1、推薦結構彈塑性分析的新本構關系秦榮（廣西大學 南寧市 530004）摘要 本文介紹了作者創立的新本構關系。這種新本構關系避開了屈服曲面，加載曲面及流動法則，避免了傳統的經典本構關系帶來的巨大困難及嚴重缺陷，突破了傳統的經典本構關系。關鍵詞：結構 彈塑性分析 新本構關系 彈塑性應變理論 彈粘塑性應變理論結構分析與結構材料的本構關系有密切關系。結構的材料是多種多樣的，不同的材料有不同的本構關系。因此在結構非線性力學中，研究材料本構關系是一個重要問題。目前，國內外對結構彈塑性分析主要采用傳統的經典本構關系-流動法則理論，它依賴于流動法則，而流動法則又依賴于屈服曲面、強化準則及加載曲面。在復雜應力狀態

2、中，屈服曲面及加載曲面是否存在，現在還沒有實驗證實，只是推猜及理想化，同時流動法則會導致復雜的非線性應力應變關系。因此，利用這種傳統的經典本構關系分析結構彈塑性問題，不僅計算非常復雜，而且也難保逼真度，為結構彈塑性分析帶來了巨大的困難和嚴重的缺陷。本構關系是結構非線性分析不可缺少的理論基礎。評價一個本構關系的好壞，不僅要看它們所反映客觀的逼真度，而且還要看它們在計算上是否經濟方便。如果一個本構模型在計算上很復雜，難以實現，則這個模型的逼真度再好，也難以推廣使用。由此可知，建立一個新的本構模型，必須同時考慮到理論上的嚴格性、參數的易確定性及計算機實現的可能性。一個好的本構模型應在這三者之間達到最

3、優的平衡狀態。針對經典本構關系存在的問題，作者建立了新的本構關系112。這種新的本構關系避開了屈服曲面、加載曲面及流動法則，避免了經典本構關系帶來的巨大困難及嚴重缺陷。本文介紹這種新的本構關系。1 彈塑性應變增量理論1.1 單向拉伸狀態圖1 單向曲線圖1是一個單向拉伸狀態的應力應變曲線，其中A點為材料的彈性極限點或屈服極限點，也稱初始彈性極限點或初始屈服點。材料在拉伸作用下應力-應變關系沿曲線OAB到達B點后，如果卸載，則卸載應力-應變關系沿直線BD下降，且BDOA。由此可知，當應力超過彈性極限或屈服極限時，材料的總應變為 （1）式中及分別為彈性應變及塑性應變，而應力可寫成形式 （2）由此可得

4、 （3）式中、及分別為、及p的增量。如果采用線性強化彈塑性模型，則由式（3）可得 （4）式中為材料的強化函數，即 （5）當重新從D點開始加載時，應力-應變關系沿曲線DBC變化。不論加載曲線是OAB還是DB，在B點的應力都是，因此可以按路徑DB來確定B點的應力狀態。因為在DB段中的變形處于彈性狀態，因此。故由式（1）可得 （6）將式（4）代入式（6）可得 （7）式中 （8）將式（8）中的代入式（7）可得 （9）這是塑性應變與總應變的關系（圖2）。如果采用增量形式，則圖2p關系 （10）式中、及分別為、及的增量。為彈性極限應變或后繼彈性極限應變（屈服應變或后繼屈服應變）。E為彈性模量。在圖1中，B

5、點為材料的后繼彈性極限點或后繼屈服極限點。由此可知，在加載過程中，加載路徑超過A點后，經過加載路徑ABC上的任何一點（除A點外）都是后繼彈性極限點或后繼屈服極限點。例如，如果設BC上有B1、B2、B3及B4點，則B點、B1點、B2點、B3點、B4點及C點都是后繼彈性極限點或后繼屈服極限點，即由此可得 （11）式中及分別為加載路徑ABC上B點及C點的應力。1.2 簡單加載狀態如果在加載過程中，結構內任一點的應力分量之間的比值保持不變，且按同一個參數單調增長，則這個加載稱為簡單加載，它符合簡單加載定理5。在簡單加載條件下的實驗研究發現，等效應力及等效應變之間存在著幾乎相同的關系，而與應力狀態無關。

