1、 .專題 3 圓的基本性質題型一 點與圓的位置關系例 1 2017大冶校級月考若o的半徑為 5 cm，平面上有一點 a，oa6 cm，那么點 a與o的位置關系是( a )a點 a在o 外c點 a在o 內b點 a在o 上d不能確定【解析】 o的半徑為 5 cm，oa6 cm，dr，點 a與o的位置關系是點 a在o外變式跟進12016宜昌在公園的 o處附近有 e，f，g，h四棵樹，位置如圖 1所示(圖中小正方形的邊長均相等)現計劃修建一座以 o為圓心，oa為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則 e，f，g，h四棵樹中需要被移除的為( a )圖 1ae，f，gcg，h，ebf，g，hdh，e，f【解

2、析】 oa 12 5，o e2o a，點 e在o內；of2oa，點 f在o內；og1oa，2點 g在o內；oh 222 2oa，點 h在o外22題型二 垂徑定理及其推論例 2 如圖 2，o的直徑 cd10，弦 ab8，a bcd，垂足為 m，則 dm的長為( d )b6 c7 d8a5圖 2例 2答圖【解析】 連結 oa，如答圖所示o的直徑 cd10，oa5，11弦 ab8，abcd，am ab 84，22在 rtaom中，om oaam22 543，22dmodom538. .【點悟】 已知直徑與弦垂直的問題中，常連半徑構造直角三角形，其中斜邊為圓的半徑，兩直角邊是弦長的一半和圓心到弦的距離

3、，從而運用勾股定理來計算變式跟進2如圖 3，ab為o的直徑，弦 cdab于點 e，若 cd8，且 aebe14，則 ab的長度為( a )5a10b5 c12 d.3圖 3第 2題答圖【解析】 如答圖，連結 oc，設 aex，aebe14，be4x，oc2.5x，oe1.5x，cdab，1cede cd4，rtoce中，oeceoc，(1.5x)4(2.5x)，x2，ab10.22222223有一座弧形的拱橋如圖 4，橋下水面的寬度 ab為 7.2 m，拱頂與水面的距離 cd的長為 2.4 m，現有一艘寬 3m，船艙頂部為長方形并且高出水面 2 m的貨船要經過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？

4、圖 4第 3題答圖解：如答圖，連結 on，o b.ocab，d為 ab中點，1ab7.2 m，bd ab3.6 m.2又cd2.4 m，設 oboconr，則 od(r2.4)m.在 rtbod中，由勾股定理得 r(r2.4)3.6，解得 r3.9.222cd2.4 m，船艙頂部為長方形并高出水面 2 m，ce2.420.4(m)，oerce3.90.43.5(m)，在 rtoen中，enonoe3.93.52.96(m )，en1.72(m)222222mn2en21.723.44 m3，此貨船能順利通過這座弧形拱橋題型三 圓周角定理的綜合例 3 2017市南區一模如圖 5，在直徑為ab的o

5、中 ，c，d是o上的兩點，aod58，cdab，則abc的度數為_61_. .圖 5【解析】 aod58，acdaod29，cdab，cabacd29，ab 是直徑，acb90，abc902961.【點悟】 (1)在同圓(或等圓)中，圓心角(或圓周角)、弧、弦中只要有一組量相等，則其他對應的各組量也分別相等，利用這個性質可以將問題互相轉化，達到求解或證明的目的；(2)注意圓中的隱含條件(半徑相等)的應用；(3)圓周角定理及其推論，是進行圓內角度數轉化與計算的主要依據，遇直徑，要想到直徑所對的圓周角是90，從而獲得到直角三角形；遇到弧所對的圓周角與圓心角，要想到同弧所對的圓心角等于圓周角的2 倍

6、以及同弧所對的圓周角相等變式跟進4如圖 6，o 是正方形 abcd的外接圓，點 p 在o 上，則apb_45_圖 6第 4 題答圖【解析】 如答圖，連結 oa，ob.根據正方形的性質，得aob90.再根據圓周角定理，得apb45.52017永嘉二模如圖 7，已知 ab 是半圓 o 的直徑，ocab 交半圓于點 c，d 是射線 oc 上一點，連結ad 交半圓 o 于點 e，連結 be，ce.(1)求證：ec 平分bed；(2)當 ebed 時，求證：aece.圖 7證明：(1)ab 是半圓 o 的直徑，aeb90，deb90.ocab，第 5 題答圖aocboc90，bec45，dec45.be

