1、平頂山學院 數學與信息科學學院 數學與應用數學專業 數學建模論文論文名稱易拉罐下料問題題號4、易拉罐下料問題成員成員1成員2成員3姓名劉蒙蒙黃玲玲常志恩學號091030118091030119091030120指導老師梁聰剛2011年12月15日 易拉罐下料問題摘 要數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。 數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。其中，線性規劃方法是數學建模方法中的一種，它是在第二次世界大戰中發展起來的一種重要的數量方法，是運籌學的一個最重要的分支，理論上最完善，實際應用得最廣泛。主要用于研

2、究有限資源的最佳分配問題，即如何對有限的資源作出最佳方式地調配和最有利地使用，以便最充分地發揮資源的效能去獲取最佳的經濟效益。在建立模型時，考慮到實際題目的要求，我們對易拉罐的生產模式進行了合理的設計并約定特定的公式符號以及對問題進行進一步分析。對幾種易拉罐的生產模式進行定量描述，采用線性規劃方法建立線性規劃模型，并通過lingo軟件對模型進行求解，以確定最佳的生產方式。對于問題（3）我們用求極值的方法確定易拉罐高h與底面半徑r之間關系，進而根據體積求出h和r的值，再用類似于上述的方法求解。最后，本文對模型進行評價，指出了模型的科學性跟合理性。關鍵詞：最大生產量 盈利 形狀與尺寸 1、 問題重

3、述易拉罐生產企業采用一套柔性制造系統生產一種容量為255毫升的易拉罐，這種易拉罐是用鍍錫板沖壓制成的。易拉罐為圓柱，罐高13cm，上蓋和下底直徑為5cm。加工原料為50cm60cm的鍍錫板。（1）200張鍍錫板最多可以生產多少只易拉罐？怎樣安排生產？（2）現在可以每一張1元的市場價購買最多2萬張鍍錫板，每種不同的加工模式需要付出100元生產準備費。每張鍍錫板加工費0.1元，而加工余料可以1元/平方米的價格出售。每只易拉罐加工費0.02元，收益為0.2元。產量至少達到怎樣的規模公司才可以盈利？怎樣安排生產，可以使總利潤達到最大？（3）如果允許改變易拉罐的形狀，怎樣可以進一步節省材料和提高利潤？對

4、于變形后的易拉罐回答（1）（2）中的問題。二、問題分析首先，需設計可行的下料模式，所謂下料模式是指按照需要在原料上安排下料的一種組合。其次，應當確定哪些下料模式是合理的，通常假設一個合理的下料模式的余料不能再做出我們所需要的罐身和底，蓋。通過建模研究易拉罐形狀和尺寸的最優設計問題，實際問題中，易拉罐的形狀是相對固定的，要研究的是最優尺寸。所謂節省材料提高利潤就是在易拉罐容積一定的約束下，使得所用材料最省。三、模型假設（1）生產模式設計時只考慮簡便合理，不考慮是否最充分利用問題。（2）只考慮材料的節省，不考慮實際生活中可能遇到的其他因素。四、符號定義:第i種模式用的鍍錫板張數：易拉罐個數：不配套

5、的罐身個數：不配套的底，蓋個數：罐身的高：底面圓半徑: 易拉罐的體積：易拉罐的表面積：總利潤：01變量，時；時5、 模型的建立與求解模型:1.1問題分析已知底，蓋的直徑為5cm，可得其面積為19.625，周長為15.7cm;已知罐身高為13cm,可得其面積為204.1。通過計算設計出如下三種下料模式： 表1 三種下料模式的特征罐身個數底蓋個數余料損失/cm2模式11210354.55模式2940378.1模式301207851.2模型的建立與求解問題（1）決策目標：最多可生產的易拉罐個數 （1.1）約束條件： （1.2） 可以等價以下兩個線性不等式 （1.3） （1.4）求解:模型（1.1）（

6、1.4）直接輸入lingo求解得到：模式1使用122次，模式2使用78次，模式3不使用，可生產易拉罐2166個。global optimal solution found. objective value: 2166.000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost y1 2166.000 0.000000 x1 122.0000 -12.00000 x2 78.00000 -9.000000 x3 0.000000 0.000000 row slack or surplus

