1、上海大學 20112012 學年冬季學期課程論文課程名稱：線性代數與幾何課程編號：01014108 論文題目:關于矩陣的可逆性探討作者姓名:學 號:成 績: 論文評語:評閱人: 評閱日期: 關于矩陣的可逆性探討姓名： 學號：摘要： 本文首先給出矩陣可逆的定義、性質，其次探討矩陣可逆的判定方法、逆矩陣的求法以及矩陣可逆的應用，特別是在編碼、解碼方面的應用。最后，本文對可逆矩陣進行了相應的推廣。關鍵詞： 矩陣 矩陣的逆 秩 廣義逆正文：引言在這篇文章中涉及到一些線性代數中的專有符號，在此做些說明。r（a） 是矩陣 a 的秩、 a 是矩陣 a 的行列式。寫這篇文章主要是對矩陣的可逆性由來及定義、性質

2、、應用等等進行探討。這篇文章的其余部分是這么編排的，章節一是矩陣的定義，章節二主要是逆陣的性質，章節三是逆矩陣的判定方法，接下來的章節四是逆矩陣的求法，章節五就是逆矩陣的應用，最后一個章節是對矩陣逆的推廣。章節一：矩陣逆的定義首先，迎面而來的問題是逆矩陣是什么呢，我們為何要映入逆矩陣的概念。從 以前學到的知識中我們知道，矩陣和復數相仿，有加、減、乘三種運算， 為了要完善矩陣的運算，我們因此引入了矩陣的逆這個概念。對于 n 階矩陣 a，如果有一個 n 階矩陣 b，使得 ab=ba=i，則說矩陣 a 是可逆的，并把矩陣 b 稱為 a 的逆矩陣，a 的逆矩陣記為 a-1 。章節二：可逆矩陣的性質1、

3、若矩陣 a、b 均可逆，則矩陣 ab 可逆，其逆陣為 b -1 a -1 ，當然這一性質可以推廣到多個矩陣相乘的逆。2、若 a 可逆，則 a-1 也可逆，且(a-1 )-1 =a；3、若 a 可逆，數l 0 ，則la 可逆，且(la)-1 = 1 a-1l；4、若 a 可逆，則 at 也可逆，且（ at ） -15、( a )-1 = ( a-1 ) .=（a -1） t 。6、逆矩陣還有一個性質，就是矩陣的逆是唯一的，下面給出相應證明： 這里運用反證法，如果 a 是可逆矩陣，假設 b,c 都是 a 的逆，則有ab=ba=e=ac=ca b=be=b（ ac） =（ ba） c=ec=c（ 與

4、 b c 矛盾）所以是唯一的。章節三：矩陣可逆的判定方法矩陣可逆有如下若干充要條件：（a 為 n 階方陣） 1、存在 b 為 n 階方陣，使得 ab=i；2、對于 paq=3、 a 0 ；ir000，其中 r（a）=n；4、a 的行向量組線性無關；5、a 的列向量組線性無關；6、a 可表示成一系列初等矩陣的乘積；7、a 可經過一系列初等行變換化成單位矩陣 i；8、a 可經過一系列初等列變換化成單位矩陣 i；9、對于齊次線性方程組 ax=0 只有零解；10、 a 是非奇異矩陣。章節四：矩陣的逆的求法1、從初等變換角度( ami) 行初等變換(im a-1)具體方法是：欲求 a 的逆矩陣時，首先由

5、 a 作出一個n 2n 矩陣，即( am e) ，其次對這個矩陣施以行初等變換( 且只能用行初等變換) ， 將它的左半部的矩陣 a 化為單位矩陣，那么原來右半部的單位矩陣就同時化為 a e 行初等變換-1a-1 ： ( ami) (im a) 或者l 列初等變換 l e a-1 注：在事先不知道 n 階矩陣是可逆的情況下，也可直接用此方法。如果在初等變換過程中發現左邊的矩陣有一行元素全為 0，則意味著 a 不可逆。2、從矩陣 a 的伴隨陣（伴隨矩陣）定義：設 a = (aij ) 是 n 級方陣，用 aij 表示 a 的(i, j) 元的 a11代數余子式(i, j = 1ln) ，矩陣 a1

6、2a 1na21 l a22 la2n lan1 an 2 稱為 a 的伴隨矩陣，記作 a*。ann 定理矩陣 a 可逆的充分必要條件是 a 0 ，并且當 a 可逆時,有aa-1 =1 a *。則根據本定理，也可計算出 a 的逆陣。這個定理不僅可以求一個矩陣的逆，并且還可以判斷矩陣是否可逆，但是這種方法主要用在理論上以及 2 級或 3 級矩陣的情形，如果階數較大，那么使用此方法計算量太大。對伴隨矩陣的小拓展：伴隨矩陣的定義，強調伴隨矩陣中元素的構成規律；伴隨矩陣常用的性質對于任意的方陣 a 均有此伴隨矩陣 a*使得aa* = a* a =a e 。a當 a 0時，a-1 = 1a*,當 a =

