1、 北京市西城區2014年高三一模試卷 數 學（理科） 2014.4第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設全集，集合，則集合（ ）（a）（b）（c）（d）2. 已知平面向量，. 若，則實數的值為（ ）（a）（b）（c）（d）3在極坐標系中，過點且與極軸平行的直線方程是（ ）（a）（b）（c）（d）開始輸出a結束否是輸入a, b4執行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（ ） （a）（b）（c）（d）5下列函數中，對于任意，同時滿足條件和的函數是（ ）（a）（c）（b）（d）6 “”是“方程表示雙曲線”

2、的（ ）（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件（c）充分必要條件（d）既不充分也不必要條件7某企業為節能減排，用9萬元購進一臺新設備用于生產. 第一年需運營費用2萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加2萬元，該設備每年生產的收入均為11萬元. 設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n等于（ ） （a）（b）（c）5（d）68. 如圖，設為正四面體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點p到四個頂點的距離組成的集合記為m，如果集合m中有且只有2個元素，那么符合條件的點p有（ ）b a d c. p（a） 4個（b）6個（c）10個（d）14個第卷（非選

3、擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9設復數，其中，則_ 10. 若拋物線的焦點在直線上，則_；的準線方程為_11已知一個正三棱柱的所有棱長均等于2，它的俯視圖是一個邊長為2的正三角形，那么它的側（左）視圖面積的最小值是_. 12若不等式組表示的平面區域是一個四邊形，則實數的取值范圍是_.13. 科技活動后，3名輔導教師和他們所指導的3名獲獎學生合影留念（每名教師只指導一名學生），要求6人排成一排，且學生要與其指導教師相鄰，那么不同的站法種數是_. （用數字作答）14如圖，在直角梯形中，p為線段（含端點）上一個動點，設，對于函數，給出以下三個結論：a bd cp

4、當時，函數的值域為； ，都有成立； ，函數的最大值都等于4.其中所有正確結論的序號是_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c. 已知.（）求的大小；（）如果，求abc的面積.16（本小題滿分13分）在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取200個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下. 根據壽命將燈泡分成優等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品. 壽命（天）頻數頻率20307050合計200（）根

5、據頻率分布表中的數據，寫出a，b的值；（）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這n個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求n的最小值； （）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了3個進行使用，若以上述頻率作為概率，用x表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求x的分布列和數學期望.17（本小題滿分14分）a b a1 b1d ced1 c1如圖，在四棱柱中，底面和側面都是矩形，是的中點，.（）求證：；（）求證：/ 平面；（）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.18（本小題滿分13分）已知函數 其中（）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；（）如果對于任意，且，都有，求的取值

6、范圍.19（本小題滿分14分）已知橢圓，直線l與w相交于兩點，與x軸、軸分別相交于、兩點，o為坐標原點. （）若直線的方程為，求外接圓的方程；（）判斷是否存在直線，使得是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由. 20（本小題滿分13分）在數列中，. 從數列中選出項并按原順序組成的新數列記為，并稱為數列的項子列. 例如數列為的一個4項子列.（）試寫出數列的一個3項子列，并使其為等差數列；（）如果為數列的一個5項子列，且為等差數列，證明：的公差滿足；（）如果為數列的一個項子列，且為等比數列，證明：.北京市西城區2014年高三一模試卷參考答案及評分標準 高三數學（理科） 2

7、014.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1c 2b 3d 4c 5d 6a 7a 8c二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9 10 11 12 13 14,注：第10題第一問2分，第二問3分. 第14題若有錯選、多選不得分.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標準給分. 15（本小題滿分13分） （）解：因為 ， 所以 ， 3分 又因為 ，所以 . 5分（）解：因為 ，所以 . 7分由正弦定理 ， 9分得 . 10分因為 ，所以 ， 解得 ， 因為 ，所以 . 11分故abc的面積. 13分16（本小題滿分13分）（）解：，.

8、 2分（）解：由表可知：燈泡樣品中優等品有50個，正品有100個，次品有50個，所以優等品、正品和次品的比例為. 4分所以按分層抽樣法，購買燈泡數，所以的最小值為 6分（）解：的所有取值為. 7分由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為， 8分從本批次燈泡中購買3個，可看成3次獨立重復試驗，所以，. 11分所以隨機變量的分布列為：012312分所以的數學期望13分（注：寫出，. 請酌情給分）17（本小題滿分14分）（）證明：因為底面和側面是矩形，所以 ，又因為 ，所以 平面， 2分因為 平面，所以 . 4分（）證明：因為 ，所以四邊形是平行四邊形. 連接交于點，連接，則為的中點. 在中，

9、因為，所以 . 6分a b a1 b1d ced1 c1zyxfg又因為 平面，平面，所以 平面. 8分（）解：由（）可知， 又因為 ， 所以 平面. 9分設g為ab的中點，以e為原點，eg，ec，所在直線分別為x軸，y軸，z軸如圖建立空間直角坐標系，設，則.設平面法向量為，因為 ，由 得令，得. 11分設平面法向量為，因為 ，由 得令，得. 12分由平面與平面所成的銳二面角的大小為，得 ， 13分解得. 14分18.（本小題滿分13分）（）解：由題意，得，其中， 2分 所以 ，又因為， 所以函數的圖象在點處的切線方程為. 4分（）解：先考察函數，的圖象， 配方得， 5分 所以函數在上單調遞增

10、，在單調遞減，且. 6分 因為對于任意，且，都有成立， 所以 . 8分 以下考察函數，的圖象， 則 ， 令，解得. 9分隨著變化時，和的變化情況如下：即函數在上單調遞減，在上單調遞增，且. 11分因為對于任意，且，都有成立， 所以 . 12分因為 （即）， 所以的取值范圍為. 13分19（本小題滿分14分）（）證明：因為直線的方程為， 所以與x軸的交點，與軸的交點. 1分則線段的中點， 3分即外接圓的圓心為，半徑為，所以外接圓的方程為. 5分（）解：結論：存在直線，使得是線段的兩個三等分點.理由如下：由題意，設直線的方程為， 則 ， 6分由方程組 得， 7分 所以 ， （*） 8分由韋達定理，得, . 9分 由是線段的兩個三等分點，得線段的中點與線段的中點重合. 所以 ， 10分 解得 . 11分 由是線段的兩個三等分點，得. 所以， 12分 即 ， 解得 . 13分 驗證知（*）成立. 所以存在直線，使得是線段的兩個三等分點，此時直線l的方程為，或. 14分20（本小題滿分13分）（）解：答案不唯一. 如3項子列，； 2分（）證明：由題意，知，所以 . 3分若 ，由為的一個5項子列，得，所以 .