1、1992年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)x = f (t) 兀，dv(1) 設g3t 其中f可導，且(0)式0,則dy =ly=f(e -1)，dXy(2) 函數y=x+2cosx在0,工上的最大值為 .2(3)x0 e -cosx 由曲線y = xex與直線y=ex所圍成的圖形的面積 S=二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)2當x 0時，x -sin x是x的(A)低階無窮小(C)等價無窮小2x，2設 f(X

2、)=3X +x，x =0(B)(D)高階無窮小同階但非等價的無窮小r1-x2， XE0j-(A)f (-x)=(B)f (-x)=I-(X2 x)，x 0I1x2，x01 x2(C)f (-x)二 2(D)f(x)二lx2-x，x 0I當X； 1時，函數x2 -1 ex4的極限()x -1(A)等于2(B)等于0(C)為：:(D)不存在但不為設 f (x)連續，F(x) = ( f (t2)dt，則 F x)等于(A)f(x4)(B)X2 f(x4)(C) 2xf(x4)2xf (x2)(D)()-x,x :： 0x2, x_0x2x)，x ： 0-x2， x_0 若f （x）的導函數是sin

3、 x,則f （x）有一個原函數為(A) 1 sin x(C) 1 cosx(B)1 - sin x(D)1 -cosx三、（本題共5小題,每小題5分，滿分25分.）(1)求 lim(x i :設函數y = y（x）由方程y -xey =1所確定,求d2ydx2的值.X=0x3求/dx.求 o . 1sin xdx. 求微分方程（y - x3）dx - 2xdy二0的通解.四、（本題滿分9分） 2(x - 2)dx.51 x ,x ： 0 亠3設f(x)二,求1e , x301五、（本題滿分9分）求微分方程y-3y 2y = xex的通解.六、（本題滿分9分）2 1計算曲線y二ln（1 - x

4、）上相應于0乞x乞的一段弧的長度七、（本題滿分9分）求曲線y = ；x的一條切線l ,使該曲線與切線l及直線x = 0,x = 2所圍成的平面圖形 面積最小.八、（本題滿分9分）已知f （x） ： 0, f （0） =0,試證：對任意的二正數 x1和x2,恒有f (x X2) ： f (xjf(X2)成立.1992年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題解析一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)(1)【答案】3【解析】由復合函數求導法則可得dy _ dy/dt dx dx/dt3ef (e3t-1),于是 dyf (t)dx 7【相關知識點】復合函數求導法則:如果u =g(x)在點

5、x可導，而y = f (x)在點u =g(x)可導，則復合函數y二f lg(x)在點x可導，且其導數為dydx【答案】.3 -6=f (u) g (x)或dy dy dudx du dx【解析】令y1_2sin x=0,得0/ 內駐點 2因為只有一個駐點，所以此駐點必為極大值點X = _ .6,與端點值進行比較,求出最大值.可見最大值為y( ) = 36【答案】0n一兀ny(0) = 2, y() =、. 3, y()6 62兀【解析】由等價無窮小,有 X； 0 時，1 - .1lim 字1 x limj e -cosx1 2L Q-x )=1 2、_2(-x )x 刃 ex _cosxr2,

6、故上式為“ 0”型的極限未定式，又分子分母在點00處導數都存在，由洛必達法則，有原式二lim xxt e +sin x-0.1【答案】- In 22【解析】令b -: b dx原式押哄1冇.2tbX +1X 和m： 1x(x22b 1x一 dx=lim (一一 )dx(分項法)1)b 門-1 x x 1b1ln x1 -fdx21 x2 1(湊微分法)b .11 22ln(x +1)b二 lim ln/ +丄巾21叮b2 12lim Inb_y：:-1|nlnl1|n1|n2b2 1222【答案】e -12【解析】聯立曲線和直線的方程，解得兩曲線的交點為(0,0),(1, e),則所圍圖形面積

7、為1S(ex - xex) dx,再利用分部積分法求解，得e 2 x 1 x. e .S x -xe 亠 i e dx 1 .2o 02注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題，如果選擇不當可能引起更繁雜的計算，最后甚至算不出結果來在做題的時候應該好好總結，積累經驗【相關知識點】分部積分公式：假定u =u(x)與v =v(x)均具有連續的導函數，則uv dx = uv - u vdx， 或者 udv = uv - vdu.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)(1)【答案】(B)【解析】lim x 一嚴為“ 0 ”型的極限未定式，又分子分母在點0處導數都存在，連續T X0

