1、基于生滅過程理論的眼科病床分類安排模型 摘 要基于fcfs住院規則的病床安排模型，醫院病床的使用率和周轉率較低，并且病人的等待時間和住院時間較長。本文通過對該眼科醫院現有醫療資源和病人統計信息的分析，綜合考慮各類眼科病人的特殊性（如急診等）和醫院目前治療環境（如病床和手術醫生）限制性的基礎上，提出一種基于生滅過程理論的病床分類安排模型，應用多狀態概率轉移方法較準確地反映出醫院病人的流動情況；應用并行組合方式，提高了單位時間內病人入院的人數。通過對比，該模型的病床利用率比fcfs的高，而且能夠縮短病人的平均等待時間和住院時間。另外，依據此模型，能夠方便醫院根據第二天病人出院情況安排當天的入院病人

2、，并能夠根據病人的門診時間較準確的推算出其入院時間范圍。關鍵詞： 泊松分布；多狀態概率轉移方程；病床利用率；病人的平均逗留時間；生滅過程理論1.問題的提出醫院肩負著為全民服務的重大使命。然而在現實生活中，看病住院問題卻給病人和醫院雙方帶來麻煩。病人患病總類繁多，但是醫院的各種設備等資源有限。因此，滿足病人需求的同時充分地利用有限的資源成為各個醫院迫需解決的問題。如針對某醫院的眼科疾病而言，常見患病類型有四種：白內障（分單眼和雙眼）、視網膜疾病、青光眼和外傷。白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，

3、大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數量較少，建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部共有病床79張，對全體非急癥病人是按照fcfs（first come, first s

4、erve）規則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長。現在我們通過建立數學模型來解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫院資源的有效利用。2.問題的分析針對此問題，我們作一假設，若醫院的病床數無限，則在現有條件下顯然不會導致等待住院的人排隊過長這一問題，但結合現實，我們不可能去無限增加醫院病床數量，那么此問題的解決要求我們只能從病床安排，病人門診時間安排，病人住院天數安排等幾方面考慮。3.符號說明m : 該醫院的病床總數（定值） ：病人的平均等待時間 ：醫院病床的使用率n ：醫院單位時間的接診（住院）人數：分給外傷病人的病床數：分給白內障病人的病床數 ：分給青光眼病人的病床數 : 分給視網膜

5、疾病病人的病床數: 每種病人平均的等待時間（i=1、2、3、4）：各類病人每天的門診人數（i=1、2、3、4）: 各類病人每天的0等待人數（i=1、2、3、4）: 平均每天門診人數：各類病人的住院時間（i=1、2、3、4）：某一天各類病人的出院人數（i=1、2、3、4）a、b、c為正參數，且滿足：a+b+c=1注： 上述符號中i的取值1表示外傷，2表示白內障，3表示青光眼 ，4表示視網膜疾病。4.評價指標體系的建立4.1 數據分析在門診服務中，病人的到達一般可以用泊松分布描述，對病人流做如下合理的假設：（1） 在不相重迭的時間區間內病人到達數是相互獨立的。（2） 設表示在區間內有n(n0)個病

6、人到達的概率。對于充分小的，在時間區間內有一位病人到達的概率與 t 無關，與區間長成正比。=，是關于 的高價無窮小量。（3） 對于充分小的，在時間區間內有兩個病人到達的概率可以視為零。有以上可知，在區間沒病人到達的概率為： 這里求時，用通常建立未知函數的微分方程，考慮區間，可以分為兩個子區間和，因此： 。 通過對上式的化簡，并利用初始條件，可以得到以下方程： 解上面的微分方程得：表示長為t的時間區間內到達n個病人的概率，由可知，在時間區間內到達的病人數 n 服從泊松分布。其數學期望和方差分別是：，通過對該院的病人門診情況來確定其中的參數。患者數（i）45678910111213141516出現

