1、第十二講空間中的夾角和距離一課標要求：1掌握兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理； （對于異面直線的距離，只要求會 計算已給出公垂線時的距離） 。2掌握點、直線到平面的距離，直線和平面所成的角； 3掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角； 二命題走向高考立體幾何試題一般共有 4道（選擇、填空題 3 道, 解答題 1道）, 共計總分 27分左 右 ,考查的知識點在 20 個以內(nèi)。 隨著新的課程改革的進一步實施 ,立體幾何考題正朝著 “多 一點思考 ,少一點計算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。預測 2010 年高

2、考試題：（1）單獨求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約5 分左右；解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為 6 分左右；（ 2）選擇、填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然 , 二者均應以正確的空間想象為前提。三要點精講1距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點點距，點線距，點面距， 線線距，線面距，面面距。其中重點是點點距、點線距、點面距以及兩異面直線間的距 離因此，掌握點、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都 指相應線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。求距離的重點

3、在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成 點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距 離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。（2）點到平面的距離平面外一點 P 在該平面上的射影為 P，則線段 PP的長度就是點到平面的距離； 求法：1“一找二證三求” ，三步都必須要清楚地寫出來。 2 等體積法。（ 3）直線與平面的距離： 一條直線和一個平面平行， 這條直線上任意一點到平面的距離， 叫做這條直線和平面的距離；第 1 頁

4、共 12 頁4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。求距離的一般方法和步驟：應用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方 法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：找出或作出 表示有關(guān)距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個三角形若表示距離的線段不 容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異 面直線 a 、 b 所成的角為 ，它們的公垂線 AA的長度為 d ，在 a 上有線段 AE m ，b 上有線段 AF n ，那么 EF d 2 m2 n2 2mn cos （“”符號由實際 情況選定） 2夾角空間

5、中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各 種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為（ 0， 90 、0， 90和0， 180 。（1）兩條異面直線所成的角求法：1 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移， 找出這兩條異面直線所成的角， 然后通過解三角形去求得； 2 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到 異面直線所成角得范圍是 （0, ，向量所成的角范圍是 0, ，如果求出的是鈍角，要注2 意轉(zhuǎn)化成相應的銳角。（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求” ，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平 面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法

6、” 。（3）二面角的度量是通過其平面角來實現(xiàn)的解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成 為解題的關(guān)鍵。通常的作法有： （）定義法； （）利用三垂線定理或逆定理； （）自 空間一點作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法此外，當作二S 面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之， cos ，其中 S 為斜面面積， SS 為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角。3等角定理第2 頁 共12 頁面直線 SC 與 AB 所成角的余弦值。D圖2如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平

7、行，那么這兩組直線所成的銳角 （或直角）相等。四典例解析題型 1 1：直線間的距離問題例 1 1已知正方體的棱長為 1，求直線 DA 與 AC 的距離。解法 1：如圖 1 連結(jié) AC ，則 AC面 ACD ，連結(jié) DA 、 DC 、 DO，過 O作 OE DO于 E因為 AC 面 BBDD ，所以 ACOE。又 OD OE，所以 OE面 ACD 。因此 OE 為直線 DA 與 AC 的距離。在 Rt OOD 中，可求得點評：此題是異面直線的距離問題： 可作出異面直線的公垂線。解法 2：如圖 2 連接 AC 、DC、BC、ABA ， 得到分別包含 DA 和 AC 的兩個平面 ACD 和平 面 A

8、BC ，又因為 AC AC ，AD BC ，所以面 ACD 面 ABC 。故 DA 與 AC 的距離就是平面 ACD 和平面ABC 的距離，連 BD 分別交兩平面于兩點，易 證是兩平行平面距離。不難算出， 所以， 所以異面直線 BD 與之間 的距離為。點評：若考慮到異面直線的公垂線不易做 出，可分別過兩異面直線作兩平面互相平行， 則 異面直線的距離就是兩平面的距離。題型 2 2：線線夾角例 2 2如圖 1，在三棱錐 S ABC 中，求異CCBAABC圖1解法 1：用公式當直線平面， AB 與所成的角為， l 是內(nèi)的一條直線， l 與 AB 在內(nèi)的射影所成的角為， 則異面直線 l 與 AB 所成

9、的角滿足。以此為據(jù)求解。由題意，知平面 ABC ，由三垂線定理，知，所以平面 SAC 。 因為，由勾股定理，得 。在中，在中，。設(shè) SC 與 AB 所成角為，則，解法 2：平移過點 C 作 CD/BA ，過點 A 作 BC 的平行線交 CD 于 D，連結(jié) SD，則是異面直線 SC 與 AB 所成的角，如圖 2 。又四邊形 ABCD 是平行四邊形。由勾股定理，得： 。圖2 在中，由余弦定理，得： 。 點評：若不垂直，可經(jīng)過如下幾個步驟求解： （ 1）恰當選點，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角； （ 2）證明這個角（或其補角）就是異面直線所成角；（ 3）解三角形（常用余弦定理） ，求出所構(gòu)造角的

