1、大城一中高一一部數學組大城一中高一一部數學組知識回顧知識回顧 1. 向量與數量有何區別? 2. 怎樣來表示向量? 3. 什么叫相等向量?數量只有大小沒有方向數量只有大小沒有方向,如如:長度長度,質量質量,面積等面積等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向線段來表示AB2用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示.如aAB,長度相等長度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因為如此,我們研究的向量是與起點無關的自由向量,即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由判斷

2、下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.(1)兩個有共同起點的相等向量兩個有共同起點的相等向量,其終點可能不同其終點可能不同. ( ) (2) ( )(3)若非零向量若非零向量 共線共線,那么那么 ( )(4)四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形,那么那么 = ( )(5)向量向量 平行平行,那么那么 的方向相同或相反的方向相同或相反( )ab與ab=DCab與ab與(6)共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。 ( ) 則若若 a a = = b b, ,b b = = c c, ,a a = = c c; ;ABXXX X 上海上海香港香港臺

3、北臺北引入引入1：上海上海香港香港臺北臺北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法則：向量加法的三角形法則：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、內點 ，則與，記 則 這稱為 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做的的和和作作即即種種求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾連首尾連首尾相接首尾相接例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 那么那么 OBab OABaba 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內任取一點：在平面內任取一點O，作作 ，

4、 ，OAa ABb b例題講解：例題講解：嘗試練習一：嘗試練習一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1根據圖示填空：根據圖示填空：_ABBCCDDE AE 思考思考1：如圖，當在數軸上兩個向量共線時，：如圖，當在數軸上兩個向量共線時，加法的三角形法加法的三角形法 則是否還適用？如何作出兩則是否還適用？如何作出兩個向量的和？個向量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab00aaa規 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，則（或） 當向量當向量 不共線時，和向量的長度不共線時，和向量的長度 與向量與向量 的長度

5、和的長度和 之間的大小關系如何？之間的大小關系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當向量、不共線時有綜合以上探究我們可得結論：| |abab 圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表示橡皮條在兩個力F1F1和和F2F2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸長了伸長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個力表示橡皮條在一個力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸長了相同長度方向伸長了相同長度EOEO。從力學的觀點分析，力。從力學的觀點分析，力F F與與F1F1、F2F2之間的關系如何？之間的關系如何？MCEOF1F2圖

6、圖1ME OF圖圖2F=F1+F2F=F1+F2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點 為點兩個為鄰邊則為點對線與 這平行四邊則稱為 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法的的種種求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則：OABCabba 起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則： 文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊

7、形，則以公共起點為起點的對角線所對應向量就是和向量。以公共起點為起點的對角線所對應向量就是和向量。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內任取一點：在平面內任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結連結OC，那么，那么abba BCA平行四邊形法則平行四邊形法則嘗試練習二：嘗試練習二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的三角形法則和平行四邊形，用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出法則作出a b 、ab abbba思考思考2:數的加

8、法滿足交換律和結合律，即對任意數的加法滿足交換律和結合律，即對任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對任意向量那么對任意向量 的加法是否也滿足交換律和結合律？的加法是否也滿足交換律和結合律？請畫圖進行探索。請畫圖進行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如下圖，一艘船從長江南岸如下圖，一艘船從長江南岸A點出發，以點出發，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直

9、于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2求船實際航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾求船實際航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如下圖，一艘船從長江南岸如下圖，一艘船從長江南岸A

10、點出發，以點出發，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2求船實際航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾求船實際航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實際航行速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為

11、60。ADBC2.2 2.2 平面向量線性運算平面向量線性運算2.2.2 2.2.2 向量減法運算及其幾何意義向量減法運算及其幾何意義探究探究向量是否有減法向量是否有減法? ?如何理解向量的減法如何理解向量的減法? ?我們知道我們知道, ,減去一個數等于加上這個數的相反減去一個數等于加上這個數的相反數，如數，如:5-1=5+(-1):5-1=5+(-1)向量的減法是否也有類似的法則：向量的減法是否也有類似的法則：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量？減去一個向量等于加上這個向量的相反向量？一、相反向量一、相反向量a定義：與定義：與 長度相等，方向相反的向量，長度相等，方向相反的向量，叫做叫做

