1、第一章極限和連續第一節極限復習考試要求1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。 主要知識內容（一）數列的極限1.數列定義按一定順序排列的無窮多個數稱為無窮數列，簡稱數列，記作xn，數列中每一個數稱為數列的項， 第n項xn為數列的一般項或通項，例如（1）1，3，5，

2、（2n-1），（等差數列）（2）（等比數列）（3）（遞增數列）（4）1，0，1，0，（震蕩數列）都是數列。它們的一般項分別為（2n-1）,。對于每一個正整數n，都有一個xn與之對應，所以說數列xn可看作自變量n的函數xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3一切正整數時，對應的函數值就排列成數列。在幾何上，數列xn可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,.xn,。2.數列的極限定義對于數列xn，如果當n時，xn無限地趨于一個確定的常數a，則稱當n趨于無窮大時，數列xn以常數a為極限，或稱數列收斂于a，記作 比如：無限的趨向0，無限的趨向1否則，對于數

3、列xn，如果當n時，xn不是無限地趨于一個確定的常數，稱數列xn沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。比如：1，3，5，（2n-1），1，0，1，0，數列極限的幾何意義：將常數a及數列的項依次用數軸上的點表示，若數列xn以a為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點a，即點xn與點a之間的距離|xn-a|趨于0。比如：無限的趨向0無限的趨向1（二）數列極限的性質與運算法則1.數列極限的性質定理1.1（惟一性）若數列xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數列xn收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如：1，0，1，0，有界

4、：0，12.數列極限的存在準則定理1.3（兩面夾準則）若數列xn,yn,zn滿足以下條件：（1），（2）， 則定理1.4若數列xn單調有界，則它必有極限。3.數列極限的四則運算定理。定理1.5（1）（2）（3）當時，（三）函數極限的概念1.當xx0時函數f（x）的極限（1）當xx0時f（x）的極限定義對于函數y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數a，則稱當xx0時，函數f（x）的極限是a，記作或f（x）a（當xx0時）例y=f（x）=2x+1x1,f（x）?x1x1（2）左極限當xx0時f（x）的左極限定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0

5、時，函數f（x）無限地趨于一個常數a，則稱當xx0時，函數f（x）的左極限是a，記作或f（x0-0）=a（3）右極限當xx0時，f（x）的右極限定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數a，則稱當xx0時，函數f（x）的右極限是a，記作或f（x0+0）=a例子：分段函數，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數1。我們稱當x0時，f（x）的左極限是1，即有當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數-1。我們稱當x0時，f（x）的右極限是-1，即有顯然，函數的左極限右極限與函數的極限之間有以下關系：定理1.6

6、當xx0時，函數f（x）的極限等于a的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于a，則必有。x1時f(x)?x1x1f(x)2對于函數，當x1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。2.當x時，函數f（x）的極限（1）當x時，函數f（x）的極限y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1定義對于函數y=f（x），如果當x時，f（x）無限地趨于一個常數a，則稱當x時，函數f（x）的極限是a，記作或f（x）a（當x時）（2）當x+時，函數f（x）的極限定義對于函數y=f（x），如果當x+時，f（x）無限地趨于一個常數a，則稱當x+時，函數f（x）的極限是a，記作這個定義與數列極限的定

7、義基本上一樣，數列極限的定義中n+的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x+，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。y=f(x)x+f(x)x？ x+，f(x)=2+2例：函數f（x）=2+e-x，當x+時，f（x）？解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2所以（3）當x-時，函數f（x）的極限定義對于函數y=f（x），如果當x-時，f（x）無限地趨于一個常數a，則稱當x-時，f（x）的極限是a，記作x-f(x)？則f(x)=2+(x0)x-,-x+f(x)=2+2例：函數，當x-時，f（x）？解：當x-時，-x+2，即有由上述x，x+，x-時，函數f（x）極限的定義，不難

8、看出：x時f（x）的極限是a充分必要條件是當x+以及x-時，函數f（x）有相同的極限a。例如函數，當x-時，f（x）無限地趨于常數1，當x+時，f（x）也無限地趨于同一個常數1，因此稱當x時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是對函數y=arctanx來講，因為有即雖然當x-時，f（x）的極限存在，當x+時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是對函數y=arctanx來講，因為有 即雖然當x-時，f（x）的極限存在，當x+時，f（x）的極限也存在，但這兩

9、個極限不相同，我們只能說，當x時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數極限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設函數在點的某個鄰域內（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數極限的四則運算定理定理1.9如果則（1）（2）（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。（五）無

10、窮小量和無窮大量1.無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數，如果自變量x在某個變化過程中，函數的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，來表示無窮小量。定理1.10函數以a為極限的必要充分條件是：可表示為a與一個無窮小量之和。注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。（2）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮小量。（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：振蕩型發散 （4）越變越小的變量也不一定是無窮小量

11、，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個常數，但數“0”是無窮小量中惟一的一個數，這是因為。2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（）不是一個數值，“”是一個記號，絕不能寫成或。3.無窮小量與無窮大量的關系無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。當無窮大無窮小當為無窮小無窮大4.無窮小量的基本性質性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；性質