7、cdec，即 ec 平分bed；(2)如答圖，連結 bc，oe，. .bede， becdec在bec與dec中， ，ec ec ，becdec，cbecde.cde90aabe，abecbe.aoecoe，aece.題型四 弧長的計算 例 4 如圖 8，abc是正三角形，曲線 cdef叫做“正三角形的漸開線”，其中，cd，de，ef，圓心依次按 a，b，c循環，它們依次相連結若 ab1，則曲線 cdef的長是_4 _(結果保留 )圖 8120 1 2 120 2 4 120 31802【解析】 cd的長是，de的長是，ef的長是2 ，則曲線 cdef的長是 1803180334 2 4 .3

8、變式跟進166一個扇形的半徑為 8 cm，弧長為 cm，則扇形的圓心角為_120_316n 8180【解析】 設扇形的圓心角為 n，根據題意得 ，解得 n120，扇形的圓心角為 120.3題型五 扇形的面積計算 例 5 2016河南如圖 9，在扇形 aob中，aob90，以點 a為圓心，oa的長為半徑作oc交ab于點 c，1若 oa2，則陰影部分的面積是3 3圖 9例 5答圖【解析】 如答圖，連結 oc，ac，oac是等邊三角形，扇形 obc的圓心角是 30，陰影部分的面積等于扇形30 2 136060 22 2 3，s 1322obc的面積減去弓形 oc的面積s扇形 obc，s弓形 oc33

9、604332陰影21 3 3 .33【點悟】 求不規則圖形的面積，常轉化為易解決的基本圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出. .結果變式跟進7若扇形的半徑為 3 cm，扇形的面積為 2 cm，則該扇形的圓心角為_80_，弧長為_ _cm.423n 3214【解析】 由2 ，解得 n80，由 2 l3，解得 l .360238如圖 10，以 ab為直徑的o經過 ac的中點 d，d ebc于點 e，若 de1，c30，則圖中陰影部分的面43積是 9 3圖 10【解析】 c30，de1，dec90，d c2，odbc，oda30，odoa，oad22 3120 ，s 陰影2 33313 4

10、 2 .3 93oda30，aod120，o a36023題型六 圓錐例 6 2017西湖區校級三模一個圓錐的側面展開圖是圓心角為 120且半徑為 6 的扇形，則這個圓錐的底面半徑為( b )a2b2 c2.5d3【解析】 設這個圓錐的底面半徑為 r，根據題意，得 2 r120 6，解得 r2.180【點悟】 (1)圓錐側面展開圖是一個扇形；(2)圓錐的底面周長是其側面展開圖的弧長；(3)圓錐的母線就是其側面展開扇形的半徑變式跟進9一個圓錐的底面半徑是 5 cm，其側面展開圖是圓心角為 150的扇形，則圓錐的母線長為( b )a9 cmb12 cm c15 cm d18 cm【解析】 設圓錐的

11、母線長為 l，根據題意得 2 5150 l，解得 l12.即圓錐的母線長為 12 cm.180過關訓練1一個圓錐形的圣誕帽底面半徑為 12 cm，母線長為 13 cm，則圣誕帽的側面積為( b )a312 cm2c78 cm2b156 cm2d60 cm21【解析】 圓錐的底面周長是 122 24 ，則圓錐的側面積是 24 13156 (cm )22. .22017連云港三模一個滑輪起重裝置如圖 1所示，滑輪的半徑是 15 cm，當重物上升 15 cm時，滑輪的一條半徑 oa繞軸心 o按順時針方向旋轉的角度約為( 取 3.14，結果精確到 1)( c )圖 1a115c57b60d29n 15

