1、1.3.1 圓的極坐標(biāo)方程 本文在學(xué)習(xí)極坐標(biāo)的基礎(chǔ)上來進(jìn)一步學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單曲線的 極坐標(biāo)方程，具體為教材：P12-P13。先學(xué)習(xí)體會(huì)極坐 標(biāo)方程的定義（任意一點(diǎn)）；不同圓心的圓的極坐標(biāo)方程 的求法和方程的表示；感受課本的遞進(jìn)研究方法。最后鞏 固并復(fù)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中圓的方程的求法。 本節(jié)課的關(guān)鍵在于讓學(xué)生體會(huì)到極坐標(biāo)方程是涉及長(zhǎng) 度與角度的問題，列方程實(shí)質(zhì)是解直角或斜三角形問題， 要使用舊的三角知識(shí)。 1.會(huì)求圓心不同的圓的極坐標(biāo)方程。 2.體會(huì)圓的極坐標(biāo)方程的推出過程。 3.類比直角坐標(biāo)系中求圓心不同的圓的方程，感受 極坐標(biāo)系中求曲線方程的方法。 1.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C和方程f(x,y)

2、=0滿足 (1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解 (2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上 則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C是方程 f(x,y)=0 的曲線。 3.圓的一般式方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 22 (DE4F0) 2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (x-a)2 + (y-b)2 =r2 4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式: 設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是 (x, y)，極坐標(biāo)是 (,) x=cos, y=sin 222 , tan(0) xy y x x 5、正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin （其中：（其中：R為為ABC的外接

3、圓半徑）的外接圓半徑） 222 2cosabcbcA 6.余弦定理： 222 cos 2 bca A bc 如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為C(a,0)(a 0) 你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo) (, )滿足的條件嗎？ x C(a,0) O A 2 , ( , ) cos2 cos .(1) (0,), (2 ,0)(1) 2 OAOAa MOAOMAM Rt AMOOMOAMOAa OAa 圓經(jīng)過極點(diǎn) 。設(shè)圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是 ，那么 設(shè)為圓上除點(diǎn) ， 以外的任意一點(diǎn)，那么。 在中即 可以驗(yàn)證， 點(diǎn)的坐標(biāo)滿足等式 解： 的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。等式 ，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合滿足的條件，另一方面

4、 坐標(biāo)就是圓上任意一點(diǎn)的極所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 的極坐標(biāo)方程。叫做曲線那么方程 上，的點(diǎn)都在曲線并且坐標(biāo)適合方程 一個(gè)滿足方程一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有 上任意，如果平面曲線一般地，在極坐標(biāo)系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圓的極坐標(biāo)方程。為 半徑就是圓心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 極坐標(biāo)方程：極坐標(biāo)方程： 一、定義：一、定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程如果曲線上的點(diǎn)與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系 （）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)）（）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)） 符合方程符合方程f( , )=0; （

5、）方程（）方程f( , )=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。 則稱曲線的方程是則稱曲線的方程是f( , )=0 。 二、求曲線的極坐標(biāo)方程到底是求什么？ 與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找 出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 與與 之間的關(guān)系，然后列出方程之間的關(guān)系，然后列出方程 f( , )=0 ，再化簡(jiǎn)并說明。，再化簡(jiǎn)并說明。 1.1.建極坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)建極坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M M ( ( , , ) )； 2.2.找曲線上任一點(diǎn)滿足的幾何條件；找曲線上任一點(diǎn)滿足的幾何條件； 3.3.把上面的幾何

