1、廠商研發的非合作和合作博弈模型分析1引言研發對一個公司來說至關重要，它是公司能夠持續發展的關鍵因素。只有通過研發，公司才能推出新產 品來保持和提高自己的市場份額。因此幾乎每個公司都對研發投入了大量資金，并且研發經費占公司利潤的 比例有不斷提高的趨勢。但是，對每個公司來說，公司間的研發競賽是次優的，這主要表現在：從社會經濟 總體發展來看，由于公司間研發的保密而使很多經費進行同樣的研發，從而使社會資源產生浪費。從單個公 司來說，研發間的競爭導致了公司財務的沉重負擔，甚至有的公司不堪重負而破產。因此，公司間研發的合 作是非常重要的，這不僅僅表現在社會資源的有效利用，而且表現在這種合作是一種雙贏的結果

2、。本文通過 一些合理的假設探討了兩個相同公司間研發的非合作和合作博弈模型，并分析這種現象給出評價標準來進行 對比分析。2非合作博弈模型本模型是Cournot模型的一種推廣，文中的許多假設和Cournot模型相同，所不同的是Cournot模型是一種完全信息靜態博弈模型，而本文所給出的模型是一種兩階段博弈模型，即在Cournot模型的基礎上加進了公司的研發投入階段。模型的若干假設：一個經濟系統中只有兩個相同的公司，也可以說這兩個公司是對稱的，即一個公司是另一 個公司的復制，兩個公司在投入成本，產出水平，以及發展戰略上都是相同的，并設兩個公司的初始單位成 本為c,即沒有進行研發時的成本，兩公司所進行

3、的兩階段博弈模型如下：在第一階段，兩個公司同時選擇 研發投入經費x1,x2后進行研發過程；在第二階段，兩個公司注意到研發投入經費x1,x2，生產出產品后在產品市場上進行競爭。由于混合策略在公司進行決策時過于麻煩，并且公司的研發對于一個公司來說至關重要，有的研發一旦 確定，就需要相當長的時間去完成，中途更改的機會成本很高，因此，本文只討論純策略時的情況，并且討 論的是一個一次博弈模型，而不考慮重復博弈時的公司行為，所以本文過多地關注純策略子博弈完備均衡就 不足為奇了。在這里，假設兩公司進行研發后，能夠有效地降低其單位產品生產成本，而不是推出新產品，即我們的 注意力放在研發對技術的貢獻上。假設一單

4、位的研發投入能夠降低單位產品生產成本為f (x1),f( x2),其中 f (x) =( 0 n i (xi,xj,qi,qj ) =qi (p-) c-f ) xi ) ) -xo=qi (a- (qi+qj ) -c+f (xi ) ) -xi采用倒推法可以求得純策略子博弈完備均衡，由于這兩個階段對兩個公司來說都是公共知識，我們先假 設在第二階段兩公司在產品市場進行競爭時，使得對方已達到均衡數量時使自己的收益達到最大，同樣地， 在求得第二階段的均衡收益時可以以這個均衡為基礎求出第一階段的均衡收益，這就是所要求的純策略子博 弈完備均衡的收益值。其具體過程如下： 在第二階段有 =0 =0由于兩

5、個公司是對稱的，可解得： q =, q = 即在第二階段兩公司得收益為：*9 仔(x1,x2,q ,q )= -x1*9 仔 (x1,x2,q ,q )= -x2由于兩個公司在第二階段都達到了預期的水平，在第一階段兩個公司也同樣有這樣的動機來達到這種情 況，即假設另一個公司已經達到最優水平的情況下使自己的收益達到最大，這主要是建立在兩個階段都具有 充分的共同知識的基礎上。第一階段的解為： =0 =0解得：x =x =32r(a-c)2 ，并且*9 仔(x 1,x 2,q ,q )=9(a-c)2-x*9 仔(x 1,x 2,q ,q )=9(a-c)2-x由于所討論的是兩個同樣的公司，所以本博