12、180【解析】 根據題意得 15，解 得 n57，oa繞軸心 o按順時針方向旋轉的角度約為 57.1803一個隧道的橫截面如圖 2所示，它的形狀是以點 o為圓心，5為半徑的圓的一部分，m是o中弦 cd的中點，em經過圓心 o交o于點 e.若 cd6，則隧道的高(me的長)為( d )圖 2a4c8b6d91【解析】 m是o弦 cd的中點，根據垂徑定理：e mcd，又 cd6，則有 cm cd3，設 om是 x，在 rt2com中，有 occmom，即 53x，解得 x4，em549.222222 42017大慶模擬如圖 3是圓內接正方形 abcd，分別將ab，bc，cd，da沿邊長 ab，bc

13、，cd，da向內翻折，已知 bd2，則陰影部分的面積為_4 _圖 3【解析】 由圓內接正方形的性質知，正方形的邊長等于半徑的 2倍，陰影部分的面積( 2) ( 2)224 .52016貴港如圖 4，在 rtabc中，c90，bac60，將abc繞點 a逆時針旋轉 60后得到ade，2若 ac1，則線段 bc在上述旋轉過程中掃過部分(陰影部分)的面積是_ _(結果保留 ). .圖 460 2 260 1 22【解析】 c90，bac60，a c1，ab2，s扇形 bad，s扇形 cae ，則3603360623 .6 2s s陰影s s s扇形 ace扇形 dababcade6將一盛有不足半杯水

14、的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖5所示，已知水杯的半徑是 4 cm，水面寬度 ab是 4 3 cm.(1)求水的最大深度(即 c d)是多少？(2)求杯底有水部分的面積(陰影部分)圖 5解：(1)odab，ab4 3 cm，11bc ab 4 32 3(cm)，22在 rtobc中，ob4 cm，bc2 3(cm)，oc obbc 4（2 3） 2(cm)，2222dcodoc422(cm)水的最大深度(即 cd)是 2 cm；1(2)oc2，ob4，oc ob，2abo30，oaob，baoabo30，aob120，11s aboc 4 324 3，22aob

15、120 4 162s扇形 oab ，360316s s s 4 3 cm.23陰影扇形aob. .72017蘇州一模如圖 6，已 知 rtabd 中，a90，將斜邊 bd 繞點 b 順時針方向旋轉至 bc，使 bcad，過點 c 作 cebd 于點 e.(1)求證：abdecb；(2)若abd30，be3，求cd的長圖 6解：(1)證明：a90，cebd，abec90.bcad，adbebc.將斜邊 bd 繞點 b 順時針方向旋轉至 bc，bdbc.在abd和ecb中，adbebc， a bec， abdecb；bd cb ，(2)abdecb，adbe3.a90，abd30，bd2ad6，b

16、cad，aabc180，abc90，dbc60，60 6180cd的長為2 .82017高密模擬如圖 7，ab 為圓 o 的直徑，c dab 于點 e，交圓 o 于點 d，ofac 于點 f.1(1)求證：of bd；2(2)當d30，bc1 時，求圓中陰影部分的面積圖 7第 8 題答圖解：(1)證明：ofac，affc，oaob，bc2of，abcd，. . 1bcbd，bcbd，of bd；2(2)如答圖，連結 oc，則 ocoaob，d30，ad30，cob2a60，aoc120，ab 為o 的直徑，acb90，在 rtabc 中，bc1，ab2，ac 3，ofa c，afcf，oaob

17、，11of 是abc 的中位線，of bc ，221113s acof 3 ，222 4aoc13s扇形 aocoa ，2333s s陰影s .4扇形 aocaoc92017河北區二模如圖 8，在rtabc 中，abc90，點m 是 ac 的中點，以ab 為直徑作o 分別交ac，bm 于點 d，e.(1)求證：mdme；(2)如圖，連結 od，oe，當c30時，求證：四邊形 odme是菱形圖 8證明：(1)在 rtabc 中，點 m 是 ac 的中點，mamb，amba，四邊形 abed是圓內接四邊形，adeabe180，而ademde180，mdemba.同理可得meda，mdemed，mdme；(2)c30，a60，abm60，oad和obe 為等邊三角形，boe60，boea，. .oeac，同理可得 odbm，四邊形 doem為平行四邊形，而 odoe，四邊形 odme是菱形102017東莞校級模擬如圖 9，o 的內接四邊形 abcd兩組對邊的延長線分別交于