8、運用兩次洛必達法則 ，有lim =lim -_cosx = lim= 0，故選(B).x-0X2T 2x T 2【相關知識點】無窮小的比較：設在同一個極限過程中，(x), - (x)為無窮小且存在極限lim 兇=l ,B(x)(1)若l =0,稱(x), :(x)在該極限過程中為同階無窮小； 若l =1,稱(x), -(x)在該極限過程中為等價無窮小，記為(x)U - (x)； 若l =0,稱在該極限過程中(x)是(x)的高階無窮小，記為(x)=o : (x).若lim:(x)(x)不存在(不為:),稱(x), : (x)不可比較- x空0X0x2 - x, x ： 0, x2,x 0.【答案

9、】(D)【解析】直接按復合函數的定義計算f(-X) J (；x)，1(x) +(x),所以應選(D).2 1X -1帚 lim exx亠 x _12彳1X 1 x 1 limexx a x -11lim( x 1)eXJ=C3O0 =:,故當【答案】X 1時函數沒有極限，也不是：.故應選(D).(C)【解析】x2F(x) = 0 f(t2)dt二 f(x2)2 (x2) =2xf(x4),故選(C).【相關知識點】對積分上限的函數的求導公式:欣t)-若 F(t)=f (x)dx, ： (t), (t)均一階可導，則F (t)二- (t) f(t)丨-：(t) f L：:(t)l.(5)【答案】

10、(B)【解析】由f (x)的導函數是sin X,即f (X)二si n x,得f (x)二 f (x)dx 二 sin xdx - -cosx C ,其中 C 為任意常數所以f (x)的原函數F(x)二 f (x)dx 二(-cosx C)dx 二-sin x Gx C2,其中 G,C2為任意常數令 C1 -0, C2 =1 得 F(x) =1 -si nx.故選(B).三、(本題共5小題，每小題5 分,滿分25分.)3(1)【答案】e三1【解析】此題考查重要極限：lim(1 1)x=e.將函數式變形，有)2lim(1X6：uxx_4-36x2(3)【答案】(D)【解析】對于函數在給定點 X0

11、的極限是否存在，需要判定左極限x 和右極限Xr X。是否存在且相等,若相等,則函數在點X0的極限是存在的1二 lim( x 1尹=0,X -1-2-3-3 xdlim= lim e6 x 2 =ex _6 x 2x y :2【答案】2e【解析】函數y二y(x)是一個隱函數，即它是由一個方程確定，寫不出具體的解析式方法1:在方程兩邊對x求導,將y看做x的函數,得y - ey _ xey y = 0,即 yey1-xey把x =0,y =1代入可得y (0)二e.兩邊再次求導，得” eyy(1-xey) +ey(ey +xeyy) y =(1-xey)2d2y 把 0，y =1，y (0)二 e

12、代入得 y (0) = d ?dx= 2e2.Xz0方法2：方程兩邊對x求導,得yeyxeyy = 0 ；再次求導可得 y_eyy-(eyy + xeyy2 +xeyy) = 0,d2y 把x =0,y =1代入上面兩式，解得y(0) =e，y (0) = d ?dx= 2e2 .x=0【相關知識點】1.復合函數求導法則：如果u = g(x)在點x可導，而y二f (x)在點u二g(x)可導，則復合函數y二f lg(x)在點x可導，且其導數為dx=f(u)g(x)或dydxdy du=Tdu dx2.兩函數乘積的求導公式:f(x) g(x) 1 二 f (x) g(x) f(x) g (x).3

13、.分式求導公式:vV23【答案】(1 x2)2【解析】方法1:3x .1dx =_ 1 x22Vx2d(rxPL1U2 d(1 x2)x1 x2 C 其中C為任意常數積分的湊分法結合分項法，有日(曲一注尹(2)其中C為任意常數2=(sec t-1)d (sect)131ssectsect C 弓1 x)2-1 x2 C ,其中C為任意常數方法3:令t=x2,貝 y x = VT, dx =,x3dx,1 x2dt此后方法同方法.1 t1,積分的湊分法結合分項法【答案】4(邁-1)0.1 t -1 dt(V x2) - 、1 x2 C，其中C為任意常數3【解析】注意 Jf(x)2 =|f(x)=

14、 f (x),不要輕易丟掉絕對值符號；絕對值函數的積分實際上是分段函數的積分a由二倍角公式sin 二2sin 2aCOS ,則有2所以1 -sin：二sin2cos2aa2si n22a cos2a ot二 sincosI 2x 、1-sin xdxsin0壯2x-cos2丿dxm x x sin 一 一 cos一 dx3 2 21221121 x2d(1 x2)d(1 x2)1 3 (1 X2)2 - -1 X2C3方法 2：令 x = tan t,則 dx = sec tdt ,3x32dx = tan tsectdt = tan td(sect) .1 x2dx t sin1cos2dx