7、dual price 1 2166.000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 4.000000 0.000000問題（2）考慮余料損失則總的余料損失包括兩部分：幾種下料模式下的余料和不配套的罐身和底，蓋造成的原料損失。因此總的余料損失為其中 (1.5) (1.6)則利潤決策目標：1）在條件下， (1.7)用的鍍錫板總張數 2) (1.8)約束條件;（1.3）（1.6）再加上 (1.9)由于每種不同的加工模式需要付出100元生產準備費，于是我們分以下幾種情況對問題進行論： , , ；，, , ；，；，, , ；，；，；，求解:1

8、）分別在上述六個條件下對模型（1.3）（1.7）,(1.9)直接輸入lingo求解對比得，公司要盈利至少要達到的規模為：只用模式2使用158次，模式2和模式3不使用。 global optimal solution found. objective value: 158.0000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 3 variable value reduced cost x 158.0000 0.000000 x1 0.000000 0.000000 x2 158.0000 1.000000 x3 0.000000 0.000

9、000 z 0.000000 0.000000 y1 1418.716 0.000000 y2 3.283980 0.000000 y3 6313.432 0.000000 a1 0.000000 0.000000 a2 1.000000 0.000000 a3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 158.0000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 19842.00 0.000000 5 3.283980 0.000000 6 1741.284 0.000

10、000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 -1.000000 11 157.0000 0.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000 16 0.000000 0.0000002）分別在上述六個條件下對模型（1.3）（1.7）,(1.8)(1.9)直接輸入lingo求解對比得最大利潤為18377元，模式1使用12222次，模式2使用7778次，模式3

11、不使用。global optimal solution found. objective value: 18377.73 extended solver steps: 2 total solver iterations: 8 variable value reduced cost z 18377.73 0.000000 y1 216666.0 -0.1800000 x1 12222.00 1.064545 x2 7778.000 1.062190 x3 0.000000 0.000000 y2 0.000000 -0.2041000e-01 y3 433340.0 -0.1962500e-02

12、 a1 1.000000 0.000000 a2 1.000000 0.000000 a3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 18377.73 1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 4.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 12221.00 0.000000 9 7777.000 0.000000 10 0.000000 -1.021500 11

13、 0.000000 -100.0000 12 0.000000 -100.0000 13 0.000000 -100.0000模型:2.1問題分析體積一定的條件下，想進一步節省材料和提高利潤，必須使得它的表面積最小。用求極值的方法求得易拉罐高h與底面半徑r之間關系，進而根據體積確定出h和r的值，再用類似于模型的方法求解。2.2模型的建立與求解易拉罐高為h ，底面圓半徑為r，則體積又易拉罐的表面積： 將帶入得 體積v是長數 ，半徑r為變量 ，表面積s是r的函數。故設計方案轉化為數學問題：當r取何值時s取最小值？由當且僅當即時易拉罐具有最小的表面積：，此時易拉罐高h=2r。也就是說當易拉罐設計為等

14、邊圓柱體時消耗的原料最少。將v=255ml代入計算得出r=3.44cm,h=6.88cm則底，蓋的面積為37.2，周長為21.6cm，罐身面積為148.6。通過計算設計出如下四種下料模式：罐身個數底蓋個數余料損失/cm2模式4832620.8模式51414398.8模式6056916，8 表2 四種下料模式的特征問題（1）決策目標：最多可生產的易拉罐個數 （2.1）約束條件： （2.2） 可以等價以下兩個線性不等式 （2.3） （2.4）求解：模型（2.1）（2.4）直接輸入lingo求解得到：模式5使用160次，模式6使用40次，模式4不使用，可生產易拉罐2240個。global optim

15、al solution found. objective value: 2240.000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 3 variable value reduced cost y1 2240.000 0.000000 x4 0.000000 -8.000000 x5 160.0000 -14.00000 x6 40.00000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 2240.000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.0000

16、00 4 0.000000 0.000000問題（2）總的余料損失包括兩部分：幾種下料模式下的余料和不配套的罐身和底，蓋造成的原料損失。因此總的余料損失其中 (2.5) (2.6)則利潤決策目標：1）在條件下， (2.7)用的鍍錫板總張數 2) (2.8)約束條件;（2.3）（2.6）再加上 （2.9）由于每種不同的加工模式需要付出100元生產準備費，于是我們分以下幾種情況對問題進行討論, , ；，, , ；，；，, , ；，；，；，求解:1）分別在上述六個條件下對模型（2.3）（2.7）,(2.9)直接輸入lingo求解對比得，公司要盈利至少要達到的規模為：用的總鍍錫板張數為191，其中模式

17、5使用89次，模式6使用102次，模式4不使用。global optimal solution found. objective value: 191.0000 extended solver steps: 2 total solver iterations: 10 variable value reduced cost x 191.0000 0.000000 x4 89.00000 1.000000 x5 102.0000 1.000000 x6 0.000000 0.000000 z 0.000000 0.000000 y1 2136.526 0.000000 y2 3.474331 0.