6、因此，可以假定，結構在任何應力狀態下，其等效應力與等效應變之間存在著唯一的關系 （12）式中的具體形式由簡單拉伸實驗確定。這個假定稱為單一曲線假定。實際上，在驗證單一曲線假設的實驗中，并沒有完全滿足簡單加載條件，因此可以認為，在偏離簡單加載不大的情況下，單一曲線假設仍然適用。由此可以得出一個結論：只要是簡單加載或偏離簡單加載不大，任何應力狀態的曲線基本上與簡單拉伸的曲線相同，可以用曲線表示曲線。在空間受力狀態，如果加載方式是簡單加載，則各點的應力分量都遵循同一比例，即 （13）各點的同類應力應變曲線都遵循同一曲線。如果材料處于塑性狀態，則由圖3可得 （14）式中：為應力分量；為彈性極限應力或屈

7、服極限應力；為總應變；為彈性應變；為塑性應變分量；為強化系數，即 （15）對于各向同性體，由廣義虎克定律可得B點的應力分量： （16）式中。E為彈性模量，G為剪切模量，即 （17）其中為泊松比。由上述可求出圖3 B點的應力分量。 圖3 曲線如果設1、2及3為空間應力問題的主應變方向，則可以證明，在簡單加載情況下，主方向的塑性應變分量為 （18）式中：為i方向的彈性模量；為i方向的彈性極限應變或后繼彈性極限應變（屈服應變分量或后繼屈服應變分量）；，其中為i方向的強化系數，即。如果固體為各向同性體，則可寫為下列形式： （19）式中1，2，3。、及可寫成下列形式： （20）其中及分為屈服應力及屈服應

8、變，或后繼屈服應力極限及后繼屈服應變極限（或后彈性極限）。對于各向同性體，任意方向的塑性應變分量可以通過坐標變換獲得 （21）式中、及分別為與主應力方向1、2及3之間的夾角余弦，。如果固體為各向同性體，則將式（18）代入式（21）可得 （22）式中 / （23）式（23）的具體形式見式（30），這時式（30）按各向同性處理。由式（24）確定： （24）如果固體為正交各向異性體，則可以證明 （25）式中（26） I為單位矩陣，其中及分別為 （27） （28） 由式（2.17）可簡化為 （29）式中 （30）由圖3可知，利用正交廣義虎克定理可求出點的應力分量： （31）式中為i方向應力引起j方向應

9、變的泊松比。由上述可得：（32）式中為屈服應變或后繼彈性應變極限或后繼屈服應變極限。如果采用,則可證明 （33）其中 （34）式中：D為彈性矩陣；I為單位矩陣。式（31）可簡化為 （35）式中 （36）由上述可知，式（18）、（22）、（25）、（29）、（33）及（35）分別代表塑性應變向量與總應變向量的新關系。這種新關系稱為彈塑性應變理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。1.3 復雜加載狀態如果結構處于復雜加載狀態，則由上述可得 （37）或 （38）如果采用，則 （39）或 （40）式中：、及分別為、及的增量。由上述可知，式（37）（40）代表塑性應變向量增量與總應變向量增量的新關

10、系，這種關系稱為彈塑性應變增量理論1，5。1.4 應力應變關系如果結構處于彈塑性狀態，則應力與應變有關系 （41）式中 如果采用增量形式，則由式（41）可得 （42）其中 式中：D為彈性矩陣，及由上述彈塑性應變理論的表達式確定。及可分別利用式（24）或式（26）確定。2 熱彈塑性應變增量理論熱彈塑性分析在工程中應用很廣。實驗證明，材料的彈性模量、Poisson比、熱膨脹系數以及屈服應力等一般與溫度有關，但某些材料，當溫度在一定范圍內變化時，上述物理量的改變并不顯著，可以近似地看作與溫度無關。本節介紹作者提出的熱彈塑性本構關系。2.1 材料性質與溫度無關的本構關系對于結構工程，如果采用彈塑性模型

