1、 -江蘇省南通市啟東市高一（上）期末數學試卷一、填空題（共 14 小題，每小題 5 分，滿分 70 分）1（5 分）求值：sin1440=2（5 分）計算 10 +log 25=lg353（5 分）設向量 =（k，2）， =（1，1），且 ，則實數 k 的值為4（5 分）滿足1 a 1，2，3，4的集合 a 的個數為5（5 分）設函數 f（x）=，則 f（f（2）=6（5 分）已知 （0，），sin+cos= ，則 tan=7（5 分）若函數 f（x）=3 +b 的圖象不經過第二象限，則 b 的取值范圍為x8（5 分）已知 sin= ，（0， ），則 sin（2 ）=9（5 分）平面向量 ，|

2、 |=2，則 =10（5 分）已知函數 y=f（x），xr，對于任意的 x，yr，f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）= ，則 f（2016）=11（5 分）若 （ ，2），化簡+=12（5 分）函數 f（x）=log （ax x2a）在區間（，1）上是單調減函數，則實數 a22的取值范圍是13（5 分）若 ， 是單位向量，且 = ，若向量 滿足 = =2，則| |=14（5 分）已知函數 f（x）=2sin（2x ）1 在區間a，b（a，br，且 ab）上至少含有 10 個零點，在所有滿足條件的a，b中，ba 的最小值為二、解答題（共 6 小題，滿分 90 分）15（14 分）設函

3、數 f（x）=（1）求定義域 a；+的定義域是 a，集合 b=x|mxm+2（2）若 ab=a，求 m 的取值范圍16（14 分）如圖，在平行四邊形 abcd 中，p，q 分別是 bc 和 cd 的中點- -（1）若 ab=2，ad=1，bad=60，求 及 cosbac 的余弦值；（2）若 = +，求 + 的值17（14 分）已知函數 y=f（x）是 r 上的偶函數，且當 x0 時，f（x）=log （1x）+x（1）求 f（1）的值；（2）求函數 y=f（x）的表達式，并直接寫出其單調區間（不需要證明）；（3）若 f（lga）+20，求實數 a 的取值范圍18（16 分）已知 ar，函數

4、f（x）=x 2ax+52（1）若 a1，且函數 f（x）的定義域和值域均為1，a，求實數 a 的值；（2）若不等式 x|f（x）x |1 對 x ， 恒成立，求實數 a 的取值范圍219（16 分）如圖所示，我市某居民小區擬在邊長為 1 百米的正方形地塊 abcd 上劃出一個三角形地塊 apq 種植草坪，兩個三角形地塊 pab 與 qad 種植花卉，一個三角形地塊 cpq 設計成水景噴泉，四周鋪設小路供居民平時休閑散步，點 p 在邊 bc 上，點 q 在邊 cd 上，記pab=a（1）當paq= 時，求花卉種植面積 s 關于 a 的函數表達式，并求 s 的最小值；（2）考慮到小區道路的整體規

5、劃，要求 pb+dq=pq，請探究paq 是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由20（16 分）已知函數 f（x）= sinxcosx+sin x 2（1）求 f（x）的最小正周期及其對稱軸方程；（2）設函數 g（x）=f（+ ），其中常數 0，| （i）當 =4，= 時，函數 y=g（x）4f（x）在 ， 上的最大值為 ，求 的值；- -（ii）若函數 g（x）的一個單調減區間內有一個零點，且其圖象過點 a（，1），記函數 g（x）的最小正周期為 t，試求 t 取最大值時函數 g（x）的解析式- -2019-2020 學年江蘇省南通市啟東市高一（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一

6、、填空題（共 14 小題，每小題 5 分，滿分 70 分）1（5 分）求值：sin1440= 0 【解答】解：sin1440=sin（4360）=sin0=0故答案為：02（5 分）計算 10 +log 25= 5 lg35【解答】解：原式=3+2=5故答案為：53（5 分）設向量 =（k，2）， =（1，1），且 ，則實數 k 的值為 2 【解答】解： ，k2=0，解得 k=2故答案為：24（5 分）滿足1 a 1，2，3，4的集合 a 的個數為 7 【解答】解：若1 a 1，2，3，4，則 a=1，2或1，3或1，4或1，2，3或1，2，4或1，3，4或1，2，3，4顯然這樣的集合 a 有