7、的頻數2343142330111表一 患者頻數表根據表一計算可得，病人平均到達率=8.8（人/天）根據泊松分布的檢驗，取=0.1，自由度n=28，每天門診人數適合參數為8.8的泊松分布,即平均每天有約8.8人來門診。根據所給數據統計分析可確定這8.8個病人中患白內障，患視網膜，患青光眼，外傷各類病人的人數大致是：3.9，2.6，1.2，1.1。檢驗統計量患者數出現的頻數卡方.000a2.769bdf124漸近顯著性1.000.597精確顯著性1.000.656點概率.000.080表二 每天門診人數泊松分布檢驗注：(1)、13 個單元 (100.0%) 具有小于 5 的期望頻率。單元最小期望頻

8、率為 1.0。(2)、 5 個單元 (100.0%) 具有小于 5 的期望頻率。單元最小期望頻率為 2.6。利用附錄中給出的數據，通過統計分析計算可得：外傷病人的平均住院時間=7（天）白內障病人（單、雙眼）的平均住院時間=6.9（天）視網膜病人的平均住院時間=12.5（天）青光眼病人的平均住院時間=10.5（天） 4.2建立評價指標體系 目前，國際慣用的病床使用率計算公式為：=據此可計算得到該醫院目前的病床使用率為：3264/（60*79）=73.84%。但是根據國家衛生部標準，醫院年病床使用率范圍為85%-93%。因此，醫院的病床利用還不充分。現在我們從病床安排、病人等待時間和住院天數及醫院

9、的接診率等因素來考慮此問題。現建立如下的評價指標體系： 其中 ；病人平均等待時間越小、病床利用率越大、單位時間內治療人數越大，則在其它兩者不變的情況下，p與第三者成正比。 我們將 p 作為一個綜合評價指標體系，即 p 值越大時，方案越優。而在具體評價模型的優劣時，可選取其中的部分指標。 由于醫院工作的特殊性，醫院系統中的病人隊列等待時間、住院時間等這些因素會影響到病人對醫院的選擇，病床使用率的提高，會增加相同時間內的就診人數和提高醫院的效益。因此，綜合評價指標體系的選擇，應從病人和醫院兩個方面考慮。 如果患者排隊的時間過長, 超過他的承受極限, 必將會導致患者的流失, 給醫院造成一定的損失,

10、同時也可能會影響患者的診斷和救治, 造成醫療事故。在有限幅度內縮短平均住院日可以有效提高病床周轉率，同時對醫療質量不會有明顯的負面影響。只有為病人提供最少的等待時間，縮短平均住院日以及提高病床的使用率，才能獲得區別于其它醫院的明顯優勢，使病人有更高的滿意度，爭取到更多的病人5.模型假設（1）在模型研究的整個過程中沒有任何特殊情況，完全按門診，住院，手術，出院流程進行，即整個過程完全按以下流程圖進行： 出院 門診白內障青光眼外傷視網膜疾病手術住院患者 圖一 醫院將四種病的病床分開且單獨治療 圖二 每類病床的動態過程（2）由于病人排隊較長，設在分配好各類病人病床張數后，每類病人每天的等待人數仍然存

11、在。（3）每類病人等待時間（門診到住院的時間段）和住院時間（住院到出院的時間段）是統一確定的，其值由已知的人數統計求均值代替。（4）新方案推出時，醫院的病人處于一種動態的平衡，即有人進也有人出。（5）醫院的服務時間即為病人的住院時間。6.模型建立及求解6.1 病床安排模型 在統計數據進行處理的時候發現外傷病人的門診人數很少，但考慮到該病屬于急診，因此從目前該醫院的79張病床中抽出 2 張固定的病床留作外傷病人專用，即。就剩下的77張病床分配給三種病人，則有+=77。根據假設 = - 0（i=1、2、3） 記 ，即在min(x)的情況下， 盡量取 （默認出院的人數就等于當天住院的人數） 的最大值