6、條件轉(zhuǎn)化為把上面的幾何條件轉(zhuǎn)化為 與與 關(guān)系關(guān)系 4.4.化簡(jiǎn)，說明化簡(jiǎn)，說明 三三. .求曲線極坐標(biāo)方程步驟：求曲線極坐標(biāo)方程步驟： 5.5.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以相互轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以相互轉(zhuǎn)化 某些時(shí)候，用極坐標(biāo)方程解決比較方便，這是一個(gè)重要的解題某些時(shí)候，用極坐標(biāo)方程解決比較方便，這是一個(gè)重要的解題 技巧技巧. .在極坐標(biāo)系中，當(dāng)研究的問題用極坐標(biāo)方程難以決時(shí)，在極坐標(biāo)系中，當(dāng)研究的問題用極坐標(biāo)方程難以決時(shí)， 可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解. . 例1、已知圓O的半徑為r，建立怎樣的極坐標(biāo)系， 可以使圓的極坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單？ xO r M 簡(jiǎn)單。上比 式

7、合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重 即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè) 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如 出發(fā)的一條射線為極點(diǎn)，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO Ox M r =r Ox M a =2asin O A M C （a,0） =2acos r 2asin (0) 2acos 例2.求圓心在(0，0)，半徑為r的圓的方程 思路點(diǎn)撥結(jié)合圓的定義求其極坐標(biāo)方程 O x M a O x M a =2asin( ) =-2asin =2acos( ) =-2acos 1.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，為

8、圓心，1為半徑的圓的方程為半徑的圓的方程 是（是（ ） .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1 AB CD C 2.求下列圓的極坐標(biāo)方程求下列圓的極坐標(biāo)方程 ()中心在極點(diǎn)，半徑為中心在極點(diǎn)，半徑為2； ()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a； ()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a； ()中心在中心在( 0, )，半徑為 ，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2 已知一個(gè)圓的方程是5 3cos-5sin 求圓心坐 例3. 標(biāo)和半徑。 2 2222 5 3cos5sin 5 3 cos5 sin 5 35 5 35

9、()()25 22 5 35 (,),5 22 xyxyxy 兩邊同乘以 得 即化為直角坐標(biāo)為 即 所以圓心為 解 半徑是 ： 31 10(cossin)10cos(), 226 (5,),5, 6 解：原式可化為 所以圓心為半徑為 O a aaa 此圓過極點(diǎn) 圓的極坐標(biāo)方程為 半徑為圓心為 )cos(2 )0)(,( 你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？ 已知一個(gè)圓的方程是5 3cos-5sin 求圓心坐 例3. 標(biāo)和半徑。 方程是什么？ 化為直角坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程sin41 4)2( 22 yx 圓的圓心距是多少？ 的兩個(gè)和、極坐標(biāo)方程分別是sincos2 1

10、cos( ,0) 2 sincos()cos() 22 12 sin( ,), 2 22 解：圓 圓心的坐標(biāo)是 圓 圓 的圓心坐標(biāo)是所以圓心距是 3cos() 4 、極坐標(biāo)方程所表示的曲線是( ) A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓 D 為半徑的圓。為圓心，以 解：該方程可以化為 2 1 ) 4 , 2 1 ( ) 4 cos( 法一：法一： 4 1 ) 4 2 () 4 2 ( 0 2 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 4 sinsin 4 coscos 22 22 2 yx yxyx 即 解： 法二：法二： 410cos() 3 、圓 的圓心坐標(biāo)是

11、( ) )0 , 5( 、A) 3 , 5( 、B ) 3 , 5( 、C) 3 2 , 5( 、D C 5(2,) 2 A 、寫出圓心在點(diǎn)處且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程， 并把它化成直角坐標(biāo)方程。 2 2222 4cos()4sin , 2 4 sin , 4(2)4.xyyxy 解： 化為直角坐標(biāo)系為 即 2 12 6:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓 試判斷兩圓的位置關(guān)系。 所以兩圓相外切。 半徑為，圓心 半徑為圓心 坐標(biāo)方程為解：將兩圓都化為直角 2 1)3, 0(1)3(: 1)0 , 1 (, 1) 1( : 21 2 22 2 1 22 1 OO OyxC OyxC 78cosOCONON、從極點(diǎn) 作圓 ： 的弦，求的 中點(diǎn)的軌跡方程。 O N M C(4, 0) (4,0), 4, , 4cos . C rOC CM MONCMON M 如圖，圓 的圓心 半徑