7、 7 個，故答案為：75（5 分）設函數 f（x）=，則 f（f（2）= 3 【解答】解：函數 f（x）=，f（2）=2 +2=2，2- -f（f（2）=f（2）=（ ） 1=32故答案為：36（5分）已知 （0，），sin+cos= ，則 tan= 【解答】解：（0，），sin+cos= ，+cos=1， 為鈍角，結合 sin22可得 sin= ，cos= ，則 tan= ，故答案為： 7（5分）若函數 f（x）=3 +b的圖象不經過第二象限，則 b的取值范圍為 （，1 x【解答】解：由函數 y=3 +b的圖象不經過第二象限，x可得 1+b0，求得 b1，故答案為：（，18（5分）已知 si

8、n= ，（0， ），則 sin（2 ）=【解答】解：sin= ，（0， ），cos=，sin（2 ）= 故答案為： 9（5分）平面向量 ，| |=2，則 = 4 【解答】解： ，且| |=2，=0，- -則故答案為：410（5 分）已知函數 y=f（x），xr，對于任意的 x，yr，f（x+y）=f（x）+f（y），若 f（1）= ，則 f（2016）= 1008 【解答】解：函數 y=f（x），xr，對于任意的 x，yr，f（x+y）=f（x）+f（y），令 x=0，y=0 得 f（0）=f（0）+f（0）即 f（0）=0，令 y=x 代入得 f（0）=f（x）+f（x）=0 所以原函數是奇

9、函數，f（x+y）=f（x）+f（y），f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），f（n）=nf（1），f（1）= ，f（2016）=f（2016）=2016f（1）=2016 =1008故答案為：100811（5分）若 （【解答】解：（，2），化簡+=，2）， （），+=故答案為：12（5分）函數 f（x）=log（axx2a）在區間（，1）上是單調減函數，則實數 a22的取值范圍是 0，1） 【解答】解：令 g（x）=axx2a，2a=0時，g（x）=x，在（，1）遞減，故 f（x）在（，1）遞減，符合題意，a0時，則 a0，g（x）的對稱軸 x= 0，- -故 g（

10、x）在（，1）遞減，只需 g（1）=a+12a0 即 a1 即可，綜上：0a1，故答案為：0，1）13（5 分）若 ， 是單位向量，且 = ，若向量 滿足 = =2，則| |=【解答】解： ， 是單位向量，且 = ，不妨設 =（1，0）， =設 =（x，y） = =2，x=2，y=2，解得 y= =（2， ）則| |= 故答案為： 14（5 分）已知函數 f（x）=2sin（2x ）1 在區間a，b（a，br，且 ab）上至少含有 10 個零點，在所有滿足條件的a，b中，ba 的最小值為【解答】解：函數 f（x）=2sin（2x ）1，令 f（x）=0，即 2sin（2x ）1，sin（2x

11、）= ，解得：x=故相鄰的零點之間的間隔依次為 ，y=f（x）在a，b上至少含有 10 個零點，等價于 ba 的最小值為 4故答案為：或 x=，（kz）+5 =二、解答題（共 6 小題，滿分 90 分）- -15（14 分）設函數 f（x）=（1）求定義域 a；+的定義域是 a，集合 b=x|mxm+2（2）若 ab=a，求 m 的取值范圍【解答】解：（1）函數 f（x）=+的定義域是 a，定義域 a=x|=x|1x4（2）a=x|1x4，b=x|mxm+2，ab=a，b a，當 b= 時，mm+2，無解；當 b 時，解得 1m2m 的取值范圍是1，216（14 分）如圖，在平行四邊形 abc

12、d 中，p，q 分別是 bc 和 cd 的中點（1）若 ab=2，ad=1，bad=60，求 及 cosbac 的余弦值；（2）若 = +，求 + 的值【解答】解：（1）平行四邊形 abcd 中，ab=2，ad=1，bad=60， = （ + ）= + =2 +21cos60=5，22| | = =（ + ） = +2 + =2 +221cos60+1=7，222222| |= ，cosbac=；（2）p，q 分別是 bc 和 cd 的中點 = + = +， = ， + =（ +）+（ ），- -，解得：+=17（14 分）已知函數 y=f（x）是 r 上的偶函數，且當 x0 時，f（x）=l

