x 的分布函數的估計為的分布函數的估計為 . 0, 00,1)(77.13xxexfx有估計有估計概率概率)( iiapp )(iiapp 1 iiaxap),()(1iiafaf )( 22app 如如5 . 05 . 4 xp)5 . 4()5 . 9(ff ,2196. 0 ,0568. 0)(1)(8199 iiafafp,5633. 0592.12)6()1(2205. 0 c cc c rk故在水平故在水平0.05下接受下接受h0, 認為樣本服從指數分布認為樣本服從指數分布.,5633. 11625633.1632 c c, 1, 8 r

21、k 下面列出了下面列出了84個依特拉斯坎人男子的頭顱的個依特拉斯坎人男子的頭顱的最大寬度最大寬度(mm), 試驗證這些數據是否來自正態總體試驗證這些數據是否來自正態總體.0.1)( 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140145 135 147 146 141 136 140 146 142 137148 154 137 139 143 140 131 143 141 149148 135 148 1

22、52 143 144 141 143 147 146150 132 142 142 143 153 149 146 149 138142 149 142 137 134 144 146 147 140 142140 137 152 145例例5 5解解所求問題為檢驗假設所求問題為檢驗假設的概率密度的概率密度 :0xh.,21)(222)( xexfx ., , , 220 故先估計故先估計未具體給出未具體給出中參數中參數由于在由于在 h由最大似然估計法得由最大似然估計法得,0 . 6, 8 .14322 ,7),(個個小小區區間間分分為為可可能能取取值值區區間間將將 x(見表見表3)在在 h0

23、 為真的前提下為真的前提下, x 的概率密度的估計為的概率密度的估計為 1 4103324 9 30.00870.05190.17520.31200.28110.13360.0375 0.73 4.3614.7226.2123.6111.22 3.156.7941.5524.4010.02=87.67iainip ipn2/iinnp5 .1345 .129:2 xa5 .129:1xa5 .1395 .134:3 xa5 .1445 .139:4 xa5 .1495 .144:5 xa5 .1545 .149:6 xa xa5 .154:75.0914.374.91表表3 例例5的的擬合檢驗

24、計算表擬合檢驗計算表2c c.,621)(2262)8 .143( xexfx有估計有估計概率概率)( iiapp )( 22app 如如 5 .1345 .129 xp 68 .1435 .134 68 .1435 .129 .0519. 0)38. 2()55. 1( 0 10 1222152124 6053 67.()()( ).,mrccc故在水平故在水平0.1下接受下接受h0, 認為樣本服從正態分布認為樣本服從正態分布.二、柯爾莫哥洛夫及斯米爾諾夫檢驗二、柯爾莫哥洛夫及斯米爾諾夫檢驗00:( )( )hf xf x 不不成成立立1. 檢驗法的缺點檢驗法的缺點2c 此種檢驗依賴于區間劃

25、分，劃分的巧合可能導此種檢驗依賴于區間劃分，劃分的巧合可能導致檢驗的錯誤致檢驗的錯誤,例如例如10001()()()(),.iiiiif af af af apim 但但是是當當劃劃分分巧巧合合時時，也也可可能能會會出出現現這樣的結果不會影響皮爾遜統計量的值，因而可這樣的結果不會影響皮爾遜統計量的值，因而可以導致接受錯誤的假設以導致接受錯誤的假設. 本節將介紹柯爾莫哥洛夫斯米爾諾夫檢驗法，本節將介紹柯爾莫哥洛夫斯米爾諾夫檢驗法，柯爾莫哥洛夫檢驗法可以檢驗經驗分布是否服從某柯爾莫哥洛夫檢驗法可以檢驗經驗分布是否服從某種理論分布，斯米爾諾夫檢驗法可以檢驗兩個樣本種理論分布，斯米爾諾夫檢驗法可以檢驗

26、兩個樣本是否服從同一分布。是否服從同一分布。2. 柯爾莫哥洛夫檢驗柯爾莫哥洛夫檢驗首先看兩個定理，這是柯爾莫哥洛夫檢驗的基礎首先看兩個定理，這是柯爾莫哥洛夫檢驗的基礎.定理定理4 4.3.3 設設f是連續的分布函數，則是連續的分布函數，則12sup |( )( )|nnxp dfxf xyn 113212221321121222002112, ,(,)dd, ,nyyynnnnnnyyynnnyf x xxxxnyn 其其他他，1212010!, ,(,), nnnxxxf x xx 其其中中其其他他，定理定理4 4.4.4 設設f是連續的分布函數，則是連續的分布函數，則limsup |( )

27、( )|( )nnxpnfxf xyk y 2220010, ,() e, .kk ykyy 上述兩個定理證明略。它們將是柯爾莫哥洛夫檢驗上述兩個定理證明略。它們將是柯爾莫哥洛夫檢驗法的理論基礎法的理論基礎.假設檢驗的問題為假設檢驗的問題為0010:( )( ):( )( ),hf xf xhf xf x1212( )(,)(,)tntnf xxxxxx xx其其中中為為連連續續分分布布函函數數。設設為為來來自自總總體體 的的樣樣本本，為為其其觀觀測測值值，統統計計量量選選為為0sup |( )( )|nnxdfxf x 只要原假設不真，則統計量的值就會偏大，因而只要原假設不真，則統計量的值就

