1、彈性力學及有限單元法 復習提綱采礦 09 級1. 材料力學和彈性力學在所研究的內容上有哪些共同點和哪些不同點？求解問題的方法上有何主要區別？ 共同點：都是分析各種結構物或其構件在彈性階段的應力和位移，校核它們是否具有所需的強度和剛度，并尋求或改進 它們的方法。彈性力學：研究彈性體由于受外力作用、邊界的約束或溫度改變等原因而發生的應力、形變的位移。 材料力學：研究構件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉作用下的應力和位移。求解方法：材料力學是除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析外，大都還引用關于構件的形變狀態和應力分布 的假定。而彈性力學一般都不必引用那些假定，因而得出的結果比較精確，還可以校核材料力

2、學得出的近似結果。2. 什么是彈性，什么是塑性？彈性力學有哪幾條基本假設？ 彈性：在一定的應力范圍內，物體受到外力作用產生全部變形，而去除外力后能夠立即恢復其原有的形狀和尺寸大小的 性質。塑性：物體受力后產生變形，在外力去除后不能完全恢復原狀的性質。 彈性力學的基本假定：連續性、完全彈性、均勻性、各向同性、位移和形變微小。3. 彈性力學的平衡微分方程是根據什么條件推導出來的？其物理意義是什么？ 在彈性體內任一點取出一個微分體，根據平衡條件來導出應力分量與體力分量之間的關系式。 意義：平衡微分方程表示了區域內任一點的微分體的平衡條件，從而必然保證任一有限部分和整個區域是滿足平衡條件 的。4. 為

3、什么要引入彈性力學的幾何方程？幾何方程是如何推導出來的？其物理意義是什么？ 因為平衡微分方程兩個方程三個未知函數，因此，決定應力分量的問題是超靜定的，還必須考慮幾何方程才可以求解。 根據微分線段上的形變分量與位移分量之間的關系式導出的。 意義：當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。反之，當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。5. 什么是物理方程？其表達式如何？物理意義是什么？ 考慮平面問題物理方面導出形變分量與應力分量之間的關系式的方程。表達形式滿足胡克定律。6. 什么是平面應力？平面應變？平面應力和平面應變的差別在哪些地方？所需要求解的問題，差別又在何處？如何推導出 相應的

4、物理方程？ 平面應力：在等厚度薄板中，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時，體力也平行于板面并 且不沿厚度變化。平面應變：在很長的柱形體中，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力或約束， 同時，體力也平行于橫截面而且不沿長度變化。可根據切應力互等性、胡克定律等求解相應的方程。7. 彈性力學問題的基本方程有哪幾組？ 平衡微分方程、幾何方程、物理方程，再加上邊界條件。8. 什么是應力邊界條件？位移邊界條件？混合邊界條件？應力邊界條件：若 S 6部分邊界給定了面力分量fx(s)和fy(s)，則可以由邊界上任一點微分的平衡條件，導出應力與面力之間的

5、關系。位移邊界條件：若在 Su部分邊界上給定了約束位移分量u(s)和v(s),則對于此邊界上的每一點，唯一函數u和v應滿足(u)s=u(s) ， (v)s=v(s)。混合邊界條件：物體的一部分邊界具有位移邊界條件，另一部分邊界則具有應力邊界條件。9. 什么是按照應力求解和按照位移求解？求解方法和過程有哪些區別？ 按位移求解：是以位移分量為基本未知函數，從方程和邊界條件中消去應力分量和形變分量，導出只含有位移分量的方 程和相應的邊界條件，并且由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應力分量。按應力求解：是以應力分量為基本未知函數，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導出只含有應力分量的方 程

6、和邊界條件，并由此解出應力分量，然后再求出形變分量和位移分量。區別：按位移求解能適應各種邊界條件問題的求解，按應力求解通常只求解全部為應力邊界條件的問題。10. 什么是相容方程？相容方程的物理意義是什么？相容方程：幾何方程中把 & x對y的二階導數和 y對x的二階導數相加得到的方程。意義：連續體的形變分量 & x, y, 丫 xy不是互相獨立的，而是相關的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證對應的位移分量 u 和 v 的存在。11. 什么是應力函數？雙諧方程？如何推導出雙諧方程？試寫出雙諧方程的數學表達式。 稱為平面的應力函數。12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.

7、雙諧方程：用應力函數表示的相容方程。推導：把平衡微分方程的全解代入相容方程化簡而得出。數學表達式：二=0.x:-X _y:-y應力函數與應力分量間有什么樣的關系？如何求解雙諧方程?關系：應力函數可以表示三個應力分量，從而簡化平面問題的求解，從求解應力分量可以變換求解應力函數。雙諧方程的求解：用應力邊界條件、平衡微分方程求解。什么是圣文南原理？在彈性力學中有何意義？圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，那么，近處的應力分布將有顯 著地改變，但是遠處所受的影響可以不計。意義：可以簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方便。什么是主要邊界？次要邊界？為什么主要