6、弈模型的均衡為對稱解，從上面的均衡可以算出消費者剩余S:S=1/2b(q +q )2=2( )3合作博弈模型合作是指兩個公司為了共同的目的而進行的一種妥協，兩公司間研發的合作主要涉及的是雙方對研發的 投入與其所得之間的問題，可是在合作博弈中這并不能簡單的解決這個問題，很有可能當兩個公司由于研發 費用的分擔和收益的獲得不平等的時候，這種合作就有破裂的危險，也就是說合作博弈所尋找的是讓兩個公 司從根本上認識到這種合作對任何一方來說沒有偏袒，所以這里主要解決的是兩個公司如何分擔費用和收益 的問題。在這里我們依然沿用非合作博弈的框架來表述兩個公司在研發方面的合作，只不過在合作博弈的第 一階段，兩公司所

7、進行的是研發費用的共同分擔和研發的共同獲益，并且研發費用的總和比非合作情況下要 少很多，從這方面講，研發的合作比不合作要好。兩公司進行合作時，依然會出現利益沖突，因為一方的投 入增加會導致另一方的投入會慢慢地減少，從而減少的一方會從中獲得更多的好處，并且由于兩個公司可能 對研發的要求不一樣而導致合作研發是否好的問題，在這里不考慮這種情況，公司所要求的只是按照博弈規 則進行。為了反映雙方的費用和收益之間的關系，在這里給出合作博弈的基本框架，并給出合作博弈的均衡 解，從以下結果中可以看到這個均衡是唯一存在的。在這里，合作博弈是從非合作博弈的基礎上進行一種變換而來的，即其基本框架依然是非合作博弈，只

8、 不過我們尋找的是變換后的博弈模型的均衡解。設*9祝=(1 , 2 , C1, C2, u1,u2 )是一個博弈，是一個合作變換，則“ (*9祝)就為另一個博弈。在這里主要討論的是一種兩人討價還價博弈模型(F,v)。設F=( u1(卩),u2 (卩)|卩( C) , ( C)為C= (C1, C2),為上的一個概率分布。在這里可以看出，F是非合作博弈情況下的解的可行集，對這個集合進行一些限制條件后就構成了合作博弈的解的可行集，即FQ (x1,x2 ) |x1 v1,x2 v2，這里 FQ ( x1,x2 ) |x1 v1,x2 v2，這里是非空有界的，v 是不一致同意點，也即他們不進行合作也可

9、以達到的點。其中非空有界集說明存在某個可行配置對兩個局中人來說至少與 不一致同意點一樣好，但不可能出現超過不一致同意點的無界收益。對兩個局中人來說，僅當F中至少存在一個配置 y。都嚴格好于不一致同意配置v時，我們才稱這個兩人討價還價問題(F,v )是實質上的，也就是這個可行集中至少存在一個均衡值?？梢钥闯鑫覀兯懻摰暮献鞑┺哪Ｐ褪菍嵸|上的。設*9準(F, V)為R2中的某個配置向量，它是當F為可行配置集且 v是不一致同意的配置下的討價還價的結果。設*9準i (F, V)表示*9準(F, V)的第I個分量，即*9準(F, V) =*9準1 (F, V) ,*9準2 (F, V), 則對任一個討價

10、還價問題(F,v)，納什討價還價解的公理可表示如下：(1) 強有效性。*9準(F, V)是F中的一個配置，x *9準(F, V)且對F中的任一個x，則x=*9準(F, V)。即解是可行的且是帕累托有效的。(2) 弱有效性公理。*9準(F, V) = F且F中不存在任何y，使得y *9準(F, V)。(3) 個人理性。*9準(F, V) V即配置會越來越好。(4) 尺度協變性。對任意入 1 0,入 2 0,r1r2,若 G=(入 1x1+r1,入 2x2+r2)|(x1,x2) F且 w=(入 1v1+r1,入2v2+r2)，則*9準(G,w)=(入1*9準1(F,v)+r1, 入2*9準2(F

11、,v)+r2) 即(F,v)的任何仿射變換不會影響效 用函數的決策性質。(5) 無選擇的獨立性公理。對任一閉凸集，若G*9哿F,且*9準(F, v) G,則*9準(G v) =*9準(F,V)。即討價還價解并不會因為剔除那些不被選擇的可行對象而改變。(6) 對稱性。若 V仁V2且(X1,X2)|(X1,X2) F=F,則*9準1 ( F, v)珂2 (F, V)。即若雙方是對稱的,則解也是對稱的。設討價還價雙方是個人理性的，并且F中的一個配置是個人理性的充要條件是x V。在這里我們關注的是納什討價還價解，它由以下定理確定。定理1:存在唯一的一個解函數$(,)滿足上述公理(1)到(5),對于每個