11、，則總應變向量為 （43）式中、及分別為結構的彈性應變向量、塑性應變向量及溫度應變向量。由上述可得 （44）式中：為塑性變形引起的應力變量；為溫度變化引起的應力變量，即 （45）其中 （46）式中：T為溫度變化；為熱膨脹系數向量。如果采用彈塑性應變理論，則或 （47）因為，因此由式（47）可得 （48）上式可簡化為 （49）由上述可知，式（48）（49）代表熱塑性應變向量與總應變向量及溫度應變向量的新關系，這種關系稱為熱彈塑性應變理論1，5。如果采用增量形式，則 （50）式中 （51）其中、及分別為應力向量、應變向量及溫度的增量。由式（48）及（49）可得 （52）上式可簡化為 （53）由上述

12、可知，式（52）及（53）代表熱塑性應變向量增量與總應變向量增量及溫度應變向量增量的新關系，這種關系稱為熱彈塑性應變增量理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。2.2 材料性質與溫度有關的本構關系如果材料性質與溫度有關，則彈性模量、Poisson比、熱膨脹系數都是溫度T的函數，并且彈性極限應力或屈服應力也與溫度有關。如果采用彈塑性模型，則 （54）因為 （55）因此 （56）由上式可得 （57）將式（57）代入式（54）可得 （58）式中 （59）其中 + （60）由此可得 （61）式中 （62）如果采用熱彈塑性應變理論，則 （63）由此可得圖4 彈粘塑性模型+ （64）由式（61）及（

13、64）可得+ （65）由此可得 （66）式中 （67）其中 （68）由上述可將式（66）簡化為 （69） 由上述可知，式（66）及（69）代表熱塑性應變向量增量與總應變向量增量及溫度應變向量增量的新關系，這種新關系稱為熱彈塑性應變增量理論1，5。及可分別利用式（24）或式（26）確定。上述彈塑性應變理論、彈塑性應變增量理論、熱彈塑性應變理論及熱彈塑性應變增量理論是秦榮于1986年以來創立的。3 彈粘塑性應變增量理論彈粘塑性模型由彈性元件E、粘性元件V及塑性元件P混聯構成。因為這種模型能較好地反映材料的力學特性，因此在塑性力學中應用很廣。但傳統的彈粘塑性理論對結構分析很困難，本文避開傳統的彈粘塑

14、性理論，創立了彈粘塑性應變理論。3.1 單向應力狀態圖4是一個一維的彈粘塑性模型。彈性元件E代表彈性性質，粘性元件V代表粘性性質，塑性元件P代表塑性性質。由圖4可得 （70） （71） （72）式中：、及分別為彈性元件、粘性元件及塑性元件的應力；、及分別為總應變、彈性應變及粘塑性應變。因為塑性元件代表塑性性質，因此當時，塑性元件不會發生變形；當時，塑性元件發生變形。對于強化材料，如果，則塑性元件中的應力可寫成形式 （73）因為粘性元件代表粘性性質，因此粘性元件的應力可寫成形式 （74）式中：為粘性系數；為應變率。將式（73）及（74）代入式（72）可得 （75）將式（71）代入上式可得 （76

15、）將式（70）代入上式可得 （77）它的增量形式為 （78）如果設 （79）則將式（79）代入式（78）可得 （80）這是粘塑性應變增量與總應變增量的新關系1，5。式中、及分別為總應變、粘塑性應變及屈服應變的增量，是一個參數，可在00.3范圍內根據具體情況選定。3.2 復雜應力狀態如果結構處于復雜應力狀態，則 （81）式中 （82） （83）其余記號見式（23）（36）。將代入式（81）可得 （84）式中 （85）如果采用，則可得 （86）式中由式（36）及（86）可得或 （87）式中 （88） （89）由上述可知，式（84）、（86）及（87）代表粘塑性應變向量增量與總應變向量增量的新關系，

