1、公司用人最優化方案xx指導老師 xx摘要：本文首先對題目中一些較模糊的概念進行了符合實際的假設，然后利用線形規劃的原理對公司的用人方案進行最優化處理，包括確定（1）招工（2）人員再培訓（3）解雇和超員雇用（4）設半日工的方案，分別以解雇人數最少和付出的費用最少為目標建立各自的目標函數和其約束條件，進而利用數學軟件lingo對所建立的模型進行計算，得出最優解，從而確定公司的用人方案，并算出節省費用，包括每年每類崗位所節省的費用。最后本文利用此軟件對模型求解，得出了目標1最少解雇人數為870人，最少費用為704000元，比目標1下的方案的費用減少了755400元 。并且對模型的穩定性和靈敏度進行了

2、檢驗。一、 問題的重述：工人可分為不熟練工人、半熟練工人、熟練工人，其中各熟練級別之間可以通過降級使用和再培訓進行轉化，某公司由于裝備了新機器，對此三種工人的需求有所變化，具體內容如題目表1： 分類 不熟練 半熟練 熟練 現有人數2000 1500 1000第一年需求 1000 14001000第二年需求 500 2000 1500第三年需求 0 2500 2000表1為此，公司希望在以下四個方面的用人方案上得到確定：招工、人員再培訓、解雇和超員雇用、設半日工的方案。其中，由于各種原因不滿一年和一年后自動離職的人員情況如表2： 分類不熟練半熟練熟練工作不滿一年 25% 20% 10% 工作一年

3、以上10% 5% 5% 表2同時公司可以招收一定數量的半日工。從而建立模型以達到以下兩個目標：（1） 解雇人數最少的情況下，應該怎樣運轉？（2） 費用的最少消耗量以及節省費用，并導出每年每類崗位所節省的費用。二、 問題的分析：本題屬于一定約束條件下的的最優化問題，初步分析題意，我們按照題目要求擬建立解雇人數和總費用兩個目標函數的線形規劃模型：解雇人數包括三年三種熟練級別的解雇人數與半日工的解雇人數。總費用包括三種級別工人的工資、解雇費、半日工的支付費用、超員雇用的支付費用四項總和。根據題目的要求列出各約束條件，利用數學軟件進行整數的最優化運算。三、 模型的假設根據題目所給的各種條件和生產中的實

4、際情況，我們可以作出以下假設：（1） 假定培訓的時間是長期的，為一年。即在第一年初培訓，而在第一年末（或第二年初）使用。（2） 假定在將工人降級使用時，由熟練工降為半熟練工、由半熟練工降為不熟練工與越級的熟練工降為不熟練工處于同等地位。（3） 對待半日工的使用假定如下：在使用時按勞力記入，即算作半個普通全日工；對半日工存在著解雇，解雇人數算作一個人。另外，半日工是另外聘用，與原有工人無關。（4） 根據實際情況，我們對題目中“培訓半熟練工成為熟練工，培訓一名開支500元；培訓人數不能超過所訓崗位當時熟練工人數的1/4”理解是培訓人數不超過當時崗位所需求人數與該崗位超員雇用人數總和的1/4。（5）

5、 假定工人脫產培訓。（6） 考慮到工廠的長遠發展，第三年我們依然假設還要對工人進行培訓。（7） 所有的用人方案的實施都發生在年初。（8） 假設半日工的收入包括普通全日工人的年薪的1/2和公司的每年的支出費用。（9） 該公司各崗位工人的年薪固定不變。四、 符號的定義及說明： xij:第i年雇傭工人數，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； aij: 第i年招收的半日工人數，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； sij: 第i年超員雇用工人數，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； fij: 第i年解雇的工人數，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； bij: 第i年需求的工人數，表示不

6、熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； pij: 第i年培訓的工人數，j表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； faij: 第i年解雇的半日工人數，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； duij：第i年降級的工人數， 表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工；gi；表示各熟練級別工人的年薪，表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工；cij: 自然減員率，表示工作不滿一年人員的自然減員率，表示工作一年以上人員，的自然減員率；表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工；nij：表示第i年共有j等級工人數，如表示現有不熟練的工人數（）表示不熟練工，表示半熟練工，表示熟練工； ：在解雇人數最少的情況下，第i

7、年花費在某崗位上的費用，表示不熟練工崗位，表示半熟練工崗位，表示熟練工崗位； ：在費用最少的情況下，第i年花費在某崗位上的費用，表示不熟練工崗位，表示半熟練工崗位，表示熟練工崗位； ：在費用最少的情況下第i年花費在某崗位上的費用比起在解雇人數最少的情況下第i年花費在某崗位上的費用的差值，j表示不熟練工崗位，表示半熟練工崗位，表示熟練工崗位；z：表示總費用y：表示解雇的總人數五、 模型的建立與求解：我們對問題進行了分析后，作出了相應的假設和符號說明，并且根據模型的要求建立了多個約束條件方程與目標函數。 （一）、對于目標1，建立以下的目標函數： 按照題目所給的條件，根據實際情況，分析公司第一年對不