8、邊界上的邊界條件必須完全滿足，次要邊界條件才能使用圣文南原理？占彈性體邊界的大部分的，稱為主要邊界；占邊界很小部分的，稱為次要邊界。什么是逆解法？半逆解法？逆解法：就是先設定滿足邊界條件和雙諧方程的應力函數，再考察此函數能解決什么樣的問題。半逆解法：假設部分應力分量為某種形式的函數，據此解出應力函數，然后再考察此函數能否滿足雙諧方程，以及是否所有應力分量都能滿足邊界條件。若有部分條件不能滿足，則要修改原假設，重新考察。由直角坐標下的多項式解可以獲得哪些有意義的彈性力學解？如何計算應力、應變和位移？可以求解矩形板均布受拉、均布受壓、均布剪力、矩形梁受純彎曲等的問題。用半逆解法、圣維南原理求解應力

9、。再由應力位移、形變按物理方程變化E、后求解。由彈性力學所獲得的受分布荷載的簡支梁以及受純彎曲的簡支梁的解答，與材料力學所得到的解答有哪些共同之處和哪 些不同之處？由此可以說明哪些問題？ 相同：兩者得出的計算結果都相同。不同：各自的解法不同。彈性力學的解法，是嚴格考慮區域內的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，以及在邊界上的 邊界條件而求解的，因而得出的解答是較精確。材料力學的解法中，沒有嚴格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。說明的問題：材料力學的解法只適用于解決桿狀構件的問題，對于非桿狀構件的問題，不能用材料力學的解法求解，只 能用彈性力學的解法求解。如何推導出極坐標下彈性力學的平衡微分方程

10、，幾何方程和雙諧方程？極坐標下彈性力學的基本方程與直角坐標下的方 程有哪些區別？平很微分方程的導出：將微分體所受各力投影到微分體中心的徑向、切向軸上，列出徑向、切向的平衡方程得到。 幾何方程導出：極坐標下取微元計算徑向線應變、環向線應變、切應變，如果徑向和環向都有位移，則把它們疊加得到。區別：在直角坐標系中， x和y坐標都是直線，有固定的方向， x和y坐標的量綱都是L。在極坐標系中，p坐標線和“ 坐標線在不同的點有不同的方向； p坐標線是直線，而 “坐標線為圓弧曲線；p坐標的量綱是 L,而坐標為量綱一的 量。為什么可以求出極坐標下彈性力學方程的軸對稱問題的通解？如何求出？可以解答哪些問題？因為

11、繞z軸對稱的應力，在極坐標平面內應力分量僅為p的函數，不隨“而變；切應力t為零；應力函數是標量函數，在軸對稱應力狀態下，它只是p的函數。求解方法：應力化簡后用軸對稱問題的拉普拉斯算子代入相容方程求解。可求解的問題：與軸對稱應力相對應的形變和位移問題。帶圓孔的無限大板、半平面體在邊界上受集中力、對徑受壓的圓盤等問題的解答，是如何獲得的？這些解答各可以解決 哪些工程問題？半平面體邊界上受集中力：用半逆解法求解，首先按量綱分析法來假設應力分布的函數形式，將函數代入相容方程求的應力，此外還需考慮在點 0有集中力F的作用。帶圓孔的無限大板：首先設有矩形薄板在離開邊界較遠處有半徑為r的小圓孔，在四邊受均布

12、拉力，集度為q,坐標原點取在圓孔的中心，坐標平行于邊界，其次該矩形薄板在左右兩邊受有均布拉力q而在上下兩邊受有均布壓力 q。什么是有限單元法？有限單元法求解思想和求解過程與彈性力學有哪些不同？有限單元法：是一種近似的求解方法，它不直接對彈性力學中的微分方程求解，而是把結構離散化成單元，已建立有限 單元法的基本方程而求解。使用三角形3節點單元時，單元劃分時有哪些注意事項？ 任一三角形單元的頂點，必須也是相鄰三角形單元的頂點，而不能是其內點。 每個三角形單元的三條邊長和三個頂角均不要相差太大，否則會產生較大的計算誤差。 為了既保證計算精度又節約計算工作量，計算前應對應力分布情況作一個大體上的估計。

13、 一個單元內部只能具有一種單元厚度和一個材料彈性常數。23什么是位移插值函數？為什么要引入位移插值函數？ 彈性單元體內部通過已知點的位移值構造出一個插值多項式的函數叫做位移差值函數。因為在計算出節點位移后，還不能直接利用彈性力學的公式計算單元內部2的位移，也不能計算出單元內各點的應變和應力，因此就需引入位移差值函數。24. 什么是形函數？如何推導形函數？形函數：單元體各節點的節點位移和節點坐標的線性代數方程。 將單元體節點位移、節點坐標相應的線性代數方程組代入位移差值函數求解得到。25. 什么是應變矩陣？應力矩陣？節點位移列陣？應變矩陣：幾何方程中單元體內的應變的系數矩陣。即B。應力矩陣：彈性