7、 0時：aa* = a* a = 0對于一般地方陣 a，其伴隨矩陣 a* 的秩為： n r( a*) = 10若 r( a) = n 若r( a) = n -1 若r( a) n - 2當 a 0時，a* =a n-1,當 a = 0時 a*= 0 。由定理逆矩陣判定的方法還有：推論 1n 級矩陣 a 可逆的充要條件是矩陣 a 的秩為 n。推論 2矩陣 a 可逆的充要條件是它的特征值都不為 0。推論 3n 級矩陣 a 可逆的充分必要條件是它的行( 或列) 向量組線性無關。3、 初等變換法（ 初等行變換初等列變換初等行列變換） 定義對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換：(1) 交換矩陣的兩行

8、( 列) ；(2) 以一個非零的數k 乘矩陣的某一行( 列) ；(3) 把矩陣的某一行（列) 的k 倍加到另一行( 列) 。定理方陣 a 可逆的充分必要條件是 a 可表示為若干個同階初等矩陣的乘積。4、待定系數法具體說來，待定系數法也就是定義法的具體應用，假設出矩陣 a 的逆陣 b， 根據 ab=i，展開相乘再根據矩陣的相等就可解出逆陣 b 的各元。章節五：矩陣逆的應用（主要在編碼、解碼方面）矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于利用可逆短陣的方法先在26 個英文字母與數字間建立起一一對應，例如可以是abyz12 2526若要發出信息“send money”，使用上述代碼，則此信息

9、的編碼是19，5， 14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母e不幸的是，這種編碼很容易被別人破譯在一個較長的信息編碼中，人們會根據那個出現頻率最高的數值而猜出它代表的是哪個字母，比如上述編碼中出現次數最多的數值是5，人們自然會想到它代表的是字母e，因為統計規律告訴我們，字母e 是英文單詞中出現頻率最高的我們可以利用矩陣乘法來對“明文”send money 進行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增加非法用戶破譯的難度，而讓合法用戶輕松解密如果一a個矩陣a的元素均為整數，而且其行列式 a = 1，那么由 a-1 = 1 a*即知，a-1的元素均為整數我們可以利用這樣的矩陣a 來對

10、明文加密，使加密之后的密文很難破譯現在取1 2 12 5 3a= 2 3 2明文“send money”對應的9 個數值按3 列被排成以下的矩陣19414 5135 b= 14 15 25矩陣乘積121 19414 434549 253 5135 = 105 118 128ab= 232 14 1525 817793 對應著將發出去的密文編碼：43，105，81，45，118，77，49，128，93 合法用戶用a1去左乘上述矩陣即可解密得到明文為了構造“密鑰”矩陣a ，我們可以從單位陣i 開始，有限次地使用第三類初等行變換，而且只用某行的整數倍加到另一行，當然，第一類初等行變換也能使用這樣得

11、到的矩陣a，其元素均為整數，而且由于 a = 1可知， a-1 的元素必然均為整數章節六：可逆矩陣的推廣廣義逆眾所周知，目前我們所學習、所了解的矩陣的可逆都是建立在 n 階方陣的基礎上，那如果是長方陣呢，對于長方陣，是否也有逆的性質，長方陣的逆又是怎樣的呢？現在經過查閱資料，我對矩陣的逆來做些推廣，這也就是標題中所說的長方陣的廣義逆。逆是逆元的簡稱，跟 n 階方陣一樣，長方陣與其廣義逆之間也有著相應的關系axa=a。這邊的 x 就成為長方陣 a 的廣義逆，記為 a 或者 a-。若a 為非奇異矩陣,則線性方程組a=b 的解為a-=a(a-b，其中a 的逆矩陣a(a-滿足 aa(a-=a(a=i(

12、i 為單位矩陣)。若 a 是奇異陣或長方陣。a=b 可能無解或有很多解。若有解,則解為 xb+(i-xa),其中是維數與 a 的列數相同的任意向量,x 是滿足 axa=a 的任何一個矩陣，通常稱 x 為 a 的廣義逆矩陣,用 a-等符號表示,有時 簡 稱 廣 義 逆 。 當 a 非 異 時 ,a(a-也 滿 足 aa(a-a=a,且。故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣。結束語：本次矩陣可逆性的探討這個 project 看似很復雜，但其中的大部分只是都是我們已經掌握了的，我想這個 project 幫助我們回憶鞏固了許多知識， 并且對于逆的推廣，是對我們創造

13、力、思維能力的有效培養。參考文獻：1王萼芳、石生明.高等代數.高等教育出版社.2003 年第三版； 2李尚志.線性代數.高等教育出版社.2006 年第一版.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the