10、度數(shù)。題型 3 3：點線距離 例 3 3（2002京皖春， 15）正方形 ABCD 的邊長是 2，E、F 分別 是 AB 和 CD 的中點，將正方形沿 EF 折成直二面角 （如圖所示） .M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點，如果 MBE=MBC ，MB 和平面 BCF1所成角的正切值為 ，那么點 M 到直線 EF 的距離為 。2第 4 頁 共 12 頁又 tanMBO= ， BO=2x2 ME =MN ，而 ME= 5x2 1，MN= x2 1 ，解得2x=2ABCD 中， O、E 分別 BD 、BC 的中點，解析 ：過 M 作 MO EF，交 EF 于 O，則 MO平面 BCFE. 如圖所示，作

11、ON BC，設(shè) OM=x，SMBE=1BEMBsinMBE=1BEMEMBE 2 211SMBC = BCMB sin MBC = BCMN MBC 2 2點評：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題 來處理。題型 4 4：點面距離例 4 4（ 2006 福建理， 18）如圖，四面體 CA=CB=CD=BD=2。（）求證： AO平面 BCD ；（）求異面直線 AB與CD 所成角的大??；（）求點 E 到平面的距離。（1）證明 ：連結(jié) OC。 BO=DO,AB=AD, AO BD。 BO=DO,BC=CD, COBD 。在AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 3 。

12、而 AC=2 ， AO 2+CO2=AC 2, AOC=90 ,即 AOOC。BD OC 0, AB 平面 BCD 。）解：取 AC的中點 M,連結(jié) OM、ME、OE，由 E為 BC的中點知 MEAB,OEDC。 第5 頁 共12 頁圖1h SACDAOS CDE. h= AO S CDES ACD21直線 OE與 EM 所成的銳角就是異面直線 AB與 CD 所成的角。121在 OME 中， EM AB ,OE DC 1,2221OM 是直角 AOC 斜邊 AC 上的中線， OM AC 1,22 cos OEA ,4異面直線2 AB 與 CD 所成角的大小為 arccos4）解 ：設(shè)點E 到平

13、面 ACD 的距離為 h.VA ACD VA CDE ,1 3 2而 AO=1, S CDE=22點 E到平面 ACD 的距離為 。7點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的 距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。題型 5 5：線面距離例 5 5斜三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是邊長為 4cm 的正三角形， 側(cè)棱 AA 1與底面兩邊第6 頁 共12 頁在ACD 中， CA=CD =2,AD = 2 ,2) SAA 1C1C SAA 1B1B ABAA 1 sin A 1AB 4 73 14 32A 1H A 1M 1sin2 2 (cm)

14、AB、AC 均成 600的角， AA 1=7。（ 1）求證： AA 1BC ；（2）求斜三棱柱 ABC A 1B1C1的全面積；（3）求斜三棱柱 ABC A 1B1C1的體積；（4）求 AA 1到側(cè)面 BB1C1C 的距離。 解析：設(shè)A 1在平面 ABC 上的射影為 0。 A1AB=A1AC， O 在BAC 的平行線 AM 上。 ABC 為正三角形， AM BC 。又 AM 為 A 1A 在平面 ABC 上的射影， A1A BCB1BA1A， B1BBC，即側(cè)面 BB1C1C 為矩形。SBB1C1C 4 7 283 2 2 又S A BC S ABC 3 42 4 3 ， S全=14 3 2

15、28 4 3 2 28 36 3(cm2) 1 1 1 4 3) cos A1AB=cos A1AO cos OAB ， cosA1AO= cos A1AB cos 600 cos OAB cos300 sin A 1AO=， A 1O=A 1Asin A 1AO= 7 61 3 1 1 1 3 V S ABC A 1O3 42 7 6 28 2 (cm 3)43（4）把線 A1A 到側(cè)面 BB 1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點 A 或 A1到平面 BB 1C1C的距離 為了找到 A1在側(cè)面 BB1C1C 上的射影，首先要找到側(cè)面 BB 1C1C的垂面 設(shè)平面 AA1M 交側(cè)面 BB1C1C于 MM1

16、BCAM ，BCA1A BC平面 AA 1M1M 平面 AA 1M1M 側(cè)面 BCC1B1 在平行四邊形 AA 1M1M 中 過 A1 作 A1HM1M ，H 為垂足 則 A 1H側(cè)面 BB 1C1C 線段 A1H 長度就是 A1A 到側(cè)面 BB 1C1C 的距離6A1M1H A1M1 sin A1AM 2 3 36點評：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求 得，體積法不用得到垂線。題型 6 6：線面夾角例 6 6（ 2006 浙江理， 17）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面為 第 7 頁 共 12 頁直角梯形， ADBC,BAD=90,PA底面 ABCD

17、，且 PAAD=AB=2BC ，M、N 分別 為 PC 、PB 的中點。（ ）求證： PB DM;（ ）求 CD 與平面 ADMN 所成的角的正弦值。 解析：（I）因為 N 是PB的中點， PA PB，所以 AN PB。因為 AD 平面 PAB ，所以 AD PB ，從而 PB 平面 ADMN .因為 DM 平面 ADMN ，所以 PB DM .（II）取 AD的中點 G，連結(jié) BG 、NG，則 BG / CD ，所 以 BG 與 平 面 ADMN 所 成 的 角 和 CD 與 平 面 ADMN 所成的角相等。因為 PB 平面 ADMN ，所以 BGN 是 BG 與平面ADMN 所成的角。在

