1、傅新楚，朱杰傅新楚，朱杰 （上海大學理學院，上海（上海大學理學院，上海 200444） 2010第六屆全國復雜網絡學術會議第六屆全國復雜網絡學術會議 ，蘇州大學，蘇州大學，2010年年10月月15-18日日 摘摘 要要 本文首先從無標度網絡構造方式的區別開始，討論了本文首先從無標度網絡構造方式的區別開始，討論了 網絡在不同結構下的同步性和魯棒性；隨后，討論了網絡在不同結構下的同步性和魯棒性；隨后，討論了 傳染病在無標度網絡上的傳染病閾值，以及在各種不傳染病在無標度網絡上的傳染病閾值，以及在各種不 同免疫的條件下閾值的變化情況，并描述了在網絡同同免疫的條件下閾值的變化情況，并描述了在網絡同 步的

2、情況下傳染病的傳播動力學性態。該文還步的情況下傳染病的傳播動力學性態。該文還重點解重點解 決決了了Physical Review E, 77 (2008) 036113一文中的一文中的 兩個遺留數學問題，嚴格證明了不同免疫條件下閾值兩個遺留數學問題，嚴格證明了不同免疫條件下閾值 比較的兩個不等式。比較的兩個不等式。 關鍵詞：關鍵詞：無標度網絡，網絡同步，傳染病閾值，免疫控制，同步傳播無標度網絡，網絡同步，傳染病閾值，免疫控制，同步傳播 Xinchu Fu, Jie Zhu （College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, C

3、hina） ABSTRACT: This paper discusses the different constructions of scale-free networks, then considers synchronization and robustness for networks with different topology structures. It then estimates epidemic thresholds for disease spreading on scale-free networks, and their variance under differe

4、nt immunization strategies. Finally, the interaction between spreading behavior of diseases and network synchronization is studied. And it also focus on solving two mathematical problems left behind in Physical Review E, 77 (2008) 036113 by proving the related two inequalities for the comparison of

5、epidemic thresholds. Key words: Scale-free networks; network synchronization; epidemic thresholds; immunization; spreading. 網絡分類網絡分類 v規則網絡規則網絡: 規則網絡具有很強規則性，例如全連接網絡，規則網絡具有很強規則性，例如全連接網絡， 環形，鏈形，星形網絡以及格點和分形圖等環形，鏈形，星形網絡以及格點和分形圖等 v隨機網絡隨機網絡:隨機網絡是指按照某種明確的統計規律生成隨機網絡是指按照某種明確的統計規律生成 的網絡，與規則網絡相對應，主要是經典的隨機圖模型的網絡

6、，與規則網絡相對應，主要是經典的隨機圖模型 及其派生出來的相關模型及其派生出來的相關模型 v小世界網絡小世界網絡: 主要有主要有WS改邊小世界網絡和改邊小世界網絡和NW加邊小世加邊小世 界網絡界網絡 v無標度網絡無標度網絡：BA無標度網絡是第一個無標度網絡。我無標度網絡是第一個無標度網絡。我 們將主要討論此類網絡上的同步與傳播問題們將主要討論此類網絡上的同步與傳播問題 v可導航網絡可導航網絡 網絡同步與傳播動力學網絡同步與傳播動力學 復雜網絡動力學的特點：復雜網絡動力學的特點： v網絡規模大，結構復雜網絡規模大，結構復雜; v節點之間的連接方式多樣，如，方向可以不節點之間的連接方式多樣，如，方

7、向可以不 同，權重也可以不同同，權重也可以不同; v網絡具有時空復雜性，節點之間的復雜相互網絡具有時空復雜性，節點之間的復雜相互 作用可導致同步、復雜的傳播行為等作用可導致同步、復雜的傳播行為等; v復雜網絡科學有著廣闊的應用前景。復雜網絡科學有著廣闊的應用前景。 兩種同步網絡的構造兩種同步網絡的構造 v同步最優網絡：同步最優網絡： 新加入節點的連接方式與網絡中節點的度新加入節點的連接方式與網絡中節點的度 有關，需要注意的是，在同步最優網絡生成的過程中，只是有關，需要注意的是，在同步最優網絡生成的過程中，只是 在每條新邊加入時網絡的同步化性能達到最優，并不能保證在每條新邊加入時網絡的同步化性能

8、達到最優，并不能保證 最終得到的整個網絡的同步特性達到全局最優。這種同步最最終得到的整個網絡的同步特性達到全局最優。這種同步最 優網絡有極少量的節點與大量節點相連接，而其余大部分節優網絡有極少量的節點與大量節點相連接，而其余大部分節 點的連接度數則很低。因此該網絡同步化性能比無標度網絡點的連接度數則很低。因此該網絡同步化性能比無標度網絡 強，但在惡意攻擊下容易被破壞。強，但在惡意攻擊下容易被破壞。 v同步優先網絡：新節點連接概率與得到的網絡的同步化性能同步優先網絡：新節點連接概率與得到的網絡的同步化性能 成正比，它的連接度分布既不服從冪律分布又不服從指數分成正比，它的連接度分布既不服從冪律分布