12、。 在該方案中，外傷病人可以隨時住院，下面我們研究其它三種病，鑒于白內障病人只能在周一周三進行手術，且術前的準備時間只需一到兩天，因此醫院作如下硬性規定： 白內障病人只能在周六周天住院，而青光眼病人和視網膜病人只能在周一到周五住院。我們討論某一天的出院入院情況，假定在某一天要出院的各類病人的人數為，必有 (i=2,3,4) 則在某一天可以入院的人數，我們只有在較詳細統計當天病人的出院情況時才能相對準確的估計出當天的病人的入住情況，在這個統計過程中，我們將病人分類統計，同時兼顧病床的安排，即要避免以下情況：即使還有不是供該類病人使用的病床，就不讓該病人入院，即不能因偶然情況而打破以前的安排。我們

13、進一步利用統計數據得到每天出院的人數與時間具有如下關系圖：圖三 出院人數變化情況上圖說明每天出院的人數是上下波動的，因此我們可以推測在這之前的某一天住院的人數也是大致按此規律變化的。統計原來數據中的前349組，除去外傷病人，可得白內障病人占前來門診人數的 52.4%，青光眼占前來門診人數的13.3%，視網膜患者人數占前來門診人數的34.3%。通過對給出的數據進行分析統計，宏觀上看出各類病人的人數基本穩定，現按各類病人占門診總人數的比例情況確定如下的病床分配方案： 供白內障病人使用的病床數：77*52.4% = 40（張） 供青光眼病人使用的病床數：77*13.3% = 11（張） 供視網膜病人

14、使用的病床數：77*34.3% = 26（張） 針對此分配方案展開如下討論：由于此種病床分配方案是按前段時間統計的各類病人的分布情況而定，因此它在病床使用率方面要優于原來簡單的fcfs模式，要注意的是，在我們的模型中，我們將fcfs原則應用于每一個小系統（即與每一類病床有關的系統）。而在整個系統的實現過程中，我們重點按病床當前的占有情況來決定各類醫院接納病人的住院情況。 現在我們對某個星期開始前的一天同時門診的個人進行討論，以7天為一個周期進行研究，對于白內障病人，由于他們只能在周六周天住院，其平均等待時間為6.5天，對于外傷病人由于它是急診，其等待時間為一天（假設有空的病床），對于其它兩類病

15、人，其平均等待時間為3天，由此我們得出所有病人的總的平均等待時間為： 經過計算 = 8 （ 天） 但是通過統計原數據中病人的等待時間，我們發現其等待時間除急診外傷之外，均在 12 天以上，這說明我們在此假設下的模型從病人的平均等待時間時間來看要優于原方案。通過統計分析原數據可得如下圖表：方程模型匯總參數估計值r 方fdf1df2sig.常數b1線性.2845.549114.03437.146-1.460冪.1662.778114.11878.546-.708增長.3627.944114.0144.031-.119指數.3627.944114.01456.316-.119表三 模型匯總和參數估計

16、值圖四 平均住院時間 分析上圖可得服務時間分布是一個負指數分布。事實上，三類病人（白內障、視網膜疾病、青光眼）在單位時間里都是安照 poisson 流獨立進入醫院，設其每類病人相繼到達的時間間隔為 （i=1、2、3;n=1、2、3），則： （i=1、2、3;n=1、2、3；t0）而三類病人排成等待隊伍，等待隊伍長無限制，三類病人按照 的一定比例作為一批進院進行治療，第 i批病人的住院時間相互獨立且同分布，有： （）則有： ； +;(n=1、2、)除外傷外，現在將病床分為三類（白內障、視網膜疾病、青光眼）。通過對每個系統的多狀態概率轉移模型hom的分析來研究計算每類病床的利用率。現在假設、分別為