14、矩陣與應變矩陣的乘積，即S = D B。節點位移列陣：節點位移函數矩陣的轉值。26. 什么是常應變單元？常應力單元？為什么三角形3節點單元是常應變單元和常應力單元？常應變單元：應變分量在單元體內部是常量的線性位移插值函數的三角形單元。常應力矩陣：每一個單元內的各應力分量都是常數應力單元。因為單元體的應力和應變都是常數。27什么是彈性變形比能？單元剛度矩陣是如何推導出的？總剛度矩陣如何得出？彈性變形能比：彈性體單元體積內存儲的彈性變形勢能。單元剛度矩陣推導：通過物理方程把單元變形勢能用節點位移來表示得出的矩陣。即Ke總剛度矩陣得出：由單元剛度矩陣按行列相加而得。即K28. 什么是最小勢能原理？如

15、何根據最小勢能原理推導出有限單元法的基本方程？最小勢能原理：在所有能滿足邊界條件的位移中，使結構體總勢能為最小值的位移，就是滿足平衡條件的真實位移。 根據最小勢能原理把節點位移視為自變量按照求極值的法則，使得結構體的總勢能滿足；v -0，求得。29. 有限單元法的基本方程是一個什么樣的方程？如何求解？此方程的大小（總剛度矩陣的大小）與什么有關？ 求解方法：按靜力等效法則、圣維南原理、虛功原理求解。大小與外載荷集中力有關。30. 與三角形單元相比，矩形單元有什么優點和缺點？優點：矩形四節點單元的計算精度較三角形長應變單元明顯提高。缺點：單元體的邊都是與坐標軸平行的，不能適應結構體復雜的邊界條件，

16、只能用于少數形狀簡單的結構體。31. 為什么要引入任意四邊形4節點單元？與矩形四節點單元相比，任意四邊形四節點單元有什么優點和缺點？為什么在任意四邊形4節點單元中要引入坐標變換？為解決矩形單元所帶來的困難而引入任意四邊形4節點單元。為解決單元形狀與收斂性的矛盾。32. 與三角形3節點單元相比，三角形 6節點單元有什么優點和缺點？計算精度遠高于常應變單元，但在現實計算機自動數據準備方面較為困難，且積分復雜。33. 與任意四邊形4節點單元相比，曲邊四邊形8節點單元有哪些優點和缺點？四邊形八節點單元具有很高的計算精度，可以通過較疏的網絡格劃分取得滿意的計算結果，具有較容易實現網格自動劃 分的優點。不

17、足之處計算量較大。34. 使用任意四邊形4節點單元和曲邊四邊形 8節點單元時，單元劃分時有哪些注意事項？ 四邊形四節點劃分注意： 任一三角形單元的頂點，必須也是相鄰三角形單元的頂點，而不能是其內點。 每個三角形單元的三條邊長和三個頂角均不要相差太大，否則會產生較大的計算誤差。 為了既保證計算精度又節約計算工作量，計算前應對應力分布情況作一個大體上的估計。 一個單元內部只能具有一種單元厚度和一個材料彈性常數。 單元形狀必須是凸多邊形。 任意四邊形四節點單元的邊是直線型，在模擬結構的曲線型邊界時，也要用折線來逼近曲線。 四邊形八節點劃分注意： 注意使邊長和夾角不要相差太遠、不要出現鈍角，各邊的節點

18、還應該盡可能位于邊的中點。 單元為曲線邊時，兩相對邊應該凹向同一方向。 要準確地給出邊界上各節點的坐標。35. 三角形3節點單元、三角形 6節點單元、任意四邊形 4節點單元、曲邊四邊形 8節點單元，應變矩陣和單元剛度矩陣各 為多大？三角形3節點：應變矩陣3X 6,單元剛度矩陣6X 6。三角形6節點：應變矩陣3X 12,單元剛度矩陣12X 12。任意四邊形4節點：應變矩陣3X 8,單元剛度矩陣8X &曲邊四邊形8節點：應變矩陣3X 16,單元剛度矩陣16 X 16。36試寫出有限單元法平面問題中，計算單元剛度矩陣的積分表達式，以及對應于各種單元時，此積分表達式中各矩陣以及 單元剛度矩陣的大小。E

19、二 B ： D IB tdxdy37. 什么是單元的參數？什么是等參數單元？設坐標變換的節點數為 m，位移插值函數的節點數為 n，m和n稱為單元參數。當m=n，即坐標變換的節點數與位移插值函數的節點數相同時，這種單元稱為等參數單元。38. 為什么要把體積力以及分布力這兩類外載荷向節點移植？因為在有限單元法中，單元的邊與邊之間在變形后必須保持連續，不能出現相互脫離或相互重迭的情況。邊與邊之間并 沒有力的關系，單元間力的傳遞只能靠節點來進行，外載荷也必須作用在節點上。因此，當外載荷是集中力時，可在網 格劃分時將集中力作用點取為節點，當外載荷是分布載荷和體積力時，就需要對這些載荷進行處理，按照靜力等效的法 貝V，將載荷移置到節點上，變換成等效節點載荷。39. 什么是前處理與后處理？有什么意義？前處理：是指對研究對象劃分單元、節點標號、以及對各節點準備數據。后處理：是指經計算機運算后，根據所得的相關數據繪出矢量圖、應力