12、討價還價問題(F,v)，這個解函數都滿足*9準(F, v)( x1-v1 )(x2-v2 )。在進行雙方合作時我們注意的是雙方的投入與其收益之間的關系，為了解決這個問題，在這里采用平等主義解和功利主義解的概念。平等主義解的意思是雙方的投入應該是相等的，特別是對兩個相同結構的公司來說，只有這樣他們的投入才會在同一個起跑線上；功利主義解是從雙方這個整體來考慮的，即在平等主義解 的基礎上，如果雙方所獲得的總收益越多，則每一方所獲得的就會相應地增加。平等主義解為F中唯一弱有效且滿足如下等收益的點x: x1-v仁x2-v2 ;功利主義解為任一解函數，他對每個兩人討價還價問題(F,v)都選擇兩個配置x，使

13、得x1+x2= (yi+y2)。顯然這兩個解不滿足尺度協變性公理。為了使他們滿足這個公理，特做如下修改：給定任意入1,入2,r1 , r2，使得入 1 0,入 20 令 L(y)=(入 1y1+r1，入 2y2+r2 ), y R2并且對給定任一兩人討價還價問題( F,v )，令L (y) =L(y)|y F,于是(L(F) , L(v)的平等主義解為L(x)，其中x是F中唯一弱有效點，且使得入1(x1-v1)=入2(x2-v2)，則稱其為(F,v)的入平等主義解，類似 的，(L(F), L(v)的功利主義解一定是某個點L(z)，其中z是F中的一個點使得入1z1+入2z2= (入1y1+入2y

14、2 )。入1,入2稱為(F,v)的自然尺度因子，即對任一實質上入=(入1，入2)的(F,v),存在一個向量使得入(0,0) 且(F , v)的入平等主義解同時也是(F,v)的入功利主義解，而納什討價還價解可以被視為均等收益和最大收益 這兩個原則的一個自然綜合，為了便于計算，以下給出這兩種解的等價條件。定理2:令(F,v)為一個實質上的兩人討價還價問題，并令x為一個滿足x F,且xv的配置向量，則x為(F,v)的納什討價還價解的充要條件是，存在嚴格正的數入1和入2,使得入1x1-入1v仁入2x2-入2v2及入1x1+ 入 2x2=(入 1y1+ 入 2y2)。有了以上的理論基礎，就可以求出合作博

15、弈的純策略子博弈完備均衡解，這里同樣采用的是倒推法進行 求解，在第二階段，同樣可以求出，在第二階段合作博弈的解即為下列優化問題：(%(x1,x2,q q)-%)(%(x1,x2,q q) - %)解得：x =x= ( )2在合作情況下雙方的收益為：n.(,x ,q q)= -x n.(,x ,q q)= -x 其中新的消費者剩余為：S =1/2 (q q) 2通過計算得到一下結論：xv x, xv X(1)q( x, x)v q( x, x)q( x, x)v q( x, x) (2)S S(3)其中：(1)式說明合作情況下的研發投入比非合作情況下的投入要??；(2)式說明合作情況下的產出比非合

16、作情況下的產出要多；(3)式說明合作情況下的消費者剩余比非合作情況下的要大 4比較分析從非合作博弈和合作博弈的結果看，合作博弈的結果都優于非合作博弈的結果，在非合作博弈中，公司為了 減少成本所進行的研發是每個公司分別分擔的，但由于兩個公司在第一階段進行了研發合作，使得兩個公司共同分擔了研發成本，并且這種分擔減少了由于兩個公司分別承擔時的重復投入，從而使產量提高，消費者 剩余變大，這說明消費者從兩個公司的合作中得到了好處，也就是市場運行更為有效，并且在研發的合作上 只是在第一階段進行，而第二階段兩個公司依然在產品市場上進行產品競爭，這種競爭和Cournot模型中的情況是一樣的，這里我們并沒有討論兩個公司在產品市場進行合作的情形，一方面可能由于兩個公司收到區位 限制而無法合作，另一方面由于其他的原因而導致這種合作違反法律，與Cournot模型所不同的是這里多了一個成本是如何減少的這一階段。