1、羅爾定理羅爾定理 柯西中值定理柯西中值定理 微分中值定理 微分中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 泰勒中值定理泰勒中值定理 羅爾羅爾（Rolle）定理定理 O x y )(xfy a b AB 實際上實際上, C點處的切線與弦點處的切線與弦 AB 平行平行. 幾何解釋幾何解釋: : 把上圖做一旋轉，得到下圖：把上圖做一旋轉，得到下圖： C O x y )(xfy a b A B C點處的切線與弦線點處的切線與弦線 AB 平行平行. C ab afbf f )()( )( 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 ).()

2、(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意 ).( )()( f ab afbf 結結論論亦亦可可寫寫成成 弦弦AB斜率斜率 切線斜率切線斜率 此條件太苛刻此條件太苛刻 )()()(abfafbf , I . I , 有則若 21, 0)(xxxxf , 0)()()( 2121 xxfxfxf . )()( 21 xfxf 推論 1 . I , , I , xCxfxxf)(0)(則若 證證 )()() )()()(xgxfxgxfxF , I )()( xxgxf若 , I , 0) )()()( xxgxfxF則 . I , )()()(xCxgxfxF

3、)()()(abfafbf 推論 2 . I )()( , I )()( xCxgxfxxgxf則若 ( C 為常數 ) 證證 拉格朗日中值定理 函數單調性的判定法 拉格朗日中值定理 函數單調性的判定法 引入新課引入新課 新課講授新課講授 小結與作業小結與作業 導數的幾何意義： y=f(x) 0 x y 0 x tan)( 0 切 kxf 引 入 新 課 例題例題 。的切線平行于直線，使過點上求一點 在，、，上點已知曲線 ABPP ABeBAxy),1()01 (ln 引例. 解： A BP 0 x y 1e 1 xx yy K AB AB AB 0 |00 1 )( 0 x yKyxP xx

4、 切 則、設 AB KK 切 又 1e 1 x 1 0 )1eln(y 0 ) 1eln(1eP、點 1ex0 注：這個例題反映了一個一般事實，可以寫成下面的定理。 返回返回 (A) 一.拉格朗日中值定理 推論：如果y=(x)在區間（a、b)內有f(x)0 則在此區間內f(x)c(常數）。 定理：如果函數y=(x)滿足， 10.在（a、b)上連續 20.在（a、b)內可導，則至少存在一點 使等式f(b)-f(a)=f()(b-a)成立。 )ba ( 、 注：這個推論是常數的導數是零的逆定理。 例題與練習例題與練習 新 課 講 授 (B)練習1：下列函數中在區間-1、1上滿足拉格朗日中值 定理條

5、件的是_ (A)例1.求函數f(x)=x2+2x在區間0、1內滿足拉 格朗日中值定理的值。 解： 22| )22()( x xf f(1)-f(0)=33 01 )0(f) 1 (f )( f 2+2=3 2 1 1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x| 3 x)x(f )34)f(x)=arctanx 下一頁下一頁 二.函數單調性的判定法 0 x y 0 x y a b A B ab A B 幾何特征： 定理：設函數y=f(x)在a、b上連續,在（a、b)內可導. 1）若在(a、b)內f(x)0，則y=f(x)在a、b上單調增加。 2）若在(a、b)內f(x)0f (x)0 證明

6、在(a、b)內任取兩點x1,x2且x10,則f()0 又x2-x10 f(x2)f(x1) y=f(x)在a、b上單調增加 同理可證：若f(x)0(或 f (x)0 x(-,+)y單調增加 0 x y (A) 例2.判斷下列函數的單調性 x 1 x)x(f ) 1 ( 3 2 x)x( f )2( 下一頁下一頁 解： 的單調區間。 確定函數例31292)(.3)( 23 xxxxfB 解： 1） 定義域為(-、+) 2) f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 3)列表： 令 f(x)=0 得x1=1 x2=2 4）由表可知：函數的單調增區間為（-、12、+） 單調減區間為（1

7、、2）。 x y y (-、1) + 1 0 （1、2） -+ (2、+)2 0 (B)練習2：確定函數y=2x3+3x2-12x+1的單調區間。 下一頁下一頁 (C)例4： 的單調區間求函數 x1 x )x(f 2 解： 1）定義域為(-、-1)（-1、+). 2 )x1 ( )2x(x )x( f2 ） 020)( 21 xxxf、得令 3)列表: (-、-2) + -2 0 （-1、0） - 0 0+ (0、+) 4） 由表可知函數的單調增區間為(-、-2)(0、+) 單調減區間為（-2、-1）（-1、0）。 x y y （-2、-1） - 返回返回 三.小結與作業 1.拉格朗日中值定理