8、熟練工的用人計劃如下：公司現有不熟練工人為n01, 其減員率為c21,該年招工x11，其減員率為c11，培訓人員為p11，將工人降級到不熟練級使用的人員為du11和du12，解雇全日工人員為f11，雇傭半日工為a11，解雇半日工為fa11，超雇人員為s11，而在公司對不熟練工的需求為b11，由此，得到下面的約束： 依次推理我們得到以下的約束表達式：其中 考慮到對半日工的解雇不能超過已有的半日工的人數，如對第1年的不熟練半日工的解雇不能超過第一年工作的不熟練半日工人數和今年招聘的不熟練半日工人數。為此得到以下的約束條件：同時，根據題目所給的要求，得到以下的約束條件：為此，得到模型的目標函數如下

9、根據上面的關系式，在計算機上利用軟件lingo對上面的模型進行求解，得到問題中目標1的最優解為 其中, ， 由上述的答案，可以看到被解雇的工人都是不熟練工人（第一年解雇不熟練工人450人，第二年解雇不熟練工人185人），這符合題目所給的情況對不熟練的工人的需求相對減少，證明模型的合理性；同時存在解雇工人，這是由于該公司在第一年，第二年的貿易量相下降，減少了對各類工人的需求量。所雇傭的工人都是熟練工人和半熟練工人，這是因為該公司對熟練和半熟練工人的需求相對增加。由于半日工是另外招聘的，因此將占用各種工種的崗位，這將使得被解雇的員工增多，因此，在最優解中只有在需求增長比較大的熟練工才有雇傭半日工。

10、由于所雇傭的半日工一直在使用，所以解雇半日工為零。在降級方法使用上，只有在第三年的時候，才有把比較多的熟練工降為半熟練工使用，這是因為在第三年的員工需求中，半熟練工的需求是最大。在超員雇傭上，熟練工和半熟練工不存在超員雇傭的情況，這是因為熟練工和半熟練工的需求一直在增長，而不熟練工則是三年都把超員雇傭的名額用滿，這是因為不熟練工的需求在不斷的下降，到了第三年更是變為零。在人員培訓上，公司應該在三年的時間一直進行把不熟練工培訓成半熟練工的工作，以求達到減少解雇不熟練工，同時也要進行把半熟練工培訓成熟練工的工作，以求滿足對熟練工的需求。 綜上所述，該公司在未來三年的員工雇傭計劃為： 在第一年，解雇

11、不熟練工450人；脫崗培訓不熟練工200人，半熟練工人350人；超員雇傭150名不熟練工，多雇傭半熟練工405人，熟練工30人，半日熟練工50人，熟練工降為半熟練工2人； 在第二年，解雇不熟練工185人；脫崗培訓不熟練工200人，半熟練工人100人；超員雇傭150名不熟練工，多雇傭半熟練工590人，熟練工200人，半熟練半日工1人，熟練半日工50人，熟練工降為半熟練工5人； 在第三年，解雇不熟練工235人；脫崗培訓不熟練工200人，半熟練工人170人；超員雇傭150名不熟練工，多雇傭半熟練工800人，熟練工500人，熟練半日工50人。 根據所得數據，我們描繪出了其中變化比較大的一些數據的年變化

12、曲線圖。具體如下。 圖1 圖2 圖3圖4其中，圖1表示招聘半熟練工和熟練工的年變化情況，具體如圖所示。圖2表示解雇不熟練工人的年變化曲線圖。圖3表示熟練工降為不熟練工的年變化曲線圖。圖4表示半熟練工培訓人數年變化曲線圖。根據對題意所得數據的分析，我們可以發現年變化曲線圖是和實際比較吻合的。由此所得的模型和實際還是比較相符的。在此方案中，根據題目的條件，得到該方案的總費用為 解得 z=1459400 （二）、對于目標2，因為半日工的收入包括普通全日工人的年薪的1/2和公司的每年的支出費用，所以該公司可用以下函數表示： 顯然，為一不變值的常數，因此目標函數可化簡為 同樣，用lingo解得以下最優解