12、 的相反向量，記作：的相反向量，記作： aa 結論：結論： 00a0ba0a a在計算中常用,BAAB （1）)( a（2零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量,aaaa)()()3(（4如果是如果是 互為相反的向量，那么互為相反的向量，那么baba,ab二、向量減法：二、向量減法：定義：定義：)( baba 即：減去一個向量相當于加上這個向量的即：減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。相反向量。把把 也叫做也叫做 與與 的差。的差。 與與 的差的差也是一個向量。也是一個向量。ba abab三、向量減法的作圖方法：三、向量減法的作圖方法：呢？如何作出根據減法的定義，已知bab

13、a,ab)( baba, ,a bab 已知根據減法的定義如何作出呢？abaOAbBDCb() ab() ab三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba（1如果從如果從 的終點指向的終點指向 終點作向量，所得向量是什么呢？終點作向量，所得向量是什么呢？ab注意：注意：（1起點必須相同。（起點必須相同。（2指向被減向量的終點。指向被減向量的終點。ba一般地一般地abBabbAO（三角形法則）（三角形法則）a練習：練習：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA

14、 ACADBA “共起點，連終點，指向被減向量共起點，連終點，指向被減向量” a bab 、線則應樣 ：若若向向量量共共，怎怎作作出出呢呢？思思考考abab（1）（2）OABABOabab| | |a bababa bababba 若若 ，方方向向相相反反，若若 ，方方向向相相同同，（或或）| |a babab 若若 ，不不共共線線，則則 | |任意向量 ， ，有|a bababab | |任意向量 ， ，有|a bababab | |任意向量 ， ，有|a bababab | |任意向量 ， ，有|a bababab 已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b

15、c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面內任取一點在平面內任取一點O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 那那么么BAab DCcd 作作注意：注意：起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。起點相同，連接終點，指向被減向量的終點。a b c d 練習：練習：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb你能用你能用 表示表示 嗎？嗎？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab變式一變式一 本例中，當本例中，當 滿足什么

16、條件時，滿足什么條件時， 與與 互相垂直？互相垂直？ ,abababab變式二變式二 本例中，當本例中，當 滿足什么條件時，滿足什么條件時， ,ab?ababa b與 互相垂直變式訓練三：變式訓練三：a +ba +b與與a a b b可能是相等向可能是相等向量嗎？量嗎？_不可能不可能. .因為平行四邊形的兩條對角線方向不同因為平行四邊形的兩條對角線方向不同. .,ABCD ABaDAb OCcbcaOA 如圖平行四邊形例4：證明：ABCDabcOOABAOBABOBacbOBCBOCOCDAcb證明：練習練習:2:2CDBDACAB化簡) 1 (:0CBBDCDCDCD 解 原式COBOOCO

17、A化簡)2(:()()()0OABOOCCOOAOBBA 解 原式3、判斷下列命題是否正確，若不正確，說明理由、判斷下列命題是否正確，若不正確，說明理由01 BAAB、OBOAAB、23、相反向量就是方向相反的量、相反向量就是方向相反的量4、假設、假設 ，則，則A、B、C三點是一個三角形的定點三點是一個三角形的定點0CABCABaa 05、（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）6、兩個向量是互為相反向量，則兩個向量共線、兩個向量是互為相反向量，則兩個向量共線（ ）練習練習 1化簡：化簡：)()(BDACCDAB0)()(DAADCADCBDABBDCADCABBDACCDAB原式練習._BC, 5AC, 8AB的取值范圍是則若13BC3ABACABACABAC,ABACBC解：,120| | 3|oABa ADbDABababab 如圖已知向量練習3:，且，求和120oabADBCO|ba|DB|ba|AC|baDBbaAC3|AB|AD|ABCDADAB，故，由向量的加減法知，故此四邊