1、3.1不等式的性質 自主自主預習預習新知新知導學導學 合作合作探究探究釋疑釋疑解惑解惑 易易 錯錯 辨辨 析析 隨隨 堂堂 練練 習習 課標定位課標定位 素養闡釋素養闡釋 1.初步學會作差法比較兩實數的大小初步學會作差法比較兩實數的大小. 2.掌握不等式的性質掌握不等式的性質. 3.能利用不等式的性質進行數或式的大小比較能利用不等式的性質進行數或式的大小比較 及證明不等式及證明不等式. 4.體會數學抽象的過程體會數學抽象的過程,加強直觀想象與數學運加強直觀想象與數學運 算能力素養的培養算能力素養的培養. 一、實數大小的比較一、實數大小的比較 【問題思考】【問題思考】 1.(1)對于兩個實數對于

2、兩個實數a,b,其大小關系有哪幾種可能其大小關系有哪幾種可能? 提示提示:兩個實數兩個實數a,b,其大小關系有三種可能其大小關系有三種可能,即即ab,a=b,ab,反之也成立反之也成立,用數學語言可描述為用數學語言可描述為 a-b0ab. (3)如果如果a-b是負數是負數,那么這兩個實數的大小關系如何那么這兩個實數的大小關系如何?反之成反之成 立嗎立嗎? 提示提示:如果如果a-b是負數是負數,則則ab,反之也成立反之也成立,用數學語言可描述為用數學語言可描述為 a-b0a0 ab ;a-b=0 a=b ;a-b0 ab . 3.做一做做一做:某工廠某工廠8月的產量比月的產量比9月的產量少月的產

3、量少;甲物體比乙物體甲物體比乙物體 重重;A容器與容器與B容器的容積相等容器的容積相等.若前一個量用若前一個量用a表示表示,后一個量后一個量 用用b表示表示,則上述事實可表示為則上述事實可表示為;. 答案答案:aba=b 二、不等式的性質二、不等式的性質 【問題思考】【問題思考】 1.(1)在解不等式在解不等式x-32時時,通過移項得通過移項得x5,其理論依據是什么其理論依據是什么? 提示提示:不等式兩邊同時加上一個數不等號方向不變不等式兩邊同時加上一個數不等號方向不變. (2)已知已知32,若兩邊同時乘若兩邊同時乘2,不等式成立嗎不等式成立嗎?若兩邊同時乘若兩邊同時乘c(c 為常數為常數),

4、不等式成立嗎不等式成立嗎? 提示提示:同時乘同時乘2,不等式成立不等式成立. 兩邊同時乘兩邊同時乘c,不等式不一定成立不等式不一定成立,當當c=0時時,3c=2c; 當當c0時時,3c2c; 當當c0時時,3c2,3222,那么那么3n2n(nN+)成立嗎成立嗎? 提示提示:成立成立. 提示提示:成立成立. 2.不等式的性質不等式的性質 性質性質1如果如果ab,且且bc,那么那么ac. 性質性質2如果如果ab,那么那么a+cb+c. 性質性質3(1)如果如果ab,c0,那么那么acbc;(2)如果如果ab,c0,那么那么 acb,cd,那么那么a+cb+d . 性質性質5(1)如果如果ab0,

5、cd0,那么那么acbd;(2)如果如果ab0,cd0, 那么那么acb0時時,anbn,其中其中nN+,n2. 3.想一想想一想:若若ab,cd,則下列不等關系不一定成立的是則下列不等關系不一定成立的是() A.a-bd-cB.a+db+c C.a-cb-cD.a-cb,cd,得得a+cb+d,移項得移項得,a-bd-c,A正確正確;由由ab得得a- cb-c,C正確正確;由由cd得得-c-d,所以所以a-ca-d,D正確正確;B中中,取值檢驗取值檢驗, 當當a=3,b=1,c=6,d=3時時,a+dbc,a+2b+3c=0,則則acbc.( ) 探究探究一一 作作差比較大小差比較大小 【例

6、【例1】 已知已知a,b均為正實數均為正實數.試利用作差法比較試利用作差法比較a3+b3與與 a2b+ab2的大小的大小. 解解:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 當當a=b時時,a-b=0,所以所以a3+b3=a2b+ab2; 當當ab時時,(a-b)20,又又a0,b0,所以所以a+b0,所以所以a3+b3a2b+ab2. 綜上所述綜上所述,a3+b3a2b+ab2. 比較兩個實數的大小比較兩個實數的大小,只要考察它們的差就可以了只要考察它們的差就可以了.作差法比作差法

7、比 較實數大小的一般步驟是較實數大小的一般步驟是:作差作差恒等變形恒等變形判斷差的符號判斷差的符號 下結論下結論.作差后變形是比較大小的關鍵一步作差后變形是比較大小的關鍵一步,變形的方向是變形的方向是 化成幾個完全平方數和的形式或一些易判斷符號的因式積的化成幾個完全平方數和的形式或一些易判斷符號的因式積的 形式形式. 【變式訓練【變式訓練1】 已知已知x1,試比較試比較3x3與與3x2-x+1的大小的大小. 解解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由由x1得得x-10,而而3x2+10, 所以所以(3x2+1)

8、(x-1)0,所以所以3x33x2-x+1. 探究探究二二 利用利用不等式的性質證明簡單不等式不等式的性質證明簡單不等式 分析分析:證明不等式證明不等式,要緊扣不等式的性質進行恒等變形要緊扣不等式的性質進行恒等變形,注意條注意條 件與結論之間的聯系件與結論之間的聯系. 探究探究三三 不等式不等式性質的應用性質的應用 【例【例3】 已知已知a0,-1babab2B.ab2aba C.abaab2D.abab2a 分析分析:根據已知條件兩兩作差比較根據已知條件兩兩作差比較或根據或根據a,b的范圍取特值的范圍取特值 驗證驗證注意要在給定范圍注意要在給定范圍 解析解析:(方法一方法一)因為因為a0,-1b0,ab-ab2=ab(1-b)0. 所以所以abab2a,故選故選D. 答案答案:D 1.本例中若把已知條件改為本例中若把已知條件改為0ab0,bb-b-aB.a-b-ab C.a-bb-aD.ab-a-b 解析解析:由由a+b0知知a-b,-ab. 又又b0, 所以所以a-bb-a. 答案答案:C 2.設設M=x2,N=-x-1,則則M與與N的大小關系是的大小關系是() A.MNB.M=N C.