18、000000 y3 4269.051 0.000000 a4 1.000000 0.000000 a5 1.000000 0.000000 a6 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 191.0000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 19809.00 0.000000 5 3.474331 0.000000 6 1.474331 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.00

19、0000 10 88.00000 0.000000 11 101.0000 0.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.0000002）分別在上述六個條件下對模型（2.3）（2.7）,(2.8)(2.9)直接輸入lingo求解對比得最大利潤為20791元，模式5使用16000次，模式6使用4000次，模式4不使用。 global optimal solution found. objective value: 20791.36 extended solver ste

20、ps: 0 total solver iterations: 5 variable value reduced cost z 20791.36 0.000000 y1 224000.0 0.000000 x4 0.000000 0.000000 x5 16000.00 -1.511960 x6 4000.000 0.8000000 y2 0.000000 0.1725800 y3 448000.0 0.000000 a4 0.000000 0.000000 a5 1.000000 0.000000 a6 1.000000 0.000000 row slack or surplus dual p

21、rice 1 20791.36 1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.1800000 7 0.000000 0.3720000e-02 8 0.000000 0.5211200 9 15999.00 0.000000 10 3999.000 0.000000 11 0.000000 -100.0000 12 0.000000 -100.0000 13 0.000000 -100.00006、 模型評價1.模型優點（1）通過利用數學

22、工具和lingo編程的方法，嚴格地對模型求解，具有科學性。（2）模型運用求極值的數學方法，計算方便，簡單易懂。2.模型的缺陷（1）模型只考慮了半徑與高之比，沒有考慮其他，可能有點不全面。（2）建立的模型沒能與實際緊密聯系，因此通用性、推廣性較弱。七、參考文獻1 數學模型（第四版），高等教育出版社2 易拉罐形狀和尺寸的最優設計模型（2006年全國二等獎作品）附錄1模型最大生產量max=y1;x1+x2+x3=200;y1=12*x1+9*x2;y1=5*x1+20*x2+60*x3; gin(x1); gin(x2); gin(x3);endglobal optimal solution fou

23、nd. objective value: 2166.000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost y1 2166.000 0.000000 x1 122.0000 -12.00000 x2 78.00000 -9.000000 x3 0.000000 0.000000 row slack or surplus dual price 1 2166.000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 4.000000 0

24、.000000附錄2模型最小規模min=x;x=x1+x2+x3;z=0.18*y1+0.0001*(354.55*x1+378.1*x2+785*x3+204.1*y2+19.625*y3)-1.1*(x1+x2+x3)-100*(a1+a2+a3);x1+x2+x3=20000;y1=12*x1+9*x2;y10;x1=1;x2=1;x3=1;a1=1;a2=1;a3=1; gin(x1); gin(x2); gin(x3);end global optimal solution found. objective value: 324.0000 extended solver steps:

25、 2 total solver iterations: 9 variable value reduced cost x 324.0000 0.000000 x1 200.0000 1.000000 x2 123.0000 1.000000 x3 1.000000 1.000000 z 0.000000 0.000000 y1 3503.966 0.000000 y2 3.034156 0.000000 y3 7033.932 0.000000 a1 1.000000 0.000000 a2 1.000000 0.000000 a3 1.000000 0.000000 row slack or

26、surplus dual price 1 324.0000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 19676.00 0.000000 5 3.034156 0.000000 6 16.03416 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 199.0000 0.000000 11 122.0000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000min=x;x=x1+x2+x3;z=0.18*y1+0.0001*(354.55*x1+378.1*x2+785*x3+204.1*y2+19.625*y3)-1.1*(x1+x2+x3)-100*(a1+a2+a3);x1+x2+x3=20000;y1=12*x1+9*x2;y10;x1=0;x2=1;x3=