8、及推論。 2.函數單調性的判定方法與步驟。 3.作業： P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6) 小 結 與 作 業 返回返回 拉格朗日中值定理 函數單調性的判定法 引入新課引入新課 新課講授新課講授 小結與作業小結與作業 拉格朗日中值定理 函數單調性的判定法 拉格朗日中值定理 幾何直觀 b 1 2 xo y )(xfy A B C D a 教材分析教材分析教法分析教法分析 教學目標教學目標 教學過程教學過程評價反思評價反思 一一. 教材分析教材分析 一一. 教材分析教材分析 微積分學是人類思維的偉大成果之一，是人類經歷了微積分學是人類思維的偉大成果之一，是人類

9、經歷了 25002500多年震撼人心的智力奮斗的結果，它開創了向近代數學多年震撼人心的智力奮斗的結果，它開創了向近代數學 過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法。過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法。微分微分 中值定理是微分學理論的重要組成部分，在導數應用中起著中值定理是微分學理論的重要組成部分，在導數應用中起著 橋梁作用，也是研究函數變化形態的紐帶，在微分學中占有橋梁作用，也是研究函數變化形態的紐帶，在微分學中占有 很重要的地位很重要的地位. 拉格朗日中值定理，建立了函數值與導數值之間的定量拉格朗日中值定理，建立了函數值與導數值之間的定量 聯系，因而可用中值定理通過導數去研

10、究函數的性態，如單聯系，因而可用中值定理通過導數去研究函數的性態，如單 調性、變化快慢和極值等性態，這是本章的關鍵內容。調性、變化快慢和極值等性態，這是本章的關鍵內容。 一一. 教材分析教材分析 教學重點：教學重點：探求和理解拉格朗日中值定理。探求和理解拉格朗日中值定理。 教學難點：教學難點：探求拉格朗日中值定理的條件；探求拉格朗日中值定理的條件； 運用定理研究函數單調性。運用定理研究函數單調性。 一一. . 教材分析教材分析 拉格朗日中值定理和函數的單調性可安排拉格朗日中值定理和函數的單調性可安排 兩課時。本節作為第一課時，重在探求拉格朗兩課時。本節作為第一課時，重在探求拉格朗 日中值定理，

11、理解拉格朗日中值定理的幾何意日中值定理，理解拉格朗日中值定理的幾何意 義和定理的條件，體會該定理在研究函數性態義和定理的條件，體會該定理在研究函數性態 應用中的作用。應用中的作用。 二二. 教法分析教法分析 二二. 教法分析教法分析 （一）（一）學情分析學情分析 學生已經學習了導數的概念和導數的運算，對微分的定學生已經學習了導數的概念和導數的運算，對微分的定 義及運算有了直觀的認識和理解。通過體會導數的思想和實義及運算有了直觀的認識和理解。通過體會導數的思想和實 際背景，已經具備一定的微分思想，但是發現函數與其導數際背景，已經具備一定的微分思想，但是發現函數與其導數 是兩個不同的概念；而導數只

12、是反映函數在一點的局部特征；是兩個不同的概念；而導數只是反映函數在一點的局部特征； 而函數反映在其定義域上的整體性態，如何建立兩者之間的而函數反映在其定義域上的整體性態，如何建立兩者之間的 聯系呢？多數同學對此有相當的興趣和積極性。學生在學習聯系呢？多數同學對此有相當的興趣和積極性。學生在學習 時可能會遇到以下困難，發現連接曲線兩端點的直線段有時時可能會遇到以下困難，發現連接曲線兩端點的直線段有時 與曲線上某點的切線是平行的，但是又不知是否對所有曲線與曲線上某點的切線是平行的，但是又不知是否對所有曲線 都滿足都滿足? 二二. 教法分析教法分析 （二）教學方法（二）教學方法 1、多媒體輔助教學、

13、多媒體輔助教學 借助多媒體教學手段引導學生發現存在某點借助多媒體教學手段引導學生發現存在某點 的切線與連接兩端點的線段是平行的，使問題變的切線與連接兩端點的線段是平行的，使問題變 得直觀，易于突破難點；利用多媒體向學生展示得直觀，易于突破難點；利用多媒體向學生展示 這一過程，體會逼近的思想方法。這一過程，體會逼近的思想方法。 2、探究發現法教學、探究發現法教學 讓學生通過動手操作課件，經歷讓學生通過動手操作課件，經歷“實驗、探實驗、探 索、論證、應用索、論證、應用”的過程，體驗從特殊到一般的的過程，體驗從特殊到一般的 認識規律，通過學生認識規律，通過學生“動手、動腦、討論、演練動手、動腦、討論

14、、演練” 增加學生的參與機會，增強參與意識，教給學生增加學生的參與機會，增強參與意識，教給學生 獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學生真正獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學生真正 成為教學主體。成為教學主體。 二二. 教法分析教法分析 （三）學法分析（三）學法分析 自主、合作、探究自主、合作、探究 借助多媒體技術創設豐富的教學情境，激發學生的學習動機，培養學習借助多媒體技術創設豐富的教學情境，激發學生的學習動機，培養學習 興趣，充分調動學生的學習積極性，倡導學生采用自主、合作、探究的興趣，充分調動學生的學習積極性，倡導學生采用自主、合作、探究的 方式學習。引導學生動手操作課件，指導學生討論交