13、og （1x）+x（1）求 f（1）的值；（2）求函數 y=f（x）的表達式，并直接寫出其單調區間（不需要證明）；（3）若 f（lga）+20，求實數 a 的取值范圍【解答】解：（1）f（1）=f（1）=2；（2）令 x0，則x0，則 f（x）=（1+x）x=f（x），故 x0 時，f（x）=故 f（x）=（1+x）x，；故 f（x）在（，0遞增，在（0，+）遞減；（3）若 f（lga）+20，即 f（lga）2，lga0 時，f（lga）f（1），則 lga1，lga0 時，f（lga）f（1），則 lga1，故 lga1 或 lga1，解得：a10 或 0a - -18（16 分）已知 a

14、r，函數 f（x）=x 2ax+52（1）若 a1，且函數 f（x）的定義域和值域均為1，a，求實數 a 的值；（2）若不等式 x|f（x）x |1 對 x ， 恒成立，求實數 a 的取值范圍2【解答】解：（1）f（x）的圖象開口向上，對稱軸為 x=a1，f（x）在1，a上單調遞減，f（1）=a，即 62a=a，解得 a=2（2）不等式 x|f（x）x |1 對 x ， 恒成立，2即 x|2ax5|1 對 x ， 恒成立，故 a且 a在 x ， 恒成立，令 g（x）=，x ， ，則 g（x）=，令 g（x）0，解得： x ，令 g（x）0，解得： x ，故 g（x）在 ， ）遞增，在（ ， 遞

15、減，故 g（x） =g（ ）= ，max令 h（x）=，x ， ，h（x）=0，故 h（x）在 x ， 遞減，h（x） =h（ ）=7，min綜上： a719（16 分）如圖所示，我市某居民小區擬在邊長為 1 百米的正方形地塊 abcd 上劃出一個三角形地塊 apq 種植草坪，兩個三角形地塊 pab 與 qad 種植花卉，一個三角形地塊 cpq 設計成水景噴泉，四周鋪設小路供居民平時休閑散步，點 p 在邊 bc 上，點 q 在邊 cd 上，記pab=a（1）當paq= 時，求花卉種植面積 s 關于 a 的函數表達式，并求 s 的最小值；（2）考慮到小區道路的整體規劃，要求 pb+dq=pq，請

16、探究paq 是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由- -【解答】（本題滿分為 12 分）解：（1）邊長為 1 百米的正方形 abcd 中，pab=a，paq= ，pb=100tan，dq=100tan（ ）=100tan（ ），s=s +s =adq=100100tan+100tan（ ）花卉種植面積abp=，其中 0， ，當 sin（2+ ）=1 時，即 = 時，s 取得最小值為 5000（2 ）（8 分）（2）設pab=，qad=，cp=x，cq=y，則 bp=100x，dq=100y，在abp 中，tan=tan（+）=，在adq 中，tan=，=，pb+dq=pq，100x+

17、100y=，整理可得：x+y=100+，tan（+）=+= ，=1，paq 是定值，且paq= （12 分）20（16 分）已知函數 f（x）= sinxcosx+sin x 2（1）求 f（x）的最小正周期及其對稱軸方程；- -（2）設函數 g（x）=f（+ ），其中常數 0，| （i）當 =4，= 時，函數 y=g（x）4f（x）在 ， 上的最大值為 ，求 的值；（ii）若函數 g（x）的一個單調減區間內有一個零點 ，且其圖象過點 a（ ，1），記函數 g（x）的最小正周期為 t，試求 t 取最大值時函數 g（x）的解析式【解答】解：（1）函數 f（x）= sinxcosx+sin x 2

18、化簡可得：f（x）= sin2x cos2x=sin（2x ）f（x）的最小正周期 t=由 2x = ，（kz），可得對稱軸方程為：x=（2）由函數 g（x）=f（+ ）=sin（x+），（kz）（i）當 =4，= 時，函數 y=g（x）4f（x）=sin（4x+ ）4sin（2x ）=cos（4x ）4sin（2x ）=12sin （2x ）4sin（2x ）=2sin（2x2 ）+ +1+2 22x ， 上，則 2x 0， 故 sin（2x ）0，1當 1，0時，則有 1+2 = ，解得：= ；2當 （0，+）時，sin（2x ）=0 時，y 取得最大值，此時2sin（2x ）+ +1+2 =1，22與題意不符當 （