13、 其中, ， 比較目標1下方案的費用和目標2下方案的費用在目標1中，各個崗位的花費具體如下第一年，解雇不熟練工的花費為90000，超雇不熟練工的花費為225000，培訓不熟練工的花費為80000，培訓半熟練工的花費為175000，聘請熟練半日工的花費為20000，其他的花費為0。第二年，解雇不熟練工的花費為37000，培訓不熟練工的花費為80000，培訓半熟練工的花費為50000，超雇不熟練工的花費為225000，聘請半熟練半日工的花費為400，聘請熟練半日工的花費為20000，其他的花費為0。第三年，解雇不熟練工的花費為47000，培訓不熟練工的花費為80000，培訓半熟練工的花費為8500

14、0，聘請半日熟練工的花費為20000，超雇不熟練工花費225000，其他花費為0。目標1的三年花費一共為1459400。在目標2中，各個崗位的花費具體如下，第一年，培訓不熟練工的花費為80000，培訓半熟練工的花費為100000，解雇不熟練工的花費為120000，其他的花費為0。第二年，培訓不熟練工的花費為80000，培訓半熟練工的花費為50000，解雇不熟練工的花費為40000，招聘半熟練半日工的花費為20000，其他的花費為0。第三年，解雇不熟練工的花費為90000，超雇半熟練工的花費為84000，招聘半熟練半日工的花費為20000，招聘熟練半日工的花費為20000，其他的花費為0。目標2

15、的三年花費一共為704000。第一年，兩方案在不熟練崗位費用的比較 由式子 得到 同理得到： 目標1的費用和目標2的費用相比較，目標2比目標1節省了755400。（以上數字的單位均為元）。六、 模型的檢驗： （一）目標1模型的檢驗對目標1建立的模型的求解，我們得到了與實際符合的結果，設計出了合理的用人方案。下面，對其中的有關參數進行靈敏度分析。1對各個變量系數的分析 變量 變量系數 系數可以增加量 系數可以減少量 f11 1.000000 infinity 0.1000000 f12 1.000000 infinity 1.000000 f13 1.000000 infinity 1.0000

16、00 f21 1.000000 0.1111111 0.1000000 f22 1.000000 infinity 1.000000 f23 1.000000 infinity 1.000000 f31 1.000000 0.1111111 1.000000 f32 1.000000 infinity 1.000000 f33 1.000000 infinity 1.000000 fa21 1.000000 infinity 0.5000000 fa22 1.000000 infinity 1.000000 fa23 1.000000 infinity 1.000000 fa31 1.0000

17、00 infinity 0.5000000 fa32 1.000000 infinity 1.000000 fa33 1.000000 infinity 1.000000 x11 0.0 infinity 0.7500000 a11 0.0 infinity 0.5000000 s11 0.0 0.1000000 infinity du11 0.0 infinity 0.5000000 du12 0.0 infinity 0.5000000 p11 0.0 1.000000 infinity x12 0.0 0.0 0.0 a12 0.0 infinity 0.0 s12 0.0 infini

18、ty 0.1000000 du13 0.0 infinity 0.0 p12 0.0 0.1052632 0.0 x13 0.0 0.0 0.0 a13 0.0 infinity 0.0 s13 0.0 infinity 0.1000000 x21 0.0 infinity 0.7500000 p21 0.0 1.000000 infinity a21 0.0 infinity 0.5000000 s21 0.0 0.1000000 infinity du21 0.0 infinity 0.5000000 du22 0.0 infinity 0.5000000 x22 0.0 0.0 infi

19、nity p22 0.0 0.0 0.0 a22 0.0 infinity 0.0 s22 0.0 infinity 0.1000000 du23 0.0 infinity 0.0 x23 0.0 0.0 infinity a23 0.0 0.0 infinity s23 0.0 infinity 0.1000000 x31 0.0 infinity 0.7500000 p31 0.0 1.000000 infinity a31 0.0 infinity 0.5000000 s31 0.0 1.000000 infinity du31 0.0 infinity 0.5000000 du32 0

20、.0 infinity 0.5000000 x32 0.0 0.0 infinity p32 0.0 0.0 0.0 a32 0.0 infinity 0.0 s32 0.0 infinity 1.000000 du33 0.0 0.0 0.0 x33 0.0 0.0 infinity a33 0.0 0.0 infinity s33 0.0 infinity 1.000000（注：infinity為無窮大） 在上表中，變量列表明了是何變量，變量系數為該變量在目標函數中的系數，系數可以增加量（系數可以減少量）為該變量系數最多增加（減少）該增加量（減少量），否則模型的最優基（模型得到最優解的情況

21、下，各變量的取值）將會發生變化。如當在目標函數中的系數是1，其系數可以增加無窮大，可以減少0.1。即的系數在區間變化的時候，模型的最優基將保持不變。 由上表，得到可變區間很小的變量如下：變量可變區間f210.9,1.1111111f310,1.111111111x120,0p220,0p120,0.1052632du330,0p320,0 f21，f31的系數的可變區間很小，這表明了解雇不熟練工變化對于最優基的變化影響比較大，具有較高的靈敏度。p12,p22,p32的系數可變化區間很小，有的甚至為0，這表明了培訓半熟練工成為熟練工的工作對于最優基的變化的影響很大。由此，該公司在實施計劃的時候，