15、流從而發現規律，方式學習。引導學生動手操作課件，指導學生討論交流從而發現規律， 培養學生探究問題的習慣和意識以及勇于探索、勤于思考的精神，提高培養學生探究問題的習慣和意識以及勇于探索、勤于思考的精神，提高 學生合作學習和數學交流的能力。學生合作學習和數學交流的能力。 二二. 教法分析教法分析 （四）具體措施（四）具體措施 根據以上的分析，本節課采用教師引導與學生根據以上的分析，本節課采用教師引導與學生 自主探究相結合，交流與練習相穿插的活動課自主探究相結合，交流與練習相穿插的活動課 形式，以學生為主體，教師創設和諧、愉快的形式，以學生為主體，教師創設和諧、愉快的 環境及輔以適當的引導。同時，利

16、用多媒體形環境及輔以適當的引導。同時，利用多媒體形 象動態的演示功能提高教學的直觀性和趣味性，象動態的演示功能提高教學的直觀性和趣味性， 以提高課堂效率。教學中注重數形結合，從形以提高課堂效率。教學中注重數形結合，從形 的角度對概念理解和運用。在這個過程中培養的角度對概念理解和運用。在這個過程中培養 學生分析解決問題的能力，培養學生討論交流學生分析解決問題的能力，培養學生討論交流 的合作意識。的合作意識。 三三. 教學目標教學目標 通過實驗探求拉格朗日中值定理條件，通過實驗探求拉格朗日中值定理條件， 理解拉格朗日中值定理在研究函數性態理解拉格朗日中值定理在研究函數性態 中的作用，培養學生分析、

17、抽象、概括中的作用，培養學生分析、抽象、概括 等思維能力。等思維能力。 掌握知識與技能掌握知識與技能 三三. 教學目標教學目標 體會過程與方法體會過程與方法 在尋找存在某直線與連接曲線兩端點的線段平行的過在尋找存在某直線與連接曲線兩端點的線段平行的過 程中，使學生通過認識用導數來研究函數形態，發現程中，使學生通過認識用導數來研究函數形態，發現 數學的美，數學知識的融會貫通；數學的美，數學知識的融會貫通； 通過數形結合的思想的具體運用來探討定理的條件，通過數形結合的思想的具體運用來探討定理的條件， 使學生思維達到嚴謹，了解科學的思維方法。使學生思維達到嚴謹，了解科學的思維方法。 三三. 教學目標

18、教學目標 培養情感態度與價值觀培養情感態度與價值觀 在拉格朗日中值定理的探討過程中，滲透逼近和數形結在拉格朗日中值定理的探討過程中，滲透逼近和數形結 合的思想，使學生了解近似與精確間的辨證關系，激發合的思想，使學生了解近似與精確間的辨證關系，激發 學生勇于探索、勤于思考的精神；學生勇于探索、勤于思考的精神； 通過討論、交流、合作、實驗操作等活動激發學生學習通過討論、交流、合作、實驗操作等活動激發學生學習 數學的興趣；培養學生合作學習和數學交流的能力。數學的興趣；培養學生合作學習和數學交流的能力。 四四. . 教學過程教學過程 （一）教學流程圖 類似類似“卡通形象卡通形象” 的教學流程圖以的教學

19、流程圖以 “模塊模塊”為基本單為基本單 元，元，從新課引入從新課引入到到 概念建構概念建構，從，從技能技能 演練演練到到小結作業小結作業。 層層展開，逐層突層層展開，逐層突 破。破。 情景情景 引入引入 復習復習 引入引入 幾何幾何 意義意義 具體具體 應用應用 小結小結 概念概念 建構建構 作業作業 演演 練練 教學程序及設計意圖 （一）創設情景（一）創設情景 引入新課引入新課 提出問題：提出問題： 1 1、將、將連接曲線兩端點的線連接曲線兩端點的線 段平行的移動是否發現有某段平行的移動是否發現有某 點處的切線與其平行？點處的切線與其平行？ 提出問題，由學生發現函數提出問題，由學生發現函數

20、與導數之間的聯系，那么如與導數之間的聯系，那么如 何在兩者之間架起橋梁呢？何在兩者之間架起橋梁呢？ 讓學生感受到進一步探究學讓學生感受到進一步探究學 習的重要性。習的重要性。 教學過程教學過程設計意圖設計意圖 2 2、可從特殊來引導一般，可從特殊來引導一般， 假如曲線兩端點的函數值相假如曲線兩端點的函數值相 等，將會有什么結果？等，將會有什么結果？ 設問引起學生的好奇心，激發學設問引起學生的好奇心，激發學 生的求知欲，教學中讓學生就此生的求知欲，教學中讓學生就此 探究進行思考展開討論。探究進行思考展開討論。 利用認知遷移規律，從學生的利用認知遷移規律，從學生的 “最近發展區最近發展區”出發，引

