1、4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 1 tay a cos 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 2 tayocos 設有一平面簡諧波沿設有一平面簡諧波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 波速為波速為 , ,坐標原點坐標原點 處質點的振動方程為處質點的振動方程為 x uo y x u a a o p x 表示質點表示質點 在在 時刻離開平衡位置的距離時刻離開平衡位置的距離. .t o y o 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 3 y x u a a o p x

2、 tayocos 考察波線上考察波線上 點點( (坐標坐標 ) ), , 點比點比 點的點的 振動落后振動落后 , , 點在點在 時刻的位移是時刻的位移是 點點 在在 時刻的位移，由此得時刻的位移，由此得 u x t tt pxpo pto )(ttyy op 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 4 ttattyy op cos)( u x ta cos 由于由于 為波傳播方向上任一點，因此上為波傳播方向上任一點，因此上 述方程能描述波傳播方向上任一點的振動述方程能描述波傳播方向上任一點的振動, , 具有一般意義，即為沿具有一般意義，即為沿 軸正方

3、向傳播的軸正方向傳播的 平面簡諧波的波函數，平面簡諧波的波函數，又稱波動方程又稱波動方程. . p x tatyocos)( 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 5 可得波動方程的幾種不同形式：可得波動方程的幾種不同形式： 利用利用 x ta x t t a u x tay 2 2 cos cos cos t 2 2 ut和和 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 6 )cos( xtay 2 x 2 x 2 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 7 )sin(

4、 xta t y v 2 avm )(cos u x ta t y a 2 2 2 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 8 )(cos u xx tay 0 x u p u xx u l t 0 a x 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 9 二二 波函數的物理含義波函數的物理含義 （波具有時間的周期性）（波具有時間的周期性）)()(ttxytxy, taycos 則則 x 2 令令 x tay 2 cos o y t 1 1、 一定，一定， 變化變化 xt 表示表示 點處質點的振動方程（點處質點的振動

5、方程（ 的關系）的關系）ty x 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 10 波線上各點的簡諧運動圖波線上各點的簡諧運動圖 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 11 ct 令令 （定值）（定值） x ay 2 cos 則則 y o x x tay 2 cos2 2、 一定一定 變化變化x t 該方程表示該方程表示 時刻波傳播方向上各質點時刻波傳播方向上各質點 的位移的位移, , 即即 時刻的波形（時刻的波形（ 的關系）的關系）t t xy 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學

6、 第五版第五版 12 方程表示在不同時刻各質點的位移，即方程表示在不同時刻各質點的位移，即 不同時刻的波形，體現了波的傳播不同時刻的波形，體現了波的傳播. . y x u o 3 3、 和和 都變都變xt 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 13 tay o cos y x u a a o p x 如圖，設如圖，設 點振動方程為點振動方程為o u x t 點振動比點振動比 點超前了點超前了 po 4 4 、沿、沿 軸方向傳播的波動方程軸方向傳播的波動方程 x 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 14 從

7、形式上看：從形式上看：波動是波形的傳播波動是波形的傳播. . 從實質上看：從實質上看：波動是振動的傳播波動是振動的傳播. . 對波動方程的各種形式，應著重從物對波動方程的各種形式，應著重從物 理意義上去理解和把握理意義上去理解和把握. . 故故 點的振動方程（波動方程）為：點的振動方程（波動方程）為：p )(cos)( u x tattyy o 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 15 例例1. 1. 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿 軸正方向傳播已知振軸正方向傳播已知振 幅幅 ， ， . . 在在 時坐標原點處的質點在平衡位置沿時坐標原點處的質點在平

8、衡位置沿 軸正向軸正向 運動運動. .求：求： (2)(2) 波形圖；波形圖；s0 .1t (3) (3) 處質點的振動規律并作圖處質點的振動規律并作圖. . m5 . 0 x (1)(1)波動方程；波動方程； m0 . 1a0tm0 . 2s0 . 2t ox oy 解解 (1) (1) 寫出寫出o o點振動方程式點振動方程式 costay 0 t 2 2 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 16 解法解法 二二 寫出波動方程的標準式寫出波動方程的標準式 )(2cos x t t ay m 2 01 0 cos. tym/s 1 t u m 2

9、01)(cos. u x ty m 2 01)(cos. xty 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 17 2 0,0 t y yv 00 xt )(2cos x t t ay y a o 2 ) 0 . 20 . 2 (2cos xt y(m) 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 18 (2)(2)求求 波形圖波形圖s0.1t 2 cos0 .1xy 波形方程波形方程 s0.1t 0 m/y m/x 2.0 1.0 -1.0 時刻波形圖時刻波形圖s0.1t 2 ) 0 . 20 . 2 (2cos0

10、. 1 xt y xsin(m) 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 19 (3) (3) 處質點的振動規律并作圖處質點的振動規律并作圖 m5 . 0 x 2 ) 0 . 20 . 2 (2cos0 . 1 xt y 處質點的振動方程處質點的振動方程m5 .0 x cos ty(m) 0 m/y 1.0 -1.0 s/t2.0 o y * * * * * 處質點的振動曲線處質點的振動曲線m5 .0 x 1 2 3 4 1 2 3 4 1.0 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 20 例例2 2 一平面簡

11、諧波以速度一平面簡諧波以速度 沿直線傳播，波線上點沿直線傳播，波線上點 a 的簡諧運動方程的簡諧運動方程 -1 sm20u )4cos(103 2 tya 求求: :(1)(1)以以 a 為坐標原點，寫出波動方程；為坐標原點，寫出波動方程； (2)(2)以以 b 為坐標原點，寫出波動方程；為坐標原點，寫出波動方程； (3)(3)求傳播方向上點求傳播方向上點c、d 的簡諧運動方程；的簡諧運動方程； (4)(4)分別求出分別求出 bc ，cd 兩點間的相位差兩點間的相位差. . u abcd 5 m9 m x o 8 m 單位分別為單位分別為m，s).s).yt, ,; ( 4-6 4-6 平面簡

12、諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 21 (1) (1) 以以 a 為坐標原點，寫出波動方程為坐標原點，寫出波動方程 m10 ut m103 2 as5 . 0t0 )(2cos x t t ay u abcd 5 m9 m x o 8 m ) 105 . 0 (2cos103 2 xt y (m) 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 22 ab ab xx 2 10 5 2 b )4cos(103 2 tyb (2) (2) 以以 b 為坐標原點，寫出波動方程為坐標原點，寫出波動方程 )4cos(103 2 ty a u

13、abcd 5 m9 m x o 8 m ) 105 . 0 (2cos103 2 xt y(m) 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 23 (3) (3) 寫出傳播方向上點寫出傳播方向上點c、d的運動方程的運動方程 點點c 的相位比點的相位比點a 超前超前 )24cos(103 2 ac tyc m10 u abcd 5 m9 m x o 8 m )4cos(103 2 ty a ) 5 13 4cos(103 2 t(m) 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 24 點點 d 的相位落后于點的相位落后于

14、點 a )2cos(4103 2 ad tyd m10 u abcd 5 m9 m x o 8 m m10 )4cos(103 2 ty a (m) 5 9 cos(4103 2 t 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 25 (4)(4)分別求出分別求出 bc ，cd 兩點間的相位差兩點間的相位差 tya)s4cos()m103( 12 4 . 4 10 22 22 dc dc xx 6 . 1 10 8 22 cb cb xx m10 u abcd 5 m9 m x o 8 m m10 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 26 4-6 4-6 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 物理學物理學 第五版第五版 27 stma1001023 2 . )cos( t t