廣東省深圳市名校聯考2023-2024學年高一下學期數學期中考試試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設復數z=2i1?i，則A．?1?i B．?1+i C．1?i D．1+i2．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA=64，sinB=2A．22 B．43 C．63．如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，△A'BA．2 B．22 C．4 D．4．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=21，b=4，c=5，則A=A．π6 B．5π6 C．π35．已知|OA|=2，|OB|=6，且OA，OB的夾角為A．?32OB B．32OB 6．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面A．A，M，O三點確定一個平面 B．A，M，O三點共線C．D，D1，O，M四點共面 D．A，B1，B，7．如圖，平行四邊形ABCD中，M是BC中點，N是CD上靠近點D的三等分點，若AB=λAM+μAN（λ，A．?95 B．?35 C．8．已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點，點M在棱PC上，且滿足PA//平面MQB，則PMMCA．14 B．13 C．12二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（）A．若a與b是單位向量，則aB．若非零向量a與b是相反向量，則|C．|D．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線10．△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=3a，sinB=A．π6 B．π3 C．π211．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1DA．若PD=3，則滿足條件的P點不唯一B．若PD=3，則點PC．若PD∥平面ACB1，則DPD．若PD∥平面ACB1，且PD=3，則平面BDP截正四棱柱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經典的有西施壺?石瓢壺?潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺（其他因素忽略不計），如圖給了一個石瓢壺的相關數據（單位：cm），那么該壺的側面積約為cm13．設x∈R，向量a=(x,1)，b=(3,?3)，且a⊥b，則14．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，M是邊BC邊上一點，∠BAM=30°，∠CAM=60°，且AM=2，則c+3b的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知復數z=a?i（i為虛數單位，a∈R），且z(1+i)是純虛數.（1）求復數z；（2）在復平面內，復數(z?mi)2(m∈R)對應的點位于第三象限，求實數16．已知向量a,b滿足|a|=2（1）求a與b的夾角；（2）若c=2a?b，17．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓半徑為R，且Rsin（1）求B；（2）若a>b，b=23，求a18．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F、G分別為棱（1）證明：B1E∥平面（2）在線段CC1是否存在一點N，使得平面NEF∥平面19．重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知∠AOB=π4，弓形花園的弦長AB=22，記弓形花園的頂點為M（1）將|OA|,|OB|用含有（2）該山莊準備在M點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設計OA,OB的長度，才使得噴泉M與山莊

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：z=2i故答案為：B.【分析】根據復數的乘除法運算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由正弦定理asinA=故答案為：B.【分析】直接利用正弦定理求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：因為△A'B'C'為等腰直角三角形且由斜二測畫法可得∠CAB=90°，所以S△ABC故答案為：B.【分析】根據斜二測畫法還原即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：由余弦定理知cosA=b2+c故答案為：C.【分析】直接利用余弦定理即可得解.5．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得AB?所以AB在OB上的投影向量為AB?故答案為：D.【分析】先求出AB?6．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：AB、連接A1C1,AC，則A又M∈A1C，所以M∈又M∈面AB1D，所以點M在面AC同理可得點O在面ACC1A所以A，M，O三點共線，故A錯誤，B正確；C、顯然OM,DD1為異面直線，D，D1D、由異面直線的定義可知AM,BB1是異面直線，A，B1故答案為：B.【分析】根據平面的基本性質，異面直線的定義，逐項判斷即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：因為AB=所以56AB=所以λ=65，μ=?3故答案為：D.【分析】利用平面向量的加法，減法和數乘得到AB=8．【答案】C【解析】【解答】解：連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，如圖所示：

因為底面ABCD為平行四邊形，所以O是AC中點，也是BD中點，而點Q是AD中點，所以N是△ABD的重心，AN=2因為PA//平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA//MN，于是得PMPC=AN故答案為：C.【分析】連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，由線面平行的性質定理可得PA//MN，再借助比例即可得解.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、a與b是單位向量且方向不同時，a?B、若非零向量a與b是相反向量，則a與b方向相反且模相等，即|aC、|aD、若b為零向量，a、c為非零向量，則a與c不一定共線，故D錯誤．故答案為：BC.【分析】利用相反向量的定義和數量積的定義以及數量積的公式逐項判斷即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：由sinB=sin2A，得sinB=2sinAcos因為0<A<π，b>a，所以A=π6，所以所以B=π3或B=2π3，當當B=2π3時，故答案為：AC.