21、導學生出發，引導學生 利用已有的知識嘗試解決問題，利用已有的知識嘗試解決問題， 在學生已有的認知結構基礎上進在學生已有的認知結構基礎上進 行新概念的建構。行新概念的建構。 教學過程教學過程設計意圖設計意圖 （二）動手操作（二）動手操作 探索求知探索求知 1 1、課件操作：、課件操作： 學生動手拖動點，觀察過曲學生動手拖動點，觀察過曲 線端點的直線是否能成為某線端點的直線是否能成為某 點處的切線，引導給出特殊點處的切線，引導給出特殊 情況下定理的內容。情況下定理的內容。 2 2、學生自主合作學習：、學生自主合作學習： 學生分組討論交流，計算過學生分組討論交流，計算過 曲線兩端點的直線的斜率和曲線

22、兩端點的直線的斜率和 函數的導函數，自主合作探函數的導函數，自主合作探 求直線的斜率和某點處導數求直線的斜率和某點處導數 的關系，教師在自主合作之的關系，教師在自主合作之 后看學生得出的結論。后看學生得出的結論。 通過逼近方法，知道在曲線上存在通過逼近方法，知道在曲線上存在 某點處的切線平行與過曲線端點的某點處的切線平行與過曲線端點的 直線適用于處處有不垂直于直線適用于處處有不垂直于x x軸的切軸的切 線的曲線，這一定理將函數與其導線的曲線，這一定理將函數與其導 數建立起聯系。數建立起聯系。 借助多媒體教學手段引導學生發現借助多媒體教學手段引導學生發現 定理的幾何意義，使問題變得直觀，定理的幾

23、何意義，使問題變得直觀， 易于突破難點；學生在過程中，可易于突破難點；學生在過程中，可 以體會逼近的思想方法。最后的證以體會逼近的思想方法。最后的證 明環節，能夠同時從數與形兩個角明環節，能夠同時從數與形兩個角 度強化學生對拉格朗日中值定理的度強化學生對拉格朗日中值定理的 理解。理解。 教學過程教學過程設計意圖設計意圖 （三）靈活運用（三）靈活運用 透析內涵透析內涵 求函數求函數 在在0,20,2上滿足拉上滿足拉 格朗日中值定理條件的格朗日中值定理條件的 ？ 解：解： ， 由拉格朗日中值定理得：由拉格朗日中值定理得： 這是學生思維上升的這是學生思維上升的 又一個層次，設計該又一個層次，設計該

24、題目的在于加深學生題目的在于加深學生 對導數刻畫函數單調對導數刻畫函數單調 性的理解，通過它及性的理解，通過它及 時發現學生的問題，時發現學生的問題， 及時糾正，能對學生及時糾正，能對學生 情況給予及時評價。情況給予及時評價。 教學過程教學過程設計意圖設計意圖 2 ( )f xx ( )2fxx 22 202 (20) 1. （四）鞏固知識，提升思維（四）鞏固知識，提升思維 已知導函數已知導函數 的下列信息：的下列信息： 設函數設函數 在在 上連續，上連續， 在在 內可導，則有：內可導，則有： （1 1）如果在）如果在 內內 ， 則則 在在 上單調增加；上單調增加； （2 2）如果在）如果在

25、內內 ， 則則 在在 上單調減少；上單調減少； 設計這個問題的目的有設計這個問題的目的有 三個：三個： 第一，讓學生描述在一第一，讓學生描述在一 點附近曲線的變化情況，點附近曲線的變化情況， 體會以直代曲的思想方體會以直代曲的思想方 法；法； 第二，讓學生深刻理解第二，讓學生深刻理解 拉格朗日中值定理架起拉格朗日中值定理架起 函數和導數之間的橋梁；函數和導數之間的橋梁； 第三，讓學生觀察、探第三，讓學生觀察、探 討函數的單調性與其導討函數的單調性與其導 函數正負的關系。函數正負的關系。 教學過程教學過程設計意圖設計意圖 ( )fx 0)( x f ),(ba )(xf ,ba )(xf,ba

26、0)( x f ， )(xf ),(ba ,ba ),(ba （五）自主小結（五）自主小結 整體把握整體把握 （六）布置作業（六）布置作業 拓展提高拓展提高 (1)(1)閱讀作業：收集有關微積分創立的時代背景閱讀作業：收集有關微積分創立的時代背景 和有關人物的資料和有關人物的資料 (2)(2)書面作業：書面作業：1 1 2. (3)(3)拓展作業：拓展作業：3.3. 啟發學生自主小結，知識性內啟發學生自主小結，知識性內 容的小結，可把課堂所學知識容的小結，可把課堂所學知識 盡快化為學生的素質；數學思盡快化為學生的素質；數學思 想方法的小結，可使學生更清想方法的小結，可使學生更清 晰地梳理數學思