17、第 i 類病人的平均服務率（表示第i類病人的平均住院時間），表示第i類病床中有j 張病床被占用的穩態概率。顯然，每個病區的病床是一定的，分析每個病區不同情況下病人的出入情況，我們可以畫出以下的狀態轉移圖。根據排隊論中的生滅過程理論，建立多狀態概率轉移模型。狀態轉移如下所示： 。 則有如下所示表達式：(1)當n=0時，有：(2)當n=1、2、3時，有：(3)當n=時，有：由以上的表達式可以求得： （其中n=1、2、3）在由期望的定義和以上分布可以得到每類病床的使用率：帶入數據可以得到：=75.2；=78.1；=80.1在此模型下，病床的使用率較之前的方案有很大提高，即跟之前比較，醫院的資源利用更

18、為充分，這顯然是醫院所希望看到的。6.2 入院時間預測模型建立及計算 現對模型中用到的相關符號進行說明：該白內障病人在同類病人隊列中的位置；：該青光眼病人在同類病人隊列中的位置；：該視網膜病人在同類病人隊列中的位置；：該白內障病人的入院時間;:該青光眼病人的入院時間；：該視網膜病人的入院時間；：當前醫院里白內障病人出院的時間（距離當天的時間）；：當前醫院里青光眼病人出院的時間（距離當天的時間）：當前醫院里視網膜病人出院的時間（距離當天的時間）其中，可以根據當時住院病人的情況統計得出。 對外傷除外的其它三種病人進行考慮，并將當前排隊等待住院的病人分類后重新處理，即將各類病人取出后仍按原來的相對順

19、序排列，則有以下式子成立： （n=1，2，3，4，）分析上述模型，根據醫院對當前住院病人的出院時間（即，的值）和等待住院的病人情況（即，）進行統計，就能在病人門診告訴其大概的入院時間（即，的值）。6.4 模型調整如果周六周天不安排手術，則對方案中的各類病人的住院時間重新做安排，做規定如下： 對于外傷仍然是任何時候均可住院。（預留病床用完后可增加臨時病床）對于白內障病人，由于其手術只能安排在周一和周三且術前只需1到2天的準備時間，所以他們仍然安排在周六周天入院（這兩天又按fcfs原則）； 對于青光眼病人和視網膜病人，規定其只能在周一到周三入院，也就是說周四周五這兩天不讓這兩類病人入院。 這樣病人

20、的平均住院天數就會縮短，例如，假定有一個視網膜患者，若讓其在周四入院，本來其準備2天后可以在周天手術，但現在不行，那他至少必須等到下周二才能進行手術，也就是說該病人從入院到手術最好情況下也要等5天，但是如果我們干脆讓其在下周一再入院，則最好情況下這個周四即可手術，那么他從入院到手術只需等3天，這樣就會使得他的住院天數有所縮短。不過同時我們要意識到，在這種方案下，病人的等待時間會適當的增長，但是從病人的角度看，住院天數縮短其所花費用肯定要減少，因此醫院采取這種方案，同樣會博得病人滿意。7.模型的優缺點及其優化根據計算，模型的病床利用率比fcfs的高；應用并行組合方式，提高了單位時間里病人入院的人

21、數；應用多狀態概率轉移模型能較準確地反映醫院病人的流動情況。根據此模型，在不增加病床和其他醫療設施的情況下,通過調整住院體制，適度縮短平均住院日，可以有效地提高病床周轉率,而對住院病人的治療效果不會產生消極影響。這種調整可以充分發揮醫院先進的醫療條件和醫護人員的技術優勢,體現出積極的社會效益并產生良好的經濟效益。另外，我們分析采用的都是整個醫院關于這四種眼科疾病的平均資料數據，但我們設計模型的核心卻是將此四種眼科疾病分類考慮，而這四種疾病在不同時間段的變化我們并沒有涉及全面，因此很難對病床做確切的劃分，模型有待于進一步從以下幾個方面進行改進和優化：（1） 模型中的參數 均可改變，但對現實中的醫

