1、1 第一章 Fourier變換 1 重點和難點重點和難點 2 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 3 典型例題典型例題 一、重點與難點一、重點與難點 重點重點： 難點難點： 1 求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier變換變換 求函數(shù)的求函數(shù)的Fourier變換變換 2 Fourier變換的簡單應用變換的簡單應用 傅氏積分定理傅氏積分定理 若若f(t)在在(- - , + )上滿足條件上滿足條件: : 1). f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件; 2). f(t)在無限區(qū)間在無限區(qū)間(- - , + )上絕對可積上絕對可積, , 則有則有 jj 1 ( )( )dd 2 t f tfee -

2、 - - - - - ( ) (0)(0) 2 f tt f tf t - - 成成 立立 而而 左左 端端 的的在在 它它 的的 間間 斷斷 點點 處處 應應 以以 來來 代代 替替 , , , . . (,)|( ) | df tt - - - - 在在絕絕 對對 可可 積積 是是 指指 的的收收 斂斂 . . 1 Fourier積分定理積分定理 二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要 若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件滿足傅氏積分定理的條件, , 則在則在f(t)的連的連 續(xù)點處續(xù)點處, , 有有 jj 1 ( )( )eded 2 t f tf - - - (1)式叫做式叫做f(t)的的Fo

3、urier變換式變換式, , (2)式為式為F( )的的Fourier逆逆 變換式變換式, , f(t)與與F( )可相互轉(zhuǎn)換可相互轉(zhuǎn)換, ,可記為可記為 F( )= f(t) 和和 f(t)= -1F( ) j j 1 ( )( )e ( )( )ed1) d(2) 2 ( t t f Ff tF tt - - - - 設設 則則 2 Fourier變換變換 稱稱de(t)的弱極限為的弱極限為d-函數(shù)函數(shù), , 記為記為d(t).即即 0 ( ) ( )dlim( ) ( )d(0 ( ), )t f ttt f tt f t f e e e e dddd - 對對任任意意的的若若 1/0

4、( ) 0 t t e e eeee d d 其其中中 其其它它 de(t) 1/e eO 0 lim()()tt e e e e d dd d 3 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 （2 2）( ) td d td d 函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù), ,即即()( )ttd dd d- - （3 3） ( ) t t dtd d - - u t 其中其中, 10 ( ) 00 t u t t 稱為單位階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù). .反之反之, ,有有 ( ) d u t dt d-函數(shù)有性質(zhì)函數(shù)有性質(zhì): (1)(1) 00 ( )d1 ( )( )d(0) ()( )d() tt

5、tf ttf ttf ttf t d d d d d d - - - - - - - - 及及 兩個常用的積分： (4)( )f t若若為為無無窮窮次次可可微微的的函函數(shù)數(shù), ,則則有有 ( )( )(0)tf t dtfd d - - - - 一般地，有一般地，有 ( )( ) ( ) ( )( 1)(0) nnn t f t dtfd d - - - 0 j j() 0 ed2( ) ed2() t t t t d d d d - - - - - - (1).(1).線性性質(zhì)線性性質(zhì) 設設F1( )= f1(t), F2( )= f2(t), a a, b b是常數(shù)是常數(shù), ,則則 a a

6、f1(t)+b bf2(t)=a aF1( )+b bF2( ) d ( ) d F 同樣同樣, , 傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì)傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì), , 即即 - -1a aF1( )+b bF2( )=a af1(t)+b bf2(t) 4 Fourier變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) (2).(2).微分性質(zhì)微分性質(zhì) 如果如果f (t)在在(- - , + )上連續(xù)或只有上連續(xù)或只有 有限個可去間斷點有限個可去間斷點, , 且當且當|t|+ 時時, f(t)0, 則則 f (t)=j f (t). 同樣同樣, , 我們還能得到象函數(shù)的導數(shù)公式我們還能得到象函數(shù)的導數(shù)公式, , 設設