27、想方法，并且晰地梳理數學思想方法，并且 逐漸養成科學的思維習慣。逐漸養成科學的思維習慣。 針對學生素質的差異進行分層針對學生素質的差異進行分層 訓練，既注重訓練，既注重“雙基雙基”，又兼，又兼 顧提高，為學生指明課后繼續顧提高，為學生指明課后繼續 學習的方向，同時為以后的學學習的方向，同時為以后的學 習留下懸念，激發學生探索的習留下懸念，激發學生探索的 興趣。興趣。 教學過程教學過程 設計意圖設計意圖 1、知識技能小結、知識技能小結 2、思想方法小結、思想方法小結 小結提高小結提高 拉格朗日拉格朗日 中值定理中值定理 直觀直觀 理解理解 內涵內涵 理解理解 知識知識 運用運用 核心概念核心概念

28、 數學數學 思想思想 知識技能知識技能思想方法思想方法 五五. . 評價與反思評價與反思 1、 板書設計：板書設計： 課題 概念 理解 運用 例題 小結 投影屏幕 五五. . 說明和反思說明和反思 2 2、時間安排：、時間安排： 新課引入約新課引入約10分鐘，分鐘， 探索求知探索求知約約1010分鐘，分鐘， 靈活運用約靈活運用約2020分鐘，分鐘， 小結提高約小結提高約5 5分鐘分鐘。 五五. . 說明和反思說明和反思 情景情景 引入引入 復習復習 引入引入 幾何幾何 意義意義 具體具體 運用運用 小結小結 概念概念 建構建構 作業作業 演演 練練 本節課設計為一節本節課設計為一節“科學探究科

29、學探究合作學習合作學習”的活的活 動課，在整個教學過程中學生以探索者的身份學動課，在整個教學過程中學生以探索者的身份學 習，在問題解決過程中，通過自身的體驗對知識習，在問題解決過程中，通過自身的體驗對知識 的認識從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。的認識從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。 力求使學生體會微積分的基本思想，感受力求使學生體會微積分的基本思想，感受近似與精近似與精 確的統一，運動和靜止的統一，感受量變到質變的確的統一，運動和靜止的統一，感受量變到質變的 轉化。希望利用這節課滲透辨證法的思想精髓。轉化。希望利用這節課滲透辨證法的思想精髓。 教師在這個過程中始終扮演學生學習的協作者和

30、教師在這個過程中始終扮演學生學習的協作者和 指導者。學生通過自身的情感體驗，能夠很快的指導者。學生通過自身的情感體驗，能夠很快的 形成知識結構，并將其轉化為數學能力。形成知識結構，并將其轉化為數學能力。 過程反思過程反思 一、羅爾一、羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理 第一節第一節 微分中值定理微分中值定理 四、泰勒四、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 1 費馬（Fermat)引理 一、羅爾(Rolle)定理 幾何解釋:

31、. 0率為 顯然有水平切線，其斜 曲線在最高點和最低點 x y o )(xfy 1 2 b a 0 00 0 )x(fx)x(f x)b ,a()x(f 可可微微，則則在在點點且且 取取得得最最值值，內內一一點點在在若若函函數數 證明證明:達達到到最最大大值值證證明明。在在只只就就 0 )(xxf ),()( ,),()( 00 00 xfxxf baxxxxf 就有就有 內內在在達到最大值，所以只要達到最大值，所以只要在在由于由于 , 0)()( 00 xfxxf即即 ;0, 0 )()( 00 時時當當從從而而 x x xfxxf ;0, 0 )()( 00 時時當當 x x xfxxf

32、0 )()( lim0)( 00 0 x 0 x xfxxf xf 這這樣樣 . 0 )()( lim0)( 00 0 x 0 x xfxxf xf 0)( 0 x f所所以以 幾何解釋幾何解釋: : .,的的在在該該點點處處的的切切線線是是水水平平上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧CAB 2 2 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理 羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數如果函數)(xf在閉區間在閉區間 ,ba 上連續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,且在區間端點的函數且在區間端點的函數 值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那

33、末在),(ba內至少有一點內至少有一點 )(ba , ,使得函數使得函數)(xf在該點的導數等于零，在該點的導數等于零， 即即0)( f C a b 1 2 x y o )(xfy 證證,)(連連續續在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值 .)1(mM 若若.)(Mxf 則則 . 0)( x f由此得由此得 ),(ba . 0)( f都有都有 .)2(mM 若若 ),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點 ),(afM 設設 .)(),(Mfba 使使內至少存在一點內至少存在一點則在則在 由費馬引理可知，.)(f0 注注1:若羅爾定理的三個條件中有

34、一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其 結論可能不成立結論可能不成立. 例如例如, ;1 , 1, xxy 注注2:若羅爾定理的條件僅若羅爾定理的條件僅 是充分條件，不是必要的是充分條件，不是必要的. 例如例如, 1 0 11- )( 2 x xx xf 0)0( f X Y -1 1 0 例例1 1.01 5 有且僅有一個正實根有且僅有一個正實根證明方程證明方程 xx 2）唯一性）唯一性 ,),1 , 0( 011 xxx 設另有設另有. 0)( 1 xf使使 , ,)( 10 條條件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的在在xxxf 使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個個