12、2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較定義設是同一變化過程中的無窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。當等價無窮小量代換定理：如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。均為無窮小又有這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有：

13、當時，sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;（六）兩個重要極限1.重要極限重要極限是指下面的求極限公式令這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的型的極限問題。其結構式為：2.重要極限重要極限是指下面的公式： 其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為e=2.718281828495045其結構式為：重要極限是屬于型的未定型式，重要極限是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1.利用極限的四則運算法則求極限；2.利用兩個重要極限求極限；3.利用無窮小量的性質求極限；4.利用函數的連續性求極限；

14、5.利用洛必達法則求未定式的極限；6.利用等價無窮小代換定理求極限。基本極限公式 （2）（3）（4）例1.無窮小量的有關概念（1）9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是a.b.c.d. 答ca.發散d.（2）0202當時，與x比較是a.高階的無窮小量b.等價的無窮小量c.非等價的同階無窮小量d.低階的無窮小量答b解:當,與x是極限的運算：0611解：答案-1例2.型因式分解約分求極限（1）0208 答解:（2）0621計算答解:例3.型有理化約分求極限（1）0316計算 答解:（2）9516 答解: 例4.當時求型的極限 答 （1）0308一般地，有例5.用重要極限求極限（1）9603

15、下列極限中，成立的是a.b.c.d. 答b（2）0006 答解:例6.用重要極限求極限（1）0416計算 答解析解一：令解二：03060601（2）0118計算 答 解:例7.用函數的連續性求極限0407 答0解:，例8.用等價無窮小代換定理求極限0317 答0解:當例9.求分段函數在分段點處的極限（1）0307設則在的左極限答1解析（2）0406設,則 答1解析例10.求極限的反問題（1）已知則常數解析解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必達法則）即，得.（2）若求a,b的值.解析型未定式.當時，.令于是，得.即，所以.04020017，則k=_.（答:ln2）解析前面我們講

16、的內容： 極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。第二節函數的連續性復習考試要求1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。主要知識內容（一）函數連續的概念1.函數在點x0處連續定義1設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數的改變量

17、y也趨近于0，即則稱函數y=f（x）在點x0處連續。函數y=f（x）在點x0連續也可作如下定義：定義2設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當xx0時，函數y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數值f（x0），即定義3設函數y=f（x），如果，則稱函數f（x）在點x0處左連續；如果，則稱函數f（x）在點x0處右連續。由上述定義2可知如果函數y=f（x）在點x0處連續，則f（x）在點x0處左連續也右連續。2.函數在區間a，b上連續定義如果函數f（x）在閉區間a，b上的每一點x處都連續，則稱f（x）在閉區間a，b上連續，并稱f（x）為a，b上的連續函數。這里，f（x）在左端點a連續

18、，是指滿足關系：，在右端點b連續，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續，在右端點b處是左連續。可以證明：初等函數在其定義的區間內都連續。3.函數的間斷點定義如果函數f（x）在點x0處不連續則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數在某點連續的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且存在，但，則點x0是f（x）一個間斷點。，則f（x）在a.x=0,x=1處都間斷b.x=0,x=1處都連續c.x=0處間斷，x=1處連續d.x=0處連續，x=1處間斷解：x=0處，f（0）

19、=0f（0-0）f（0+0）x=0為f（x）的間斷點x=1處，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）f（x）在x=1處連續 答案c9703設，在x=0處連續，則k等于a.0 b. c. d.2分析：f（0）=k答案b例30209設在x=0處連續，則a=解：f（0）=e0=1f（0）=f（0-0）=f（0+0）a=1 答案1（二）函數在一點處連續的性質由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。 定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則（1）f（x）g（x）在x0處連續（2）f（x）g（x）在x0處連續（3）若g（x0

20、）0，則在x0處連續。定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=fg（x）在x=x0處連續。在求復合函數的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的處連續，則極限符號可以與函數符號交換。即定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。（三）閉區間上連續函數的性質在閉區間a，b上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。定理1.15（有界性定理

21、）如果函數f（x）在閉區間a，b上連續，則f（x）必在a，b上有界。定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間a，b上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間a，b上連續，且其最大值和最小值分別為m和m，則對于介于m和m之間的任何實數c，在a，b上至少存在一個，使得推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間a，b上連續，且f（a）與f（b）異號，則在a，b內至少存在一個點，使得f（）=0（四）初等函數的連續性由函數在一點處連續的定理知，連續函數經過有限次四則運算或復合運算而得的函數在其定義的區間內是連續函數。又由于基本初等函數在

22、其定義區間內是連續的，可以得到下列重要結論。定理1.18初等函數在其定義的區間內連續。利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則f（x）在x0處連續也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。04070611 例1.證明三次代數方程x3-5x+1=0在區間（0,1）內至少有一個實根.證：設f（x）=x3-5x+1f（x）在0，1上連續f（0）=1 f（1）=-3由零點定理可知，至少存在一點（0，1）使得f（）=0，3-5+1=0即方程在（0，1）內至少有一個實根。本章小結函數、極限與連續是微積分中最基本、最重要的概念之一