9、又不服從指數分 布，具有很強的魯棒性。布，具有很強的魯棒性。 v理論分析理論分析 傳播動力學傳播動力學 v在在SIS傳染病模型中存在一個傳染病閾值傳染病模型中存在一個傳染病閾值 ,當傳染當傳染 率大于該值時，感染個體能夠將病毒傳播擴散并使得率大于該值時，感染個體能夠將病毒傳播擴散并使得 整個網絡感染個體總數最終穩定于某一平穩狀態，此整個網絡感染個體總數最終穩定于某一平穩狀態，此 時稱網絡處于激活相態時稱網絡處于激活相態 ；如果有效傳播率低于此臨；如果有效傳播率低于此臨 界值，則感染個體數呈指數衰減，無法大范圍傳播，界值，則感染個體數呈指數衰減，無法大范圍傳播， 網絡此時處于吸收相態。網絡此時處

10、于吸收相態。 v傳染病閾值的大小決定了傳染病在網絡中傳播的結果，傳染病閾值的大小決定了傳染病在網絡中傳播的結果， 是傳播動力學中的一個重要的參數。是傳播動力學中的一個重要的參數。 v不同的網絡特性以及免疫方式對傳染病閾值的影響也不同的網絡特性以及免疫方式對傳染病閾值的影響也 不同。不同。 c 非零閾值的存在性非零閾值的存在性 v具有分片線性傳染力的網絡存在正的閾值。具有分片線性傳染力的網絡存在正的閾值。 可以假設傳染力函數為：可以假設傳染力函數為： v免疫前的閾值為：免疫前的閾值為： ( )min(,)kk A 1 1 m cA A m kdk kdkAkdk 隨機免疫隨機免疫 v若在網絡中對

11、節點隨機進行概率為若在網絡中對節點隨機進行概率為 的免疫，則閾值的免疫，則閾值 變為：變為： 可以看出免疫是有效的，但是，免疫具有隨機性，并沒有考可以看出免疫是有效的，但是，免疫具有隨機性，并沒有考 慮到復雜網絡中節點的度對網絡傳播的影響，而且當傳染病慮到復雜網絡中節點的度對網絡傳播的影響，而且當傳染病 閾值趨于足夠大時，免疫率也要趨近于閾值趨于足夠大時，免疫率也要趨近于1，理論上要對所有，理論上要對所有 節點免疫才能夠消除傳染病，效率偏低。節點免疫才能夠消除傳染病，效率偏低。 (0,1) ( ) 11 1( ) ( )1 k cc k kP k kk P k 目標免疫目標免疫 v在目標免疫中

12、，定義一個整數在目標免疫中，定義一個整數 ，當節點的度大于它時，當節點的度大于它時 進行免疫，度小于它時，不進行免疫，等于它時，以一定進行免疫，度小于它時，不進行免疫，等于它時，以一定 的概率進行免疫。的概率進行免疫。 v在計算過程中，在計算過程中， 的正負性用于描述的正負性用于描述 目標免疫相對與隨機免疫的有效性，經過分析和數值模擬，目標免疫相對與隨機免疫的有效性，經過分析和數值模擬， 可以得到，它可以得到，它總大于零總大于零，那就說明了當免疫率相等時，目，那就說明了當免疫率相等時，目 標免疫比隨機免疫更有效標免疫比隨機免疫更有效。 v目標免疫的流行病閾值：目標免疫的流行病閾值： cov(,

13、() k kk (1)( ) c k kk 1 c 熟人免疫熟人免疫 v該方法不需要知道整個網絡的度分布，比較實用。該方法不需要知道整個網絡的度分布，比較實用。 v該免疫的傳染病閾值為該免疫的傳染病閾值為 為關于為關于 的函數，經過計算，對于較小的的函數，經過計算，對于較小的 ，熟人免疫，熟人免疫 的有效性不如目標免疫，但是，當的有效性不如目標免疫，但是，當 大于一個常數時，大于一個常數時， 熟人免疫的有效性超過了目標免疫，并且當熟人免疫的有效性超過了目標免疫，并且當 時，時， 有：有： 具體的分析過程見下頁。具體的分析過程見下頁。 (1)() ()() cc c kk p kkkk Ck 2

14、 ln1 1 ln1() 26 A m AmA mm 主動免疫（略）主動免疫（略） 當當 時，目標免疫更有效，時，目標免疫更有效， 下面討論下面討論 與與 之間的關系：之間的關系： ( )( )0 kk kkk 11 1 11 1111 1 1111 ( )( ) ()( ) 1 1 ()() ) 11 4 () (1)(1) kk kkk ACC kk CC AAAA Cm CA Cm A 從而當從而當時，時，。 0 與與 的的分分析析： A 1 121 2 1 22 ( )( ) (ln1)(ln1) 2 () 2(ln1)ln1 2 kk kkk CAA CC m AA CC m 當當