35、),( 10 xx . 0)( f 015)( 4 xxf但但)1 , 0( x矛盾矛盾,.為為唯唯一一實實根根 , 1)( 5 xxxf設設,1 , 0)(連連續續在在則則xf . 1)1(, 1)0( ff且且由零點定理由零點定理 . 0)(),1 , 0( 00 xfx使使即為方程的正實根即為方程的正實根. 證：證：1）存在性）存在性 拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理理 如如果果函函數數 f(x)在在 閉閉區區間間,ba上上連連續續, ,在在開開區區間間),(ba內內可可導導, ,那那末末在在 ),(ba內內至至少少有有一一點點)(ba

36、，使使等等式式 )()()( abfafbf 成成立立. . ).( )()( f ab afbf 結結論論亦亦可可寫寫成成 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 得到得到將羅爾定理條件中去掉將羅爾定理條件中去掉),b(f)a(f 幾何解釋幾何解釋: .AB ,C AB 線平行于弦線平行于弦 在該點處的切在該點處的切一點一點 上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 a b 1 2 xxo y )(xfy A B C DN M 證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差 弦弦AB方程為方程為).( )()( )(ax ab afbf afy ,)(ABxf減去弦減去

37、弦曲線曲線 ., 兩兩端端點點的的函函數數值值相相等等所所得得曲曲線線ba 化歸證明法化歸證明法 作輔助函數作輔助函數 ).( )()( )()()(ax ab afbf afxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF . 0)(,),( Fba使使得得內內至至少少存存在在一一點點則則在在 0 )()( )( ab afbf f即即 ).)()()(abfafbf 或或 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 注意注意: :拉氏公式精確地表達了函數在一個區間上的拉氏公式精確地表達了函數在一個區間上的 增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關系增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關系.

38、 ).10()()()( 000 xxxfxfxxf ).10()( 0 xxxfy也也可可寫寫成成 拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式. 推論推論1 .)( ,)( 上上是是一一個個常常數數在在區區間間那那末末 上上的的導導數數恒恒為為零零在在區區間間如如果果函函數數 Ixf Ixf 拉格朗日中值公式另外的表達方式：拉格朗日中值公式另外的表達方式： ),(, 2121 xxxxI 上任取兩點上任取兩點證明：在證明：在 )( )()()( 211212 xxxxfxfxf 則則 0)()(, 0)( 12 xfxff)()( 12 xfxf 即即 .)( , 21

39、 上是常數上是常數在在的任意性，所以的任意性，所以由于由于Ixfxx 例例2 2.)1ln( 1 ,0 xx x x x 時時證明當證明當 證證),1ln()(xxf 設設 , 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf )0(),0)()0()(xxffxf , 1 1 )(, 0)0( x xff 由上式得由上式得 , 1 )1ln( x x x 0又又 x 111, 1 1 1 1 1 x , 11 x x x x .)1ln( 1 xx x x 即即 柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf及及)(xF 在閉區間在閉區間,ba上連

40、續上連續, ,在開區間在開區間),(ba內可導內可導, ,且且)( xF 在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內至少內至少 有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )( )( )()( )()( F f bFaF bfaf 成立成立. . 三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理 幾何解釋幾何解釋: )( 1 F)( 2 F xo y )( )( xfY xFX )(aF A )(bF B C D )(xF N M . ),(),( AB fFC AB 弦弦 該點處的切線平行于該點處的切線平行于 在在一點一點 上至少有上至少有在

41、曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數作輔助函數 ).()( )()( )()( )()()(aFxF aFbF afbf afxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內至少存在一點內至少存在一點則在則在ba , 0)( )()( )()( )( F aFbF afbf f即即 . )( )( )()( )()( F f aFbF afbf .)(,)b ,a(0 使使得得內內至至少少存存在在一一點點則則在在 ,)(xxF 當當, 1)(,)()( xFabaFbF )( )( )()( )()( F f aFbF afbf ).( )()( f ab afb

42、f ).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fff xf 使使至少存在一點至少存在一點 證明證明內可導內可導在在上連續上連續在在設函數設函數 2 )( 01 )0()1(fff . )( )( 2 x x xf ,)( 2 xxg 設設 , 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf 有有內至少存在一點內至少存在一點在在,)1 , 0( 2 )( 01 )0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即 例例3 3 證證分析分析:結論可變形為結論可變形為 1 1 問題的提出問題的提出 2 2. .設設)(xf在在 0

43、 x處處可可導導, ,則則有有 1 1. .設設)(xf在在 0 x處處連連續續, ,則則有有 )()( 0 xfxf )()()( 000 xxxfxfxf )()( 0 xfxf關關系系，有有根根據據極極限限與與無無窮窮小小量量的的 )( )()()( 00 00 xxxf xxfxfxfdyy 四、泰勒四、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 )xx(O)xx)(x(f)x(f)x(f 0000 不不 足足 問問 題題 尋找函數尋找函數)(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計計 1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計