22、院來說，需要大量的統計數據來確定這兩個參數。（2） 在本模型中，將各類病分開處理，忽略了各個科室之間的關系。但在實際中，醫院是一個大系統，只有其中每個科室病床負荷均衡，整個醫院的病床使用率才能達到最優，但是由于病重、病因及各類病人的差異，這種均衡在醫院中很難實現，因此還需要做進一步的研究。（3） 我們的模型大多只是就確定的評價指標體系中的一個或兩個進行討論，在現實生活中我們可以根據實際情況，給每個指標確定一個權重，即確定我們建立的評價指標體系中參數a,b,c的值。（4） 由于現實生活中有很多不確定因素存在，例如急診人數所需要的醫療設備（病床等）可能會超過醫院之前給其的預留數，因此建議醫院要有臨

23、時設備，也就是說醫院要具備處理較大突發事件的能力。參考文獻1 李泉林，j， 系統科學與數學，1996.72 何建勇，最優化方法m，北京，清華大學出版社，2007.13 姚晨，多狀態概率轉移模型在醫院住院管理系統的應用j，解放軍總醫院醫學統計室4 趙樹進，楊哲，基于排隊論的醫療工作流程重組j，中國醫院管理，2003.45 張靜文，醫院病床設置系統的仿真j，系統工程理論方法應用，2004.46 唐應輝，排隊模型中計算隊長分布的遞推式j，電子科技大學學報，1997.67 錢曉紅，排隊理論在醫院康復超短波理療的應用j，醫學與社會，2007.7附件(論文用到的部分主要代碼)： k= length (x

24、(1, : ) ) ; x isnan= isnan (x) ; t vub= inf;t vubm = inf3 ones ( size (x) ) ; f op t= nan3 ones ( size (x) ) ; d op t= f op t;tmp 1= f ind (x isnan (: , k) ) ; tmp 2= length ( tmp 1) ;fo r i= 1: tmp 2u= feval (decisfun, k, x ( i, k) ) ; tmp 3= length (u) ;fo r j= 1: tmp 3tmp= feval (subo b jfun, k,

25、x ( tmp 1 ( i) , k) , u ( j) ) ;if tmp= t vub, f op t ( i, k) = tmp; d op t ( i, k) = u ( j) ; t vub= tmp;end; end; endfo r ii= k- 1: - 1: 1tmp 10= f ind (x isnan (: , ii) ) ; tmp 20= length ( tmp 10) ;fo r i= 1: tmp 20u= feval (decisfun, ii, x ( i, ii) ) ; tmp 30= length (u) ;fo r j= 1: tmp 30tmp 0

26、0= feval (subo b jfun, ii, x ( tmp 10 ( i) , ii) , u ( j) ) ;tmp 40= feval (t ran sfun, ii, x ( tmp 10 ( i) , ii) , u ( j) ) ;tmp 50= x (: , ii+ 1) - tmp 40; tmp 60= f ind ( tmp 50= = 0) ;if isemp ty ( tmp 60) ,if nargin5, tmp 00= tmp 00+ f op t ( tmp 60 (1) , ii+ 1) ;else, tmp 00= feval (o b jfun,

27、tmp 00, f op t ( tmp 60 (1) , ii+ 1) ) ; endif tmp 00= t vubm ( i, ii)f op t ( i, ii) = tmp 00; d op t ( i, ii) = u ( j) ; t vubm ( i, ii) = tmp 00;end; end; end; end; end; fval= f op t ( tmp 1, 1) ; fval= fval (f ind ( isnan (fval) ) , 1) ;p op t= ; tmpx= ; tmpd= ; tmpf= ;tmp 0= f ind (x isnan (: , 1) ) ; tmp 01= length ( tmp 0) ;fo r i= 1: tmp 01tmpd ( i) = d op t ( tmp 0 ( i) , 1) ; tmpx ( i) = x (