15、： 無法直接判斷無法直接判斷的符號。在上式中對的符號。在上式中對求偏導：求偏導： 時，時， 1 212 ()(ln1)0 A CC m A 0 因此，當因此，當時，也有時，也有 。 ( ,)m 0 綜上所述：對于任意的綜上所述：對于任意的，總有，總有 所以，在平均免疫率相等的情況下，目標免疫比隨機免疫更有效。所以，在平均免疫率相等的情況下，目標免疫比隨機免疫更有效。 2 ln (1)( ) 0 1 ( )( )ln1() 26 kk m pAm A kkkk C kmm 2 lnln 1 11 ln1()ln1 262 AA mm Am AA mmmm 當當 A 時：時： A 當當 時：時：

16、1 2 ln1 (1)( ) 0 1 ( )( )ln1() 26 AA kk m pAm A kkkk C kmm 2 ln1ln1 11 ln1()ln1 262 AA mm Am AA mmmm 無法直接確定無法直接確定 的范圍，的范圍， 1 但是，可以確定但是，可以確定 與與成正比，因此令成正比，因此令 1 2 ln1 1 1 ln1() 26 AA m Am A mm 解得解得 1131 0 1 ()() 26 Am A m 0 ( ,)m1 0 (,) 1 0 1 綜上所述：當綜上所述：當時，時，； 時，時， 當當 時，時， 。 當當 ； 網絡同步能力對傳播動力學的影響網絡同步能力

17、對傳播動力學的影響 v傳染病在網絡中同步傳播的能力與網絡中個體交流的密切程傳染病在網絡中同步傳播的能力與網絡中個體交流的密切程 度有著很大的關系，當交流頻繁時，傳染病就容易在網絡中度有著很大的關系，當交流頻繁時，傳染病就容易在網絡中 同步傳播。同步傳播。 v網絡上傳染病同步流行的控制變為對網絡中耦合強度的控制，網絡上傳染病同步流行的控制變為對網絡中耦合強度的控制， 當出現傳染病時，若網絡中的耦合強度足夠大，傳染病就容當出現傳染病時，若網絡中的耦合強度足夠大，傳染病就容 易在網絡中同步傳播；降低網絡耦合強度，就能夠有效地降易在網絡中同步傳播；降低網絡耦合強度，就能夠有效地降 低網絡同步能力（不管

18、是類型低網絡同步能力（不管是類型I還是類型還是類型II網絡）網絡）,從而有效抑從而有效抑 制傳染病的傳播。制傳染病的傳播。 v根據實際傳播網絡的自適應性建立起不同類型的傳播同步模根據實際傳播網絡的自適應性建立起不同類型的傳播同步模 型，即可研究網絡傳播率與同步穩定性之間的關系，數值分型，即可研究網絡傳播率與同步穩定性之間的關系，數值分 析結果進一步表明，如果傳播網絡越容易爆發，那么傳播同析結果進一步表明，如果傳播網絡越容易爆發，那么傳播同 步就越容易出現。步就越容易出現。 該項研究將揭示網絡拓撲結構、網絡同該項研究將揭示網絡拓撲結構、網絡同 步動力學和網絡傳播動力學這三者之間相互依賴關系步動力

19、學和網絡傳播動力學這三者之間相互依賴關系 (Ongoing research.)。 主要結果：主要結果： 圖圖 示：示： 參考文獻參考文獻 Watts D J. Annual Review of Socialogy,2004 30: 243-270. 方錦清，汪小帆等，一門嶄新的交叉科學方錦清，汪小帆等，一門嶄新的交叉科學-網絡科學上篇，網絡科學上篇，2007，246-247. 陳關榮，復雜網絡及其新近研究進展簡介，力學進展陳關榮，復雜網絡及其新近研究進展簡介，力學進展, Vol.38, No.6 2008, 653-662. Bollobsi B. Random Graphs. New Yo

20、rk: Academic Press, 2001. Barabasi A L, Ravasz E, Vicsek T. Physica A, 2001, 299: 559-564 .Zhang Z. Z., Comellas F., Fertin G, et al. J. Phys. A: Math. and Gen., 2006, 39 (8): 1811- 1818. Boccaletti S, Latora V, Moreno Y, et al. Physics Reports, 2006, 424: 175-308. Gong B, Yang L, Yang K. Phys. Rev. E, 2005, 72: 037101. 陳關榮，汪小帆等，復雜網絡：理論及其應用，清華大學出版社，陳關榮，汪小帆等，復雜網絡：理論及其應用，清華大學出版社，2006. Li X，Chen G. Physica A，2003，328: 274-286. 方錦清，汪小帆等，一門嶄新的交叉科學方錦清，汪小帆等，一門嶄新的交叉科學-網絡科學上篇網絡科學上篇,200