44、。、誤差不能估計。 設設函函數數)(xf在在含含有有 0 x的的開開區區間間),(ba內內具具有有直直到到 )1( n階階導導數數, ,)(xP為為多多項項式式函函數數 誤誤差差 )()()(xPxfxR nn xxxexxx x )1ln(,1,sin, 0 nn n xxoxxaxxaaxf)()()()( 00010 )(xP n )(xRn 2 2 n P和和 n R的的確確定定 0 x )(xfy o x y 分析分析: )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線 3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同 近似程度越來

45、越好近似程度越來越好 1.若在若在 點相交點相交 0 x 假假設設 nkxfxP kk n , 2 , 1)()( 0 )( 0 )( 代代入入)(xPn中中得得 n n n xx n xf xx xf xxxfxfxP )( ! )( )( ! 2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 得得 ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nkxf k a k k ),( 00 xfa ),(1 01 xfa )(! 2 02 xfa ,)(! 0 )( xfan n n 3 3 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 泰泰勒勒( (T Ta ay yl

46、lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函數數)(xf在在含含有有 0 x的的某某個個開開區區間間),(ba內內具具有有直直到到)1( n階階的的導導數數, , 則則當當x在在),(ba內內時時, , )(xf可可以以表表示示為為)( 0 xx 的的 一一個個 n次次多多項項式式與與一一個個余余項項)(xRn之之和和: : )()( ! )( )( !2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其其中中 1 0 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n f xR ( ( 在 0 x與與x之之間間

47、) ). . 證明證明: : 由由假假設設, ,)(xRn在在),(ba內內具具有有直直到到)1( n階階 導導數數, ,且且 兩兩函函數數)(xRn及及 1 0 )( n xx在在以以 0 x及及x為為端端點點的的 區區間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得 )( )(1( )( 0 01 1 之之間間與與在在xx xn R n n 0)( )()( )( )( 1 0 0 1 0 n nn n n xx xRxR xx xR 0)()()()( 0 )( 000 xRxRxRxR n nnnn 如如此此下下去去, ,經經過過)1( n次次后后, ,得得 兩兩函函數數

48、)(xRn 及及 n xxn)(1( 0 在在以以 0 x及及 1 為為端端點點 的的區區間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得 0)(1( )()( )(1( )( 01 01 01 1 n nn n n xn xRR xn R !1 )( )( )( )1( 1 0 n R xx xR n n n n ( (之之間間與與在在 n x 0 , ,也也在在 0 x與與 x之之間間) ) )( )(1( )( 1021 02 2 之之間間與與在在 x xnn R n n n k k k n xx k xf xP 0 0 0 )( )( ! )( )( 稱稱為為)(xf按按

49、)( 0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項項式式 n k n k k xRxx k xf xf 0 0 0 )( )()( ! )( )( 稱稱為為)(xf按按)( 0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式 )()( !1 )( )( 0 1 0 )1( 之間之間與與在在xxxx n f xR n n n 則由上式得則由上式得 , 0)( )1( xP n n )()( )1()1( xfxR nn n 定理定理1 （帶（帶lagrange余項的泰勒定理）余項的泰勒定理） 如果f(x)在 點鄰域內有n+1 階導數，則 x0 )()( ! )( )( !

50、2 )( )()()( 0 0 )( 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其其中中 1 0 )1( )( )!1( )( )( n n n xx n f xR ( ( 在 0 x與與 x之之間間) ). . 拉格朗日形式的余項拉格朗日形式的余項 1 0 1 0 )1( )( !1 )( !1 )( )( nn n n xx n M xx n f xR 皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項 0 )( )( lim 0 0 n n xx xx xR 及及 .)()( 0 n n xxoxR 即即 定理定理2 （帶（帶peano余項的泰勒定理）余項的泰勒定理

51、） 如果f(x)在 點鄰域內有n+1 階導數，則 x0 )()( ! )( )( !2 )( )()()( 00 0 )( 2 0 0 000 nn n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf 1 1. . 當當0 n時時, ,泰泰勒勒公公式式變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()( 000 之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取0 0 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項則余項 1 )1( )!1( )( )( n n n x n xf xR 幾點說明：幾點說明： n n x n f x f xffxf ! )0( ! 2 )0( )0

52、()0()( )( 2 1 )1( )!1( )( n n x n f ) 1 , 0( （3） 0 0 x （麥克勞林公式）（麥克勞林公式） 4 常用常用n階泰勒公式及其簡單應用階泰勒公式及其簡單應用 例例 4 4 求求 x exf )(的的 n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. . 解解,)()()( )(xn exfxfxf 1)0()0()0()0( )( n ffff xn exf )( )1( 注注意意到到 ).10( )!1(! 2 1 1 2 n xn x x n e n xx xe ).10( )!1()!1( )( 1 n x x n x n e n e xR ! 2 1 2

