1、淺談高等數學中的數學建模思想 摘要 本文首先提出了在高等數學中數學建模的重要性,然后著重探討了如何在高等數學教學中利用數學建模的思想和方法。關鍵詞 高等數學 數學建模 創新能力數學建模,就是用數學語言去描述或模擬實際問題中的數量關系,一旦數學模型建立起來,實際的問題就轉化成了等價(或基本等價)的數學問題。數學建模活動是一個多次循環、反復驗證的過程,是應用數學的語言和方法解決實際問題的過程,也是一個創造過程和培養創新能力的綜合過程。20世紀六七十年代西方國家的一些大學開始設置數學建模課程,80年代初數學建模課程開始進入我國大學的課堂。1985年美國大學生數學建模競賽開始舉辦,1989年起我國部分

2、高校選派代表隊參加這項競賽。1992年開始由中國工業與應用數學學會(cstam)舉辦我國自己的全國大學生數學建模競賽(cmcm)。1994年改由國家教委高教司和中圍工業與應用數學學會共同舉辦。實踐表明,數學建模是對大學生進行創新教育的有效途徑之一。一、數學建模的過程及步驟為把數學建模的思想和方法滲透到高等數學的教學中去,通常應該在學習高等數學的過程中增加一些關于數學建模的概述,也可以平行地開一門關于數學建模與數學實驗的課程,讓學生熟悉數學建模的全過程。通常在教學和科研中常常使用的是八步建模法,主要包括以下八個步驟:1.問題的提出。提出問題是解決問題的關鍵一步,很多問題沒有得到很好解決,其原因是

3、問題沒有提好。問題的提出是在面對實際的研究對象時,能夠很快弄清楚問題的來龍去脈,抓住問題的本質,確定問題的已知和目標。2.量的分析。數學的一項主要任務就是研究數量之間的關系,數學建模過程就是要搞清楚這些量之間的關系。3.模型假設。模型假設是建立數學模型的前提和已知條件。為了準確把握實際問題的本質屬性,必須將問題理想化、簡單化,抓住問題的本質和主要因素,進行必要的假設。4.模型建立。在前三步的基礎上,根據某種規律,依據模型假設,建立變量和參數間的函數關系。5.模型求解。建模是為了解決實際問題,所以還要對上述建立的數學模型進行數學上的求解,包括計算機技術的應用。6.模型分析。根據建模的目的要求,對

4、模型求得的結果進行數學上的分析,利用相關知識結合研究對象的特點進行模型合理性分析。7.模型檢驗。建模是否正確,還必須進行模型的檢驗。模型檢驗有兩種方法:一是實際檢驗,就是回到客觀實際中對模型進行檢驗;二是邏輯檢驗,這一檢驗法主要是找出矛盾,否定模型。究竟選用哪種檢驗方法,應視具體情況而定。8.模型應用。模型應用是數學建模的宗旨,也是對模型的最客觀、最公正的檢驗。二、培養數學建模思維數學建模中關鍵的思想方法就是通過對現實問題的觀察、歸納和假設,將其轉化為一個數學問題,得到所求的解。但這還只是完成了數學建模的一方面,在實際問題中看能否解釋實際問題,能否與實際經驗或數據相吻合,若吻合數學建模過程就完

5、成了,否則還需要修正假設并重新提出經修正的數學模型。因此數學建模中數學建模思維能力特別重要,如果不能把實際問題用數學語言翻譯出來,那么,整個數學建模就無法進行。如果不能把數學建模的結果用普通人能懂的語言表述出來,那就可能大大地降低它的應用價值。對于現實中的實際問題,如何抓住問題的實質進行一定的抽象、簡化,用數學語言表達出來,是解決問題的首要步驟,這種翻譯能力在高等數學的教學中是有要求的,從而也是學生易于掌握的。但是對于后一種翻譯能力卻要求甚少,因此,對應用數學方法推理或計算得到的結果,不僅要重視解釋、檢驗、討論,更重要的是能用語言表達出來,或能結合實際解釋其意義。三、數學建模思想在教學中的滲透

6、大量的實踐表明,人們一旦掌握了數學建模的思想和方法,將會在處理實際問題中如虎添翼,受益無窮。因此,教師在教學中就更應該注重數學建模思想的滲透以及數學方法的介紹,強調數學知識的應用性。培養學生自覺運用數學建模的思想和方法去解決實際問題的應用意識與能力。在高等數學中,涉及其相關內容的教學有:導數的應用、定積分的應用、重積分的應用、曲線與曲面積分的應用、微分方程的應用等。這些都是不容忽視的,教學中要力求講清建模的思路及求解方法,使學員感受到數學應用有前景有趣味,數學是幫助人們解決實際問題的必不可少的一種工具,從而提高興趣,增強信心,養成自覺地建立數學模型解決實際問題的習慣。四、強調數學概念與實際問題

7、的聯系數學概念一般來源于社會實踐,概念產生后又反過來為社會實踐服務。在介紹概念的含義后,要重視概念與實際結合,突出應用價值。例如,在學習導數的概念時,我們提到導數是一個十分重要的數學模型。它雖然由瞬時速度而導人,但它的意義遠遠超出了力學的范圍,而滲透到科學技術的各個領域。這里可以舉些簡單例子如:速度、加速度、電流強度、線速度、角速度等。然后可以這樣提問:“你能舉出其他的例子嗎?”這時,全班同學紛紛舉手要求發言。“種群的生長率和死亡率”、“放射性物質的衰變率”、“戰爭中物質和戰斗力的損耗率”、“冷卻過程的溫度變化率”同學們想出了許多種不同的例子,顯示出思維非常活躍。這時教師要不失時機地給出總結數

8、學上統稱為函數的變化率,都與導數有不解之緣。這樣學生不僅體會到數學概念的實際意義與應用價值,同時他們也會為導數的巨大魅力而傾倒。五、培養教師的創造性思維和數學建模思想在教學中融合數學建模的思想,改進教學方式。當前高等院校有些基礎理論課程還基本停留在“填鴨式”、“滿堂灌”的教學方式,因此,利用數學建模這個強有力的工具,就可以在實際的教學中增加一些實踐的環節,并且引導學生掌握“發動機”式的學習方法。在大學教育中融合數學建模的思想,要求教師掌握“發動機”式的教學方法,學生掌握“發動機”式的學習方法,逐步培養大學生自主創新學習,讓學習由心而發,擺脫被動學習模式。還可以參加全國大學生數學建模競賽為契機,

9、逐步建立大學創新教育課程體系。比如在數學基礎理論課程中可以增加一些應用型和實踐類的課程,例如“運籌學”、“數學模型”、“數學實驗”以及“計算方法”等等課程;在其余與數學相關的各門課程的教學中,也要盡量使數學理論與應用相結合,增加實際應用方面的內容,從而使教學內容得到更新。創新有著豐富的內涵,包括敢于競爭、敢于冒險的精神,腳踏實地、勤奮求實的務實態度,鍥而不舍、堅定執著的頑強意志,不畏艱難、艱苦創業的心理準備,良好的心態、自控能力、團隊精神與協作意識等多方面的品質。高校人才培養的質量和成果價值最終都取決于教師。具有較高創造性思維修養和創造精神的教師,才能培養出具有質疑精神和思考能力的學生,學生才敢于冒險、敢于探索,才會突破常規,進行創造性的研究性學習。沒有一支創造性的教師隊伍,就不可能培養出具有創新創業品質的學生。實踐表明,數學建模教學可以為高校順利開展大