【分析】利用正弦定理可得b=2acosA，結合條件可得A=π6，可求出11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：如圖，

因為DD1與上底面垂直，所以DA、若PD=3，則PD但B1D1B、由上可知PD1=C、連接A1D,A1C1,C1D，如圖，

由AA1與CC1平行且相等得ACC1A1是平行四邊形，所以AC//A1C1，又A1C1?平面AB1C，AC?平面在△DA1C1中，DAD、連接BD，AC交于點M，連接B1M，如圖，

由正四棱柱性質可得B1M=3，取B1D1中點P，由B1P與DM平行且相等可得DMB1P是平行四邊形，即DP=B1M=3，且DP//B1M，而DP?平面AB故答案為：BCD．【分析】由正四棱柱性質分別求出PD1的長，可判斷AB；由面面平行的性質確定P點軌跡后，由三角形性質得最大值，可判斷C；確定12．【答案】16【解析】【解答】解：石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖為該圓臺的軸截面，上底面半徑為r'=62則該圓臺的母線長為16+4側面積S=π(故答案為：165【分析】把石瓢壺的壺體近似看成一個圓臺，根據已知條件可求出母線長，再由圓臺側面積公式即可得解.13．【答案】3；[2【解析】【解答】解：因為a⊥b，所以a?b=0|ta+b|2=t2a當t=2時，|ta所以|ta+b故答案為：3；[23【分析】由向量垂直可解出x；利用平方的方法，結合二次函數的性質可求得|ta14．【答案】4【解析】【解答】解：如圖所示：

因為S△ABM+所以12所以12×2×c×1所以c+3當且僅當b=2，c=23時取等號，所以c+3b故答案為：43【分析】由S△ABM+S15．【答案】（1）解：因為z=a?i(a∈R)，且z(1+i)是純虛數，所以(a?i)(1+i)=(a+1)+(a?1)i是純虛數，則a+1=0a?1≠0，即a=?1所以z=?1?i.（2）解：(z?mi)2由題意可得1?(m+1)2<0所以實數m的取值范圍是(?∞【解析】【分析】（1）由復數乘法運算法則和純虛數概念即可得解；（2）根據復數運算法則以及幾何意義即可得解.16．【答案】（1）解：因為|a|=2，|b所以a?所以cosθ=22所以θ=π4，即a與b的夾角為（2）解：因為c+2則|c故|c【解析】【分析】（1）利用數量積的性質及運算律即可求解；（2）由c+217．【答案】（1）解：由題知Rsin所以sinA+2又C=π?(A+B)，所以sinA+2所以sinA=2因為0<A<π，sinA>0所以cosB=又0<B<π，所以B=π（2）解：因為cosB=所以a2?ac+1又csin所以a2因為A+C=π?B=2π所以A=2π3?C>B=所以0<sinC<3所以6<12?8si故a2?ac+1【解析】【分析】（1）由RsinA+bcosA=c，根據正弦定理得Rsin（2）由cosB=a2+c2?18．【答案】（1）證明：取AC的中點M，連接EM，GM如圖所示：在△ABC中，因為E、M分別為AB、AC的中點所以EM//BC且EM=1又G為B1C1的中點，B1C即B1G//EM且故四邊形EMGB1為平行四邊形，所以又MG?平面ACG，B1E?平面ACG，所以B（2）解：當N為CC1的中點時，平面NEF//平面證明：連接NE，NF如圖所示：因為N，F分別是CC1和BC的中點，所以因為NF?平面A1BC1，BC1因為EF//AC，AC//A1C因為EF?平面A1BC1，A1C又因為EF?平面NEF，NF?平面NEF，NF∩EF=F，所以平面NEF//平面A1【解析】【分析】（1）取AC中點M，連EM，GM，證明B1（2）N為CC1的中點時，平面NEF//平面A1BC19．【答案】（1）解：因為|OA|sinθ=|OB|所以|