53、n xx xe n x ! 1 ! 2 1 11, 1 n ex 取取 . )!1( 3 n)!1( n e Rn ) 2 sin()( )( nxxf n 解解： ) 2 sin()0( 1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( )( n ffff f n Rm m m xxxx xx 2 12753 )!12(!7! 5! 3 sin 12 2 )!12( 2 )12(sin m m x m mx R 10 例例5 5 求求 的的n n 階階麥麥克克勞勞林林公公式式. . xxfsin)( xxm sin, 1 3 ! 3 1 sin, 2xxxm 53 ! 5 1 ! 3 1 sin

54、, 3xxxxm 01234 0 0 .5 1 tra c e 1 sin()x x xy sin xy x xy 3 ! 3 1 xx xy 53 ! 5 1 ! 3 1 例例 6 6 計計算算 4 0 3cos2 lim 2 x xe x x . . )( ! 2 1 1 442 2 xoxxe x )( ! 4! 2 1cos 5 42 xo xx x )() ! 4 1 2 ! 2 1 (3cos2 44 2 xoxxe x 12 7 )( 12 7 lim 4 44 0 x xox x 原原式式 解解 其它函數的麥克勞林公式其它函數的麥克勞林公式 )( )!12( )1( ! 5!

55、3 sin 22 1253 n n n xo n xxx xx )( )!2( )1( ! 6! 4! 2 1cos 2 2642 n n n xo n xxxx x )( 1 )1( 32 )1ln( 1 132 n n n xo n xxx xx )(1 1 1 2nn xoxxx x )( ! )1()1( ! 2 )1( 1)1( 2 nn m xox n nmmm x mm mxx ( )yf x設有函數， | |( )|()|yfxxx從而: xx用近似值 代替真實值 ， ( )yf x得到近似值 x 故由 引起絕對誤差: ( )-( )yf xf x ( )()fx xx |(

56、)|( )fxx ( ) |( )|( )yfxx所以可取： ( ) ( ) | r y y y |( )|( ) |( )| fxx f x |( )| ( ) |( )| r xfx x f x 誤差傳遞公式誤差傳遞公式 : . 5.2 ( )0.05cm, . xcm x 練習 測量得到圓板的直徑為, 其絕對誤差限為試估計圓板面積 的絕對誤差限和相對誤差限 2 . 4 yx 解 圓板的面積為 2 ( ) |( )|( )( )0.41 2 yy xxxxcm ( )|( )|( )2( ) ( )0.0192 |( )| r yfxxx y yf xx 微分學所要解決的兩類問題微分學所要

57、解決的兩類問題: 函數的變化率問題函數的變化率問題 函數的增量問題函數的增量問題微分的概念微分的概念 導數的概念導數的概念 求導數與微分的方法求導數與微分的方法,叫做叫做微分法微分法. 研究微分法與導數理論及其應用的科學研究微分法與導數理論及其應用的科學, 叫做叫做微分學微分學. 導數與微分的聯系導數與微分的聯系:.可可微微可可導導 000 1.()0,()0( ) .B. C.D. f xfxf xx A 例 設則是|在 處可導的（ ）條件 . 充分非必要； 必要非充分； 充要； 既非充分也非必要。 00 00 0 xxxx 00 xxxx 00 f x | f (x) | f (x ) |

58、 f (x) | xxxx | f (x) | f (x) | A xxxx A=0 limlim limlim 0 解 ： 假 設 | ( )|x 點 處 可 導 ， 由 定 義 知 ， 極 限 存 在 。 即 上 式 左 、 右 極 限 存 在 且 相 等 則。 即 充 要 條 件 C C 2.( )( ) ( ) ( )( )( )0(), ( ) ( )( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ) . ( ) ( )( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ) f xg x fx g xf xg xaxb axb f x g bf b g xB f x g af a g x C f

59、 x g xf b g bD f x g xf a g a 例 設與是恒大于零的可導函數, 且 則當，有（ ）. A.； ；。 2 ( ) ( )( )( ) 0 ( ) ffx g xf x g x ggx (x) 解：（） (x) A A 3.( ),( )0, 1 () lim. ( ) n n f xxaf a f a n f a 例 設函數在處可導 求極限 解：1 型極限 ( ) ( )( )sin( - ),( ) f xxa F xf xx aF a 練習 ：設在點處， 求 2連續 5 練習 ：求y=x+x 的反函數的3二階導數 yxxxy練習 ：已，求1知 例例8 8. .設由

60、方程 ) 10(1sin 2 2 2 yyt ttx 確定函數, )(xyy 求. d d 2 2 x y yxxxy練習：已知，求 111 222 111 222 111 222 () ) . ,( ) ; 111 (1(1) 222 yxxx yuuxvvxx dy yuvx dx x xx xxx 解：函數可變形為 可令 111 = 1+(1+) 2 2+ 2+ ()( ) ( )lim ha F ahF a F a h 正確解法: ( ) ( )( )sin( - ),( ) f xxa F xf xx aF a 練習 ：設在點處， 求 2連續 北京理工大學數學系北京理工大學數學系 2