1、 備課人：焦陽 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第四課時 題課 復數(shù)的乘法 教學目標 一、教學知識點 理解并掌握復數(shù)乘法的運算法則.1. n 是周期出現(xiàn)的的運算律，i.2.理解并掌握虛數(shù)單位i 232? =1,+1=0.,的運算性質(zhì)：=3.掌握1的立方虛根 22zz =z=.4.理解并掌握復數(shù)的模與共軛的關(guān)系：z 二、能力訓練要求 .1.能運用乘法運算法則計算有關(guān)復數(shù)乘法運算的題目 n .i的運算性質(zhì)解題和1的立方虛根2.會運用 22zz 靈活運用復數(shù)的模與共軛的關(guān)系式3.z.=解題，并深化它的應(yīng)用=z 三、德育滲透目標 培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力，提高學生的運算能力，培養(yǎng)學生實際動手操作1.

2、（運算、畫圖）能力. 培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、等價轉(zhuǎn)化（實與虛）等數(shù)學思想，訓練他們2.（包括數(shù)學素培養(yǎng)他們的辯證唯物主義觀點，提高學生的科學文化素質(zhì)的優(yōu)良的解題方法， 質(zhì)）. 培養(yǎng)學生的數(shù)學新理念、數(shù)學與文化的觀念，讓學生對數(shù)學充滿興趣和歡愉.3. 教學重點n的性質(zhì)是本節(jié)課教的立方虛根的周期性變化、1復數(shù)的代數(shù)形式、乘法運算法則、i. 乘法運算是四則運算的核心部分，是知識之間銜接的橋梁學的重點內(nèi)容, 教學難點n. 的性質(zhì)是教學的難點的周期性規(guī)律、復數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則的規(guī)定、i 教學方法在學生掌握兩個多項式的乘法.建構(gòu)主義觀點在高中數(shù)學課堂教學中的實踐的教學方法2b”+運算

3、法則，“a問題的乘法法則的基礎(chǔ)上進行大膽的類比和猜想，讓學生主動建構(gòu)復 22zzz和復數(shù)乘法運算所滿足z=繼續(xù)讓學生建構(gòu)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則.的交換律、結(jié)合律和分配律. 教具準備 實物投影儀（或幻燈機、幻燈片）. 教學過程 .課題導入 我們已經(jīng)學習了復數(shù)的代數(shù)形式的加法（板書）的運算法則和有關(guān)的運算律.當時，同 學們都說可以把加法運算看作是關(guān)于i的多項式的加法合并同類項.這節(jié)課我們將學習復數(shù) 的代數(shù)形式的乘法(課題,只要在已板書的基礎(chǔ)上進行修改即可,將“加”修改為“乘”，這樣既使 學生積極回顧了以前所學的內(nèi)容，同時又使學生對改換后而提出的新問題積極思考，產(chǎn)生強烈的求知欲望，調(diào)動學生的積極

4、性，為積極主動建構(gòu)新知識而作好準備 ). 備課人：焦陽 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 .講授新課 ( 一)知識建構(gòu) 22是)(c+、dd)化簡嗎（a、b師初中學習了多項式乘以多項式，你們能把(a+、bc 有理數(shù)）？積還是無理數(shù)嗎？ 即開生按多項式乘法運算法則展2222222 ad+bdbc).可.(a+b )(c+=(dac)=+acad+2+bdbc)+(+ bc都是有理數(shù).、dQ,ac,2bd,ad,、a、bc 2 而是無理數(shù)，ac+2bdQ,ad+bcQ. 22 )是無理數(shù)（a+db.）(c+ 2”換為“i”，其中i是虛數(shù)單位，能化簡嗎?（a、師若將b“、c、d都是實數(shù)） 22=-1,才能合并

5、i) ad+bc)i.(bci+bdi=(ac-bd)+(ac生可以.(a+bi)(c+di)=+adi+a、b、c、dR， ac-bdR,ad+bcR. (ac-bd)+(ad+bc)i是復數(shù). 師這就是兩個復數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則，于是有：規(guī)定復數(shù)的乘法按照以下的法則進行：設(shè)z=a+bi,z=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積21(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2換成-1i，并且把實部其實就是把兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把與虛部分別合并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù). 師實數(shù)的乘法滿足哪些運算律？復數(shù)中能類比嗎？

6、生實數(shù)中的乘法運算滿足交換律、結(jié)合律以及分配律.這些在復數(shù)集中的乘法運算也是成立的,即z、z、zC, 321有(1)zz=zz, 1212(2)(zz)z=z（zz）, 311322(3)z(z+z)=zz+zz. 3322111師完全正確，你們能證明嗎？請三位同學到黑板上寫，其余同學在下面寫.設(shè)z=a+b111i,z=a+bi,z=a+bi(a、a、a、b、b、bR). 323221233213生甲zz=(a+bi)(a+bi) 211212=(aa-bb)+(ba+ab)i, 22112112zz=(a+bi)(a+bi) 111222=(aa-bb)+(ba+ab)i, 12221121