28、會偏大，因而給定顯著性水平給定顯著性水平 ，可以選擇臨界值使得，可以選擇臨界值使得,nnp dd3456,().ndp其其中中臨臨界界值值可可以以查查表表 參參見見附附表表則此檢驗法的拒絕域為則此檢驗法的拒絕域為,:( )nnwx dxd當當n 100時，利用極限分布定理時，利用極限分布定理4.4可得可得117,()ndn 可可由由附附表表 得得到到例例6(p1366(p136例例4 4.13).13)某礦區煤層厚度的厚度的某礦區煤層厚度的厚度的123個個數據的頻數分布如下表所示，試用柯爾莫哥洛夫檢數據的頻數分布如下表所示，試用柯爾莫哥洛夫檢驗法檢驗煤層的厚度是否服從正態分布？驗法檢驗煤層的厚

29、度是否服從正態分布？202.852.60-2.909121.251.10-1.404192.452.30-2.60850.950.80-1.1033.052.151.85組中值2.90-3.202.00-2.301.70-2.00厚度間隔1076組號2191.551.40-1.7052560.650.50-0.8022410.350.20-0.501頻數頻數組中組中值值厚度間隔厚度間隔/m組組號號ixininix解解用用x表示煤層厚度，欲假設檢驗表示煤層厚度，欲假設檢驗20:( ,).hxn 總總體體 服服從從正正態態分分布布分分布布由于參數未知，因而首先對參數進行估計由于參數未知，因而首先對

30、參數進行估計2221 8840 576., .nxs201 884 0 576 :( ., .).hxn則則總總體體 服服從從正正態態分分布布1 8841 8840 5760 5761 8840 576.(). ().iiiixxf xp xxpx ()()ninivxfxn 00 034sup|()()|.inniixdfxf x11 3670 050 123123123,.,.,nd 查查附附表表 ，取取顯然顯然0 1230 0343,.,nndd因此接受原假設，認為煤層厚度服從正態分布因此接受原假設，認為煤層厚度服從正態分布.注注分布函數分布函數f(x)的置信區間的置信區間11np dn

31、 由由于于111( )( )( )nnp fxf xfxnn 3. 斯米爾諾夫檢驗斯米爾諾夫檢驗假設檢驗的問題為假設檢驗的問題為01:( )( ):( )( ),hf xg xhf xg x 121212( )( )(,)( )(,)( )tntnf xg xxxxf xy yyg x其其中中、為為兩兩個個總總體體的的連連續續分分布布函函數數。設設為為來來自自總總體體的的樣樣本本，為為來來自自總總體體的的樣樣本本，并并且且假假設設兩兩個個總總體體獨獨立立，統統計計量量選選為為1212,sup |( )( )|n nnnxdfxgx 12( )( )nnfxgx其其中中與與分分別別是是兩兩個個總

32、總體體的的經經驗驗分分布布函函數數. .為了得到顯著性水平下的拒絕域，需要如下定理：為了得到顯著性水平下的拒絕域，需要如下定理：定理定理4 4.5.5 如果如果f(x)=g(x),且且f是連續函數，則是連續函數，則1212,sup |( )( )|n nnnxp dfxgxx 221011111, ,(), , ,nnjcjnnnnjcxncxcnx 定理定理4 4.6.6 121212limsup |( )( )|( )nnnxn npfxgxxk xnn 2220010, ,() e, .kk xkxx 上述兩個定理證明略。它們將是斯米爾諾夫檢驗上述兩個定理證明略。它們將是斯米爾諾夫檢驗法

33、的理論基礎法的理論基礎.如果如果f(x)=g(x),且且f是連續函數，則是連續函數，則只要原假設不真，則統計量的值就會偏大，因而只要原假設不真，則統計量的值就會偏大，因而給定顯著性水平給定顯著性水平 ，可以選擇臨界值使得，可以選擇臨界值使得121212,n nn nn nnp ddp dd12123467,().nn nndnnp 1 1- -其其中中, ,臨臨界界值值可可以以查查表表n n參參見見附附表表得得到到則此檢驗法的拒絕域為則此檢驗法的拒絕域為12,:( )n nnwx dxd例例7(p1397(p139例例4 4.14).14)工人剛接班時，先抽取工人剛接班時，先抽取150個零件作

34、為樣本，在自個零件作為樣本，在自動車床工作兩小時后，再抽取動車床工作兩小時后，再抽取100個零件作為第二次個零件作為第二次樣本，測得每個零件距離標準的偏差樣本，測得每個零件距離標準的偏差x，其數值列其數值列入下表，試比較兩個樣本是否來自同一總體入下表，試比較兩個樣本是否來自同一總體?在自動車床上加工某一零件，在在自動車床上加工某一零件，在頻頻 數數偏差偏差x的的測量區間測量區間/ m頻頻 數數偏差偏差x的的測量區間測量區間/ m30380, 5)29235, 10)-5, 0)-10, -5)-15, -10)1020, 25)17431115, 20)72715810, 15)0101 jn2 jn1 jn2 jn1150n 2100n 解解欲假設檢驗欲假設檢驗01:( )( ):( )( ),hf xg xhf xg x 111( )( )nnvxfxn 計算兩個樣本對應的經驗分布函數計算兩個樣本對應的經驗分布函數