1、 直線的傾斜角與斜率、直線方程基礎訓練1設直線 axbyc0 的傾斜角為 ，且 sin cos 0，則 a，b 滿足()aab1 bab1cab0 dab0答案：d 解析：因為 sin cos 0，所以 tan 1.又因為 為傾斜角，所以斜率 k1.a而直線 axbyc0 的斜率 k ，ba所以 1，b即 ab0.22019 福建四地六校 3 月聯考已知函數 f(x)asin xbcos44 x(a0，b0)，若 fx x ，則直線 0 的傾斜角為ax by c f ()a.42b.33d.c.3444 答案：d 解析：由 f f ，知函數 f(x)的圖象關于 x x x 4對稱， 所以 f(

2、0)f ，所以 ab， 2 a則直線 axbyc0 的斜率為 k 1,b3所以該直線的傾斜角為 ，故選 d.43直線 l 過點 p(1,0)，且與以 a(2,1)，b(0， 3)為端點的線段有 公共點，則直線 l 斜率的取值范圍為(a 3，1)b(， 31，) 3c. ，133d. ， 1，)3101，k 30 3，答案：b 解析：因為 k ap2101bp所以 k(， 31，)4已知 a(1,1)，b(3,1)，c(1,3)，則abc 的 bc 邊上的高所在的直線方程為(axy0cxy20)bxy20dxy0答案：b 解析：因為 b(3,1)，c(1,3)31所以 k bc1，13故 bc

3、邊上的高所在直線的斜率 k1.又高線經過點 a，所以其所在的直線方程為 xy20.52019 安徽皖南八校聯考已知直線 l 平分圓 c：x y 6x226y2 0 的周長，且直線 l 不經過第三象限，則直線 l 的傾斜角 的取值范圍為()a90，135 b90，120c60，135 d90，150答案：a 解析：圓 c：x y 6x6y20 的標準方程為(x223) (y3) 16，22故直線 l 過圓 c 的圓心(3，3)，因為直線 l 不經過第三象限，結合圖象可知 tan 1， 解得 90，135，故選 a.362019 黑龍江哈爾濱第六中學期末若 2，則直線cos x2y1 必不經過()

4、sin a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案：b 解析：令 x0，得 ysin ；令 y0，得 xcos ，直線過(0，sin )，(cos ，0)兩點3 2，sin 0，2直線必不經過第二象限故選 b.72019 安徽五校聯考已知點 a(2,3)，b(3，2)，若直線 kxy1k0 與線段 ab 相交，則 k 的取值范圍是()34a. ，23b. ， 2，)4c(，12，)d1,2答案：b 解析：直線 kxy1k0 恒過 p(1,1)，k 2，kpapb343 ，故 k 的取值范圍是 ， 2，)故選 b.4y1x18點 m(x，y)在函數 y2x8 的圖象上，當 x2,5時，的取

5、值范圍是()1653a. ，2 b. 0，1 5c. ， d2,46 3答案：c 解析：當 x2,5時，函數 y2x8 的圖象是線段， 它的兩個端點分別為(2,4)，(5，2)，如圖所示y1表示動點(x，y)和定點(1，1)連線的斜率，x1且4(1) 5 2(1)16 ， ，32(1)5(1)y1x11 5的取值范圍是 ， .6 3故選 c.9若 a(1， 2)，b(5,6)，直線l 經過 ab 的中點 m 且在兩坐標軸上的截距相等，則直線 l 的方程為_答案：2x3y0 或 xy50 解析：設直線 l 在 x 軸、y 軸上的截距均為 a.由題意得 m(3,2)若 a0，即 l 過點(0,0)

6、和(3,2)，23所以直線 l 的方程為 y x，即 2x3y0；x ya a若 a0，設直線 l 的方程為 1，3 2因為直線 l 過點 m(3,2)，所以 1，a ax y5 5所以 a5，此時直線 l 的方程為 1，即 xy50.綜上，直線 l 的方程為 2x3y0 或 xy50.10過點 p(6，2)，且在 x 軸上的截距比在 y 軸上的截距大 1的直線方程為_ 答案：2x3y60 或 x2y20 解析：設直線方程的截距x y式為a1 1，a6 2則a1 1，a解得 a2 或 a1，x yx y 1，則直線的方程是21 1 或2111即 2x3y60 或 x2y20.11將直線 yx

7、31 繞它上面一點(1， 3)沿逆時針方向旋轉15，所得到的直線方程是_答案：y 3x 解析：由 yx 31，得直線的斜率為 1，所以傾斜角為 45.因為沿逆時針方向旋轉 15，傾斜角變為 60，所以所求直線的斜率為 3.又因為直線過點(1， 3)，所以旋轉后的直線方程為 y 3 3(x1)，即 y 3x.122019 廣東湛江質檢若關于 x 的方程|x1|kx0 有且只有一個正實數根，則實數 k 的取值范圍是_答案：k|k0 或 k1 解析：由題意，知|x1|kx 有且只有一個正實根，畫出 y|x1|和 ykx 的圖象，如圖所示，結合圖形，可得 k0 或 k1.強化訓練 1直線 l 經過點

8、a(1,2)，在 x 軸上的截距的取值范圍是(3，3)，則其斜率的取值范圍是()15a. 1，1b. ， (1，)215c(，1) ，12d(，1) ，答案：d 解析：設直線的斜率為 k，如圖，過定點 a 的直線經過點 b 時，直線 l 在 x 軸上的截距為 3，此 時 k1；過定點 a 的直線經過點 c 時，直線 l 在 x 軸上的截距為3，此 時1k .2由 圖 形 可 得 滿 足 條 件 的 斜 率 的 取 值 范 圍 是 ( ， 1) 12， .2已知點 a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直 線 yaxb(a0)將abc分割為面積相等的兩部分，則 b 的取值范圍是()2 1a(