15、JI=2 sinI 2xcos-202 x x + 2 ! cos sin 22尢i2= 4(、2 -1).(5)【答案】y二Cx- 1 x3,其中C為任意常數51i【解析】所給方程為一階線性非齊次方程,其標準形式為y y =-丄x2.2x212dx”x dx C由一階線性微分方程的通解公式，得Idx y = e 2x=C 7 -1x3 其中C為任意常數.【相關知識點】一階線性非齊次方程、 P(x)y =Q(x)的通解為-P(x)dx rP(x)dxy =eQ(x)e dx C ,其中C為任意常數四、(本題滿分9分)【解析】分段函數的積分應根據積分可加性分段分別求積分另外，被積函數的中間變量非

16、積分變量，若先作變量代換，往往會簡化計算令 x -2 二t,則 dx =dt.當 x =1 時，t - -1 ；當 x =3時，t =1,于是31021 t1 f (x2)dx 二f (t)dt分段 I 1 t dt 亠 i e dt-e_t1五、(本題滿分9分)【解析】所給方程為常系數的二階線性非齊次方程，對應的齊次方程的特征方程r2 -3r，2=0有兩個根為*=1,2=2,而非齊次項xe,= 1二*為單特征根，因而非齊次方程有如下形式的特解 Y =x(ax，b)eX,1代入方程可得a ,b = -1,所求解為2y 二 Gex C2e2-(x 2)ex,其中 C1,C2 為任意常數.2*【相

17、關知識點】1.二階線性非齊次方程解的結構：設y (x)是二階線性非齊次方程/ P(x)y： Q(x)y =f (x)的一個特解.Y(x)是與之對應的齊次方程y P(x)y Q(x)y = 0的通解，則y二丫(x)，y (x)是非齊次方程的通解2.二階常系數線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數線性齊次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 9 P(x)y* Q(x)y = 0中的P(x)、Q(x)均是常數，方程變為、 py qy =0 .其特征方程寫為r pr0 ,在復數域內解出兩個特征根a, r2 ；分三種情況：(1) 兩個不相等的實數根 no,則通解為y二Ge C2er2x;(

18、2) 兩個相等的實數根a =r2,則通解為y二G C2x erXl;(3) 對共軛復根 ruaiP,則通解為 y ueCGcosPx + C? sinBx).其中 C1,C2 為常數.3.對于求解二階線性非齊次方程y P(x)y Q(x)y = f (x)的一個特解y* (x),可用待定系數法，有結論如下： x*k x如果f (x) = Pm(x)e-,則二階常系數線性非齊次方程具有形如y(X)= X Qm(x)e-的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數的多項式，而k按不是特征方程的根、是特征方 程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =eP(x)cosBx + Pn

19、(x)sin cox,則二階常系數非齊次線性微分方程y p(x)y、q(x)y = f (x)的特解可設為y* =xkeRrm)(x)cosMx +R9 (x)sinmx,其中Rm)(x)與氏2)(x)是m次多項式，m = max，nf,而k按 i (或先-i -)不是特征 方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.六、(本題滿分9分)【解析】由于y =1 n(1-x2),2X+1X1dx找y+-O -dd2X-dx=In一 x oXX1 -X2V OX+二京-1.2【相關知識點】 平面曲線弧長計算:已知平面曲線 AB的顯式表示為y二f(x) a乞xb ,則弧微分為 ds =f2(x)dx

20、,弧長s=.Jf 2(x)dx,其中f(x)在la,b有連續的導數七、(本題滿分9分)【解析】過曲線上已知點(怡，丫0)的切線方程為y - y 二 k(x-Xo),其中當 y(x)存在時,k = y (xo).如圖所示,設曲線上一點(t,處的切線方程為1、嚴,化簡即得面積-42,其一階導數s嚴2嚴=2t/t令S(t)=O解得唯一駐點t=1,而且S在此由負變正，即S(t)在(-：，1單調遞減，在1,匸:)單調遞增，在此過程中S(t)在t =1時取極小值也是最小值，所以將t =1代入先前所x 1設的切線方程中，得所求切線方程為y =丄.2 2八、(本題滿分9分)【解析】證法一：用拉格朗日中值定理證明.不妨設x2 x, 0,要證的不等式是f(XX2)- f(X2)： f (xj - f (0).在0必上用中值定理，有f (xj - f (0) = f)捲，0：:為,在x2,x1X2上用中值定理，又有f (x,-X2)- f(X2)= f ()X1,X2：: x1x2 ,由 f (x) :： 0,所以 f (x)單調減，而:捲：x2 ：,有)()，所以f(x X2)-f(X2)： f(xj-f(0)= f(xO,即 f(% X2) ： f(X1) f(X2).證法二：用函數不等式來證明要證f (x1 X)：: f (xj f (x