23、，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學習打下良好的基礎。這一章的內容在考試中約占15%，約為22分左右。現將本章的主要內容總結歸納如下：一、概念部分重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續的概念。極限概念應該明確極限是描述在給定變化過程中函數變化的性態，極限值是一個確定的常數。函數在一點連續性的三個基本要素：（1）f（x）在點x0有定義。（2）存在。（3）。常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。二、運算部分重點：求極限，函數的點連續性的判定。1.求函數極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運算法則求極限；對于“”型不定式，可

24、考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；（3）利用無窮小量的性質求極限； （4）利用函數的連續性求極限；若f（x）在x0處連續，則。（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數在分段點處的極限；（7）利用洛必達法則求未定式的極限。2.判定函數的連續性，利用閉區間上連續函數的零點定理證明方程的根的存在性。ag an employment tribunal clai emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. you may need to make a

25、claim to an employment tribunal if: you dont agree with the disciplinary action your employer has taken against you your employer dismisses you and you think that you have been dismissed unfairly. for more informu, take advice from one of the organisations listed underfur ther help. employment tribu

26、nals are less formal than some other courts, but it is still a legal process and you will need to give evidence under an oath or affirmation. most people find making a claim to an employment tribunal challenging. if you are thinking about making a claim to an employment tribunal, you should get help

27、 straight away from one of the organisations listed underfurther help. ation about dismissal and unfair dismissal, seedismissal. you can make a claim to an employment tribunal, even if you haventappealedagainst the disciplinary action your employer has taken against you. however, if you win your cas

28、e, the tribunal may reduce any compensation awarded to you as a result of your failure to appeal. remember that in most cases you must make an application to an employment tribunal within three months of the date when the event you are complaining about happened. if your application is received afte

29、r this time limit, the tribunal will not usually accept i. if you are worried about how the time limits apply to you if you are being represented by a solicitor at the tribunal, they may ask you to sign an agreement where you pay their fee out of your compensation if you win the case. this is known

30、as adamages-based agreement. in england and wales, your solicitor cant charge you more than 35% of your compensationif you win the case. you are clear about the terms of the agreement. it might be best to get advice from an experienced adviser, for example, at a citizens advice bureau. to find your

31、nearest cab, including those that give advice by e-mail, click onnearest cab. for more information about making a claim to an employment tribunal, seeemployment tribunals. the (lack of) air up there watch m cay man islands-based webb, the head of fifas anti-racism taskforce, is in london for the foo

32、tball associations 150th anniversary celebrations and will attend citys premier league match at chelsea on sunday. i am going to be at the match tomorrow and i have asked to meet ya ya toure, he told bbc sport. for me its about how he felt and i would like to speak to him first to find out what his

33、experience was. uefa hasopened disciplinary proceedings against cskafor the racist behaviour of their fans duringcitys 2-1 win. michel platini, president of european footballs governing body, has also ordered an immediate investigation into the referees actions. cska said they were surprised and dis

34、appointed by toures complaint. in a statement the russian side added: we found no racist insults from fans of cska. age has reached the end of the beginning of a word. may be guilty in his seems to passing a lot of different life became the appearance of the same day; may be back in the past, to one

35、self the paranoid weird belief disillusionment, these days, my mind has been very messy, in my mind constantly. always feel oneself should go to do something, or write something. twenty years of life trajectory deeply shallow, suddenly feel something, do it.一字開頭的年齡已經到了尾聲?；蛟S是愧疚于自己似乎把轉瞬即逝的很多個不同的日子過成了同

36、一天的樣子；或許是追溯過去，對自己那些近乎偏執的怪異信念的醒悟，這些天以來，思緒一直很凌亂，在腦海中不斷糾纏?？傆X得自己似乎應該去做點什么，或者寫點什么。二十年的人生軌跡深深淺淺，突然就感覺到有些事情，非做不可了。the end of our life, and can meet many things really do?而窮盡我們的一生，又能遇到多少事情是真正地非做不可？ during my childhood, think lucky money and new clothes are necessary for new year, but as the advance of the a

37、ge, will be more and more found that those things are optional; junior high school, thought to have a crush on just means that the real growth, but over the past three years later, his writing of alumni in peace, suddenly found that isnt really grow up, it seems is not so important; then in high sch

38、ool, think dont want to give vent to out your inner voice can be in the high school children of the feelings in a period, but was eventually infarction when graduation party in the throat, later again stood on the pitch he has sweat profusely, looked at his thrown a basketball hoops, suddenly found

39、himself has already cant remember his appearance. baumgartner the disappointing news: mission aborted. r plays an important role in this mission. starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. the balloon, w

40、ith capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. it will climb higher than the tip of mount everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. as he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence. we often close ourselves off when traumatic events happen in our lives; instead of letting the world soften us, we let