9、0,1)b. 1 ， 2 22 11 13 2c. 1 ，d. ，2 3答案：b 解析：(1)當直線 yaxb 與 ab，bc 相交時(如圖 1)， axb，ya ba1由得 y ，xy1，eb又易知 x ，adb|bd|1 ，a1 1a b a b由 s ，dbe 2 a2a111得 b 0， .21 1a(2)當直線 yaxb 與 ac，bc 相交時(如圖 2)，axb，y1b，由得 x a1xy10，faxb，y1b得 x 1a由.xy1，g又知 cm1b，112由 s (x x ) |cm| ，得fcg 2 gf2222b11a21 ，1 (0 0 恒成立，122 b 0， 1 ，1

10、， 2 2 1即 b 1 ， .故選 b.2 23.已知直線 l 過點 a(1,2 3)，且傾斜角為直線 l ：3x 3y200的傾斜角的 2 倍，則直線 l 的方程為(a. 3xy 30)b. 3xy3 30d. 3xy 30c. 3xy3 30答案：c 解析：直線 l 的斜率 k 3，00所以傾斜角 ，302故直線 l 的傾斜角 2 ，斜率 k 3，30直線 l 的方程為 y2 3 3(x1)，即 3xy3 30.42019 山東、湖北名校聯考已知 a(2,0)，點 p(x，y)滿足 xy 2sin ，xy 2sin ，則直線 ap 的斜率的取值范圍44為 () 3 3a. ，b 3， 3

11、3 31 12 2c. ，d2,24xy 2sin ，答案：a 解析：由得 2sin ，x y4sin ，cos ，xy故 x y 1，22即點 p(x，y)是 x y 1 上的點2233如圖，過 a 向圓作切線，兩切線的斜率分別為 ， ，33 3 3由圖可知，k ， ，故選 a.3 352019 湖北天門期末已知三點 a(1，2)，b(a，1)，c(b,0)12a 2b共線，則(a0，b0)的最小值為()aba11c6b10d4答案：a 解析：根據題意，k k ，2ab1，abbc12a 2b1 21 24a b3 3 (2ab)34 7aba ba bb a4a b 11，b a21412

12、當且僅當 b2a，即 a ，b 時等號成立6已知 a(3,0)，b(0,4)，直線 ab 上一動點 p(x，y)，則 xy 的最大值是(a2 b3 c4 d6)x y3 4答案：b 解析：直線 ab 的方程為 1，34設 p(x，y)，則 x3 y，3 34 4xy3y y (y 4y)2234 (y2) 43.2 32即當點 p 的坐標為 ，2 時，xy 取最大值 3. 372019 西安碑林區校級期末已知點(1，2)和 ，0 在直線 l：3axy10(a0)的兩側，則直線 l 傾斜角的取值范圍是() 4 32 5a. ，b. ，3 6 3 2 c. 0， ，d. ， 343 3 答案：c

13、解析：解法一：由 axy10(a0)，得直線 l 過定點(0，1)，斜率為 a.1(2)兩條臨界直線的斜率分別為1，010(1) 3，3301a 3且 a0.設直線 l 的傾斜角為 ，則 atan .1tan 3且 tan 0， 30 或 0，b0)過點(1,1)，則該直線在 x 軸、y軸上的截距之和的最小值為(a1 b2)c4 d8答案：c 解析：因為直線 axbyab(a0，b0)過點(1,1)，1 1所以 abab，即 1，a b1 1所以 ab(ab) a bb aa bb a 4，a b2 22當且僅當 ab2 時等號成立所以直線在 x 軸、y 軸上的截距之和的最小值為 4.9過點

14、p(4,1)作直線 l 分別交 x，y 軸正半軸于 a，b 兩點，當aob 面積最小時，直線 l 的方程為_x y答案：x4y80 解析：設直線方程為 1，a b4 1因為直線過點 p(4,1)，所以 1.a b124 1aob 的面積 s ab， 12a b4，ab解得 ab16，4 1當且僅當 ，即 a8，b2 時等號成立，a b此時aob 的面積 s 有最小值 8，x y8 2直線 l 的方程為 1，即 x4y80.102019 遼寧沈陽質量監測如圖，射線 oa，ob 分別與 x 軸正半軸成 45和 30角，過點 p(1,0)作直線 ab 分別交 oa，ob 于 a，b12兩點，當 ab

15、 的中點 c 恰好落在直線 y x 上時，則直線 ab 的方程為_ 答案：(3 3)x2y3 30 解析：由題意，可得 k tan 45oa31，k tan(18030) ，ob33所以直線 l 與直線 l 的方程分別為 yx，y x.3oaob設 a(m，m)，b( 3n，n)，m 3n mn所以 ab 的中點 c，2212由點 c 在 y x 上，且 a，p，b 三點共線，得mn 1 m 3n 2 2 2，解得 m 3，m0n0，m1 3n1所以 a( 3， 3)3 3 3又 p(1,0)，所以 k k ，231abap3 3所以 l ：yab(x1)，2即直線 ab 的方程為(3 3)x2y3 30.11直線 l 的傾斜角是直線 4x3y10 的傾斜角的 一半，若直線 l 不過坐標原點，則直線 l 在 x 軸上與 y 軸上的截距之比為_答案：2 解析：設直線 l 的傾斜角為 ， 4則 tan 2 ，32tan 4即 ，31tan 212所以 tan 2 或 tan .由 20，180)可知，0，90)，1所以 tan .2設直線 l