1、專題檢測（十二）空間位置關系的判斷與證明一、選擇題1 已知E, F, G, H是空間四點，命題甲：E, F, G H四點不共面，命題乙：直線 EF和GH不相交，則甲是乙成立的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選B 若E, F, G H四點不共面，則直線 EF和GH肯定不相交，但直線 EF和GH 不相交，E F, G H四點可以共面，例如 EF/ GH故甲是乙成立的充分不必要條件.2.關于直線a, b及平面a , （3 ,下列命題中正確的是（）A.若a/ a, aA 3= b,貝9a /bB.若a 丄 3 , ma ,貝U ml3C.若a丄a ,

2、 a/ 3 ,貝9 a丄3D.若a / a , b丄 a,貝U bL a解析：選C A是錯誤的，因為a不一定在平面 3內，所以a , b有可能是異面直線;B是錯誤的，若 a丄3 , m/ a ,則m與3可能平行，可能相交，也可能線在面內，故B錯誤；C是正確的，由直線與平面垂直的判斷定理能得到C正確；D是錯誤的，直線與平面垂直，需直線與平面中的兩條相交直線垂直.3.已知空間兩條不同的直線 m n和兩個不同的平面 a , 3,則下列命題中正確的是 （ ）A.若m/a,n/3 ,a/3 ,則ni/ nB.若m/a,n丄3 ,a丄3 ,則ni/ nC.若mla,n/3，a丄3，則mL nD.若mla,

3、n丄3 ,a丄3 ,則mL n解析：選D若m/ an/3 ,a/ 3 ,則m與n平行或異面，即 A錯誤；若m/n丄3 , a丄3，貝U m與n相交或平行或異面，即B錯誤；若ml a, n /卩，a丄3，則m與n相交、平行或異面，即 C錯誤，故選D.4.如圖，在三棱錐 P-ABC中，不能證明 API BC的條件是（）A. API PB API PCB. API PB BCL PBC. 平面 BPCL平面 APC BCL PCD. API平面 PBC解析：選B A中，因為 APL PB API PC PBA PC= P,所以API平面PBC又BC?平面PBC所以APL BC故A正確；C中，因為平面

4、 BPCL平面 APC平面BP6平面 APC= PC,BCL PC所以BC丄平面APC又AP?平面APC所以APL BC故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出 AP丄BC故選B.5.如圖，以等腰直角三角形 ABO的斜邊BC上的高AD為折痕，把厶ABDA ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論: BDLAC BAC是等邊三角形； 三棱錐D-ABC是正三棱錐； 平面ADCL平面ABC其中正確的結論是（）A.B .C.D .解析：選B 由題意知，BDL平面ADC故BDL AC正確；AD為等腰直角三角形 ABC的斜邊BC上的高，平面 ABDL平面ACD所以AB= AC= BC

5、 BAC是等邊三角形，正確； 易知DA= DB- DC結合知正確；由知不正確.故選B.6. （2018 全國卷I ）已知正方體的棱長為 1，每條棱所在直線與平面 a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.3*34B.C.D.解析：選A 如圖所示，在正方體 ABCDABCD中，平面 ABD與 棱AA, AB, AD所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與 AiA, AB,AiD平行，故正方體 ABCEABCD的每條棱所在直線與平面 AB D 所成的角都相等.如圖所示，取棱 AB BB, BC, CD, D D, DA的中點E, F, G, H M N,則正六邊形EFGHMN在

6、平面與平面 ABD平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN=x sin 60=牛3故選A.4、填空題7. （20 1 8 天津六校聯考）設a , b為不重合的兩條直線，a ,卩為不重合的兩個平面, 給出下列命題:若 a / a 且 b/ a ,貝U a / b；若aLa且a丄卩，貝U a / 3 ；若a丄3 ,則一定存在平面Y ,使得Y La, y丄3；若a丄卩，則一定存在直線I，使得I丄a, I /卩. 其中真命題的序號是.解析：中a與b也可能相交或異面，故不正確. 垂直于同一直線的兩平面平行，正確. 中存在y，使得Y與a ,卩都垂直，正確. 中只需直線I丄a且I?卩就可以，正確.

7、答案：&若P為矩形ABCC所在平面外一點，矩形對角線的交點為O, M為PB的中點，給出以下四個命題： OM/平面PCDOMZ平面PBCOM平面PDAOMZ平面PBA其中正 確的個數是.解析：由已知可得 OMZ PD二OMZ平面PCD! OMZ平面PAD故正確的只有答案：9.如圖，/ ACB= 90 DAL平面 ABC AEL DB交 DB于 E, AF1 DC交 DC于 F,且AD= AB= 2,則三棱錐 D-AEF體積的最大值為 .解析：因為 DAL平面ABC所以DAL BC又BCL AC DAO AC= A,所 以BCL平面 ADC所以 BCL AF又AFL CD B8 CD= C,所以

8、AF丄平面DCB所以 AFL EF, AFL DB又DBL AE AEO AF= A,所以DBL平面 AEF所以DE為三棱錐D-AEF的高因為 AE為等腰直角三角形 ABD斜邊上的高，所以 AE= ;2 ,設AF= a , FE= b ,則厶AEF的面積S= 1ab 2Xa2+ b212=x 222=1（當且僅當a= b= 1時等號成立），所以（VDKAEF）max=x x3 2、2 =6 .解：（1）證明：連接BD交AC于點O,連接OE在厶 PBD中 , PE= DEBO= DO 所以 PB/ OE又OE平面ACE PB?平面ACE所以PB/平面ACE由題意得AC= AD所以VP-ACE=

9、VP-ACD= ；VP-ABCD241 1=;X Sabcd PA4 31 1=4X3X2X11.如圖，在直三棱柱 ABCABC 中，AB= AC= AA= 3, BC= 2, D是BC的中點，F是CG上一點.(1) 當GF= 2時，證明：BF丄平面 ADF(2) 若FD丄BD,求三棱錐 B1-ADF的體積.解：(1)證明：因為AB= AG D是BC的中點，所以ADL BC在直三棱柱 ABCABC中，因為BB丄底面ABC AD?底面ABC所以ADL BB. 因為B8 B B= B,所以ADL平面 BBCC因為B F?平面B BCG 所以ADL B F.在矩形 B BCG中，因為 G F= CD

10、=1, B C = CF= 2,所以 Rt DCF Rt FCB,所以/ CFD=Z CBF,所以/ B FD= 90所以B FL FD因為AR FD= D所以B F丄平面 ADF(2)由(1 )知 ADL平面 B DF CD= 1, AD= 2 ：2 , 在 Rt B BD中，BD= CD=1, BB = 3 ,所以 B D= :BD+ BB =1 0.因為FDL B D,所以 Rt CDF Rt BBD,所以D= CD,即 DF1 0 =,BD BB33 .10X2. 2 =罟1 1 1所以 V-ADF= yA-BDF= 3SBDF AD= 3X 2X12. (2018 石家莊摸底)如圖，在多面體 ABCDPI中 ,四邊形ABCD 和 CDPE都是直角梯形， AB/ DC PE/ DC ADL DC PDL平面 ABCD AB= PD= DA= 2PE CD= 3PE F 是 CE的中點.(1) 求證：BF/平面 ADP(2) 已知O是BD的中點，求證：BDL平面AOF證明：取PD的中點為G,連接FG AG F是CE的中點， FG是梯形CDPE勺中位線,/ CD= 3PE FG= 2PE FG/ CDCD/ AB AB= 2PE AB/ FG AB= FG即四邊形ABFG平行四邊形， BF/ AG又BF?平面ADP A(?平面ADP BF