18、Rt BGN 中， sin BNG BN 10 。BG 5點評：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查 空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。題型 7 7：面面距離例 7 7在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖：1）求證：平面 A1BC1平面 ACD1；2）求 （1）中兩個平行平面間的距離；3）求點 B1到平面 A1BC1 的距離。1）證明 ：由于 BC1 AD1，則 BC1平面 ACD1， 同理， A1B平面 ACD 1，則平面 A1BC1平面 ACD1。2）解：設(shè)兩平行平面 A1BC1與ACD1間的距離為 d，則 d等于D

19、1到平面 A1BC1的距離。易求 A1C1=5 ， A1B=2 5 ， BC1= 13 ，則 cosA1BC1= 2 ，則 sin A1 BC1= 61 ，則65 65S A1B1C1 = 61 。A1AC1C第8 頁 共12 頁NK / 面 ADD1 A11 1 1 12 61 由于 VD1 A1BC1 VB A1C1D1 ，則 S A1BC1 d= （ AD1C1D1） BB1 ，代入求得 d= 61 ，3 3 2 61 即兩平行平面間的距離為 12 61 。61（3）解：由于線段 B1D1被平面 A1BC1所平分，則 B1、D1 到平面 A1BC1 的距離相等，則 由（ 2）知點 B1

20、到平面 A1BC1的距離等于 12 61 。1 1 1 61點評：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立” 起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助 平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問 題就迎刃而解了。題型 8 8：面面角例 8 8 （ 2006 四 川 理 ， 19 ） 如 圖 ， 在 長 方 體 ABCD A1B1C1D1 中， E,P 分別是 BC,A1D1 的中點 ， M ,N 分 別 是 AE,CD1 的 中 點 ，AD AA1 a,AB 2a 。（）求證： MN / 面 ADD1

21、A1 ；（）求二面角 P AE D 的大小。（）求三棱錐 P DEN 的體積。解析 ：（） 證明：取 CD 的中點 K ，連結(jié) MK,NK M ,N,K 分別為 AK,CD1,CD 的中點， MK / AD,NK / DD1， MK / 面 ADD 1A1 ，面 MNK / 面 ADD1A1 MN / 面 ADD1A1（）設(shè) F 為 AD 的中點 P為 A1D1 的中點 PF / D1D PF 面 ABCD作 FH AE，交 AE 于 H ，連結(jié) PH ，則由三垂線定理得 AE PH 。 第 9 頁 共 12 頁在 Rt AEF 中，AFa2,EF 2a,AE127a ，從而FHAF EFAE

22、a2 2a2a 。17aa2在 Rt PFH 中， tan PFH PF DD1 17 ，故二面角FH FH 2P AE D 的正切值為172) S NEP1112S矩形 ECD1P4BC CD14a a2 4a252a，4在 Rt CDD1 中，DQ VP DENVD ENP13S NEP DQ1 5 2 2 1 3 a a a 。3 4 5 6從而 PHF 為二面角 P AE D 的平面角。作DQ CD1，交 CD1于Q，由 A1D1 面CDD 1C1得 A1C1 DQ， DQ 面 BCD1A1，點評：求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運算中的推 理過程，推理是運算的

23、基礎(chǔ)，運算只是推理過程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過 程找到二面角后，進行簡單的運算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平 面的位置關(guān)系的論證。五思維總結(jié)空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射 影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平 面角等解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決1空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進行定量分析的一個重要概念， 由它們的定義， 可得其取值范圍， 如兩異面直線所成的角 （0 ，），直線與平面所成的角 0, ，二面角的大小，可用它們的平面

24、角來度量，其平 22第 10 頁 共 12 頁CD DD1CD1面角 （0， ）。 對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于 一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平 行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應用通 過空間角的計算和應用進一步培養(yǎng)運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力（1）求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選 擇“特殊點” ，作另一條直線的平行線；或過空間任一點分別作兩異面直線的平行線，這 樣就作出了兩異面直線所成的角 ，構(gòu)造一個含 的三角形，解三角

25、形即可。方法二是 補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的 角。（ 2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點（斜足） ，然后在直線上取一點（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影） ，最后 解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。（3）求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的 平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根據(jù)定義作二面角的平面角； 垂面法作二面角的平面角；利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二 面角先作出棱后同上進行。 間接法主要是投影法： 即在一個平面 上的圖形面積為 S，它 在另一個平面 上的投影面積為 S，這兩個平面的夾角為 ，則 S=Scos 。如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線） ；求直線與平面所成的角常利 用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角 l 的平面角（記作 ）通常有以下幾種方法：（1） 根據(jù)定義；（2）過棱 l 上任一點 O作棱 l 的垂面 ，設(shè) OA， OB，則 AOB （圖 1）；（3）利用三垂線定理或逆定理， 過一個半平面 內(nèi)一點