7、j( ).tf t- - 若= ( )F ( )f t 0 t 為實常數(shù),則 0 0 ()( ) jt f tteF - - - - 0 1 0 ( )() jt eFf tt - - (3). 位移性質(zhì)位移性質(zhì): : 2）象函數(shù)的位移性質(zhì)象函數(shù)的位移性質(zhì) 若= ( )F ( )f t 0 為實常數(shù),則 0 1 0 ()( ) jt Ff t e - - - 0 0 ( )() jt ef tF - - 1 1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)）象原函數(shù)的位移性質(zhì) (4). (4). 積分性質(zhì)積分性質(zhì) , ( )( )d0 1 ( )d ( ). j t t tg tf tt f ttf t - - 如如果

8、果當當時時 則則 實際上實際上, , 只要記住下面幾個常用的只要記住下面幾個常用的Fourier變換變換, , 則則 所有的所有的Fourier變換都無須用公式直接計算而可由變換都無須用公式直接計算而可由 Fourier變換的性質(zhì)導出變換的性質(zhì)導出. 0 0 0 j 0 000 ( )1,() e2()12() 11 ( )()( ) jj sin ()() jt t t ttte u tu t e tj - - - - - - - - - - - b b d dd d d d d d d d b b d d d d 卷積滿足下列性質(zhì)卷積滿足下列性質(zhì): : 1221 ( )( )( )( )f

9、 tftftf t(1)(1)交交換換律律 123 1213 ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) f tftft f tftf tft (2)(2)分分配配律律 123 123 ( ) ( )*( ) ( )( )*( ) f tftft f tftft (3)(3)結(jié)結(jié)合合律律 5 卷積和卷積定理卷積和卷積定理 1212 ( )( )( )()df tftfft - - 12 卷積定理卷積定理 假定假定f1(t), f2(t)都滿足傅氏積分定理中都滿足傅氏積分定理中 的條件的條件, , 如如 f1(t) =F1( ), f2(t) =F2( ) 1 1212 ()()( )( )

10、FFftft - - 則則 f1(t) * f2(t) = F1( ) F2( ) 以及以及 1212 1 ( )( )()(). 2 ftftFF 同理可得同理可得 任給函數(shù)任給函數(shù)f(t), 都有都有f(t)*d d(t)=f(t), 這是因為這是因為 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)d d(t)在卷積運算中起著類似數(shù)的在卷積運算中起著類似數(shù)的 運算中的運算中的1 1的作用的作用. . ( )* ( )( )f ttf td d 首先取傅氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程首先取傅氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, , 解代數(shù)方程求出象函數(shù)解代數(shù)方程求出象函數(shù), , 再取逆變換得最后的解再取逆

11、變換得最后的解. . 如如 下圖所示下圖所示. . 象原函數(shù)象原函數(shù) ( (微分方程的解微分方程的解) ) 象函數(shù)象函數(shù) 微分、積分方微分、積分方 程程 象函數(shù)的象函數(shù)的 代數(shù)方程代數(shù)方程 取傅氏逆變換取傅氏逆變換 取傅氏變換取傅氏變換 解代數(shù)解代數(shù) 方程方程 6 微分、積分方程的微分、積分方程的Fourier解法解法 三、典型例題三、典型例題 ( )cossinf ttt求求函函數(shù)數(shù)的的FourieFourie例例2 2r r變變換換。 1,0, sgn( ) 1,0. t t t - 求求符符號號函函數(shù)數(shù)的的FouriFouri例例1 1erer變變換換。 ( )( )sin t f ttu t e b b b b - - 0 0 求求函函數(shù)數(shù)t t的的FourierFourier變變換換， 其其中中 例例3 3 0.0. 例例5 求下列函數(shù)的傅氏逆變換求下列函數(shù)的傅氏逆變換： 1sin (1)( )( );(2)( ). j FeF j d d - - 例例4 , ( )(), , t t f t et b b b b - - 已已知知 0000 0 0 0 0 ( ),tf t 求求 ( ).t f t