16、這種新關系稱為彈粘塑性應變增量理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。3.3 應力應變關系如果結構處于彈粘塑性狀態，則應力與應變有關系 （90）式中 （91）4 熱彈粘塑性應變增量理論4.1 材料性質與溫度無關如果結構處于復雜應力狀態，則 （92）上式可簡化為 （93）由上述可知，式（92）及（93）代表熱粘塑性應變向量增量與總應變向量增量及溫度應變向量增量的新關系。這種關系稱為熱彈粘塑性應變增量理論1，5。4.2 材料性質與溫度有關如果材料性質與溫度有關，則或 （94）上式可簡化為或 （95）由上述可知，式（94）及（95）代表熱彈粘塑性應變向量增量與總應變向量增量及溫度應變向量增量的

17、新關系，這種關系稱為熱彈粘塑性應變增量理論1，5。可利用式（24）或式（26）確定。4.3 統一的本構理論如果采用全量形式，則 （96）上式可簡化為 （97）式（96）及（97）代表熱彈粘塑性應變全量理論1，5，式（94）及（95）代表熱彈粘塑性應變增量理論，它們可以代表統一的本構理論，由此可以導出各類本構理論，式（94）及（95）可變為彈粘塑性應變增量理論。如果，則式（96）及（97）可變為熱彈塑性應變全量理論，式（94）及（95）可變為熱彈塑性應變增量理論。如果,則式（96）及（97）可變為彈塑性應變全量理論，式（94）及（95）可變為彈塑性應變增量理論。如果，則由式（94）及（95）可知

18、，故結構處于彈性狀態。由此可知，式（94）及（96）代表統一本構理論1，5。上述彈粘塑性應變理論及熱彈粘塑性應變理論是秦榮1986年以來創立的。5 新的本構關系如果將式（35）代入式（41），則可得： （98） 式中為彈塑性矩陣，即 （99） 其中為塑性矩陣，即 （100）它是由彈塑性應變理論建立的，不是由流動法則理論建立的，它是一個創新。將式（100）代入式（99）可得 （101）由上式可知，式（98）是一種新的本構關系。式中為彈性極限應變（或屈服極限應變）或后繼彈性極限應變（或后續屈服極限應變），可利用式（24）或式（26）確定。 如果采用增量形式，則由式（40）及（42）可得 （102）

19、這是增量形式的本構關系，也是一種新的本構關系。式中及分別為及的增量。由式（24）或式（26）的增量確定。上述新的本構關系與流動法則理論不同。對于流動法則理論，式（102）中的為0，由流動法則理論建立的，給結構彈塑性分析帶來巨大的困難及嚴重的缺陷。用本文新理論建立的比用流動法則理論建立的優越。6結語（1）本文介紹的結構塑性力學分析的新本構關系，是作者1985年以來長期研究的新成果，它避開了經典本構關系（流動法則理）帶來的巨大困難及嚴重缺陷，突破了傳統的經典本構關系。（2）塑性動力學的本構關系與應變率有密切關系。如果應變率不大，可以不考慮應變率的影響，采用靜力本構關系。如果應變率較大，可采用彈粘塑

20、性本構關系10。（3）作者的有些研究生利用這些新本構關系，研究過結構塑性力學分析，利用語言，編制過有關程序，算過一些例題，效果很好13-19。（4）有些學者引用過這個新本構關系，算過一些例題，效果很好20-27。（5）本文對作者過去的文獻中有關筆誤及印刷錯漏進行了修正，并對有的問題進行解釋，供讀者參考，請注意。參考文獻1秦榮，塑性力學中的新理論新方法，廣西科學，1994，1（1）；廣西力學學會1985年學術大會特邀報告，1985。2秦榮，板殼彈塑性問題的樣條有限點法，力學學報，1989，21（增刊）。3秦榮，高層建筑結構彈塑性分析的新方法，土木工程學報，1994，27（6）。4秦榮，結構本構關系，廣西科學，2002，9（4）。5秦榮，大型復雜結構非線性分析的新理論新方法，北京：科學出版社，2011。6秦榮，板殼非線性分析的新理論新方法，工程力學，2004，21（1）。7秦榮，朱旭輝，潘春宇，鋼結構彈塑性分析的樣條有限點法，科學技術與工程，2009，9（8）。8秦榮，計算結構力學，北京：科學出版社，2001。9秦榮，工程結構非線性，北京：科學出版社，2006。10秦榮，計算結構非線性力學！，南寧：科學技術出版社，1999。11秦榮，智能結構力學，