22、應該做好這兩方面的工作。 2對約束條件右端頂的分析 約束條件 右端頂原值 右端頂可增加值 右端頂可減少值 1 -800.0000 450.0000 infinity 2 -25.00000 590.0000 50.00000 3 50.00000 400.0000 50.00000 4 -400.0000 185.0000 infinity 5 575.0000 165.0000 235.0000 6 550.0000 275.0000 50.00000 7 -450.0000 235.0000 infinity 8 670.0000 252.5000 372.5000 9 575.0000

23、165.0000 745.0000 10 0.0 0.0 infinity 11 0.0 0.0 infinity 12 0.0 0.0 infinity 13 0.0 0.0 infinity 14 0.0 0.0 infinity 15 0.0 50.00000 infinity 16 150.0000 450.0000 150.0000 17 150.0000 185.0000 150.0000 18 150.0000 235.0000 150.0000 19 50.00000 infinity 50.00000 20 50.00000 infinity 50.00000 21 50.0

24、0000 infinity 50.00000 22 500.0000 infinity 500.0000 23 800.0000 infinity 737.5000 24 500.0000 infinity 444.4444 25 50.00000 infinity 50.00000 26 50.00000 infinity 50.00000 27 50.00000 100.0000 50.00000 28 50.00000 infinity 50.00000 29 50.00000 infinity 50.00000 30 50.00000 1490.000 50.00000 31 500.

25、0000 infinity 500.0000 32 800.0000 293.7500 206.2500 33 500.0000 55.55556 305.5556 34 500.0000 infinity 500.0000 35 800.0000 465.6250 315.6250 36 500.0000 827.7778 183.3333 37 200.0000 235.0000 165.0000 38 200.0000 185.0000 200.0000 39 200.0000 235.0000 200.0000 40 625.0000 infinity 372.5000 41 350.

26、0000 infinity 275.0000 42 500.0000 infinity 235.0000 （注：infinity為無窮大） 在上表中，約束條件列表明了是何條約束式子（化為標準形式），右端頂原值為該約束條件的等式右端常數項，右端頂原值可以加量（系數可以減少量）為右端頂原值最多增加（減少）量，否則模型的最優基（模型得到最優解的情況下，各變量的取值）將會發生變化。如在約束條件1中，其右端頂原值為-800，其最大增加值為450，最大減少值為無窮，即約束條件的右端頂原值在區間-，-350中變化，其最優基不發生變化。 （二）目標2模型的檢驗 我們利用目標2的模型求得的費用比起目標1下方案的

27、費用節省了755400元。下面，對起相關的參數進行分析。 1對各個變量系數的分析 變量 原系數 可增加最大值 可減少最大值 p11 400.0000 800.0000 infinity p12 500.0000 300.0000 100.0000 p21 400.0000 1800.000 infinity p22 500.0000 2184.211 500.0000 p31 400.0000 infinity 200.0000 p32 500.0000 infinity 2500.000 f11 200.0000 1480.000 200.0000 f12 500.0000 infinity

28、 500.0000 f13 500.0000 infinity 500.0000 f21 200.0000 0.0 200.0000 f22 500.0000 infinity 1500.000 f23 500.0000 infinity 1000.000 f31 200.0000 200.0000 0.0 f32 500.0000 infinity 2500.000 f33 500.0000 infinity 2000.000 s11 1500.000 infinity 1480.000 s21 1500.000 infinity 1480.000 s31 1500.000 infinity

29、 1300.000 s12 2000.000 infinity 1050.000 s22 2000.000 infinity 1100.000 s32 2000.000 1000.000 1200.000 s13 3000.000 infinity 2525.000 s23 3000.000 infinity 2075.000 s33 3000.000 infinity 4500.000 a11 500.0000 infinity 500.0000 a21 500.0000 infinity 500.0000 a31 500.0000 infinity 600.0000 a12 400.000

30、0 infinity 400.0000 a22 400.0000 100.0000 infinity a32 400.0000 600.0000 infinity a13 400.0000 infinity 250.0000 a23 400.0000 250.0000 150.0000 a33 400.0000 350.0000 infinity x11 0.0 infinity 150.0000 du11 0.0 infinity 100.0000 du12 0.0 infinity 100.0000 x12 0.0 0.0 80.00000 du13 0.0 infinity 0.0 x13 0.0 450.0000 0.0 x21 0.0 infinity 150.0000 fa21 0.0 i