7、又aa-bb=aa-bb,ba+ab=ba+ab, 1221222111221121zz=zz. 1221生乙(zz)z=(a+bi)(a+bi)(a+bi) 312211233=(aa-bb)+(bb+ab)i(a+bi) 3121221132=(aa-bb)a-(ba+ab)b+(ba+ab)a+(aa-bb)bi 33211231112221122312=(aaa-bba-bab-abb)+(baa+abb+aab-bbb)i, 321213312233132311122321同理可證z(zz)=(aaa-bba-bab-abb)+(baa+aba+aab-bbb)i, 31112312

8、3212312321231233123 ).z(z=z)zz(z 321321 備課人：焦陽 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 bi)a+bi)+(a+生丙z(z+z)=(a+bi)( 331121322 b)ia+a)+(b+=(a+bi)( 312231 )ia(b+bb)+b(a+a)+=a(aa)-b(b+ 321222133311 b)i,+ab+a+bb-bb)+(baba=(aa+aa- 3212121311321131 bi)+bi)(a+=(a+bi)(a+bi)+(azz+zz 312111322113 b)iba+aab)i+(aa-bb)+(b=(aa-bb)+(a+ 32131

9、23132112111 )iab+abb)+(ba+ab+=(aa-bb+aa-b 3112123132111123 )i,b+ab)+(ba+ba+a=(aa+aa-bb-bb 3222111211133311 .)=zz+zzz(z+z 3231112 )(學生板演時，教師在教室內(nèi)巡回指導，與學生共同研究 同學們，這三位同學證明的是否正確？師 （眾生齊聲回答）正確！生 z z.i(a、bR),求師若復數(shù)z=a+b 2222222zzz zb=+0i=aa+b. .+a-bi)=ab-(-b)+a(-b)+bai=a+生=a-bi,bzi)(=(a+b 22z ,=a你們能想到什么？師由+z

10、b 222z .z=a+bz是z的模的平方，可以得到生a 22 z.=z生b 222222222z .=az+ba=(+bi)=a,-b+2abi,而z生c不對.z 22 2222b?azzzz =z=az+b,.生d也是=的模是的模的平方，即z,z 22在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，但在復數(shù)范圍內(nèi)可以有+對于實數(shù)a、b,ab生e22 是虛數(shù)單位.a-bi)，其中ai+ba=(+bi)( 兩個互為共軛的復數(shù)之積是一個非負實數(shù).生f 同學們聯(lián)想的這些內(nèi)容都是對的.師 z的積是一個實數(shù)，這個實數(shù)等于每一個復數(shù)的模的平方，一般地，兩個互為共軛復數(shù)z、 22zz 即z=z.= zzz.這個公式很重要，在復

11、數(shù)的計算、=通常也可以寫成z=證明時經(jīng)常用到，所以我們要熟練地掌握. 對于上述命題的逆命題是否成立呢？ 22z.b i)=z-=(a+bi)(g生成立.因為ab+a 生h不成立.也就是兩個復數(shù)的積是一個非負數(shù)，則它們是共軛復數(shù).這是個錯誤命題.例2=-2(-1)=20.但z和zz如，z=i,z=-2i,z=i(-2i)=-2i不是共軛復數(shù). 212211師由于復數(shù)乘法運算滿足交換律與結(jié)合律，那么，實數(shù)集中正整數(shù)指數(shù)冪的運算律是否可以推廣到復數(shù)集中去呢？ mnm+nmnmnmmm.在復數(shù)集C中，對任何zb) a實數(shù)集中，有i生a=aa;()=a;(ab=a、z、z21數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 備課

12、人：焦陽 mnm+nmnmnmmm. )=z=zC,都有zzz=z,(z,(zz2112*.N m、nn生j上述推廣中冪指數(shù)m、必須滿足 師這三條的證明思想是什么？ 生k根據(jù)復數(shù)乘法運算法則及交換律和結(jié)合律可以求證. 生i也可以使用數(shù)學歸納法進行證明. 師這些思路都是有用的，請同學們課后研究其具體策略. 123456789101112分別為什么？,i,i我們知道i,i=i,i,i=-1,請問i,i,i,i,i ,i 生m分別是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1. 師從這些數(shù)中你能總結(jié)出什么規(guī)律？ n*4n4n+14n+24n+3 =-i.N=i,i,我們有i=-1,i生n數(shù)列i=

13、1,i是周期數(shù)列，最小周期是4,即如果n 師如果n是整數(shù)0時，是否成立？ （片刻，學生開始討論） 4n04n+114n+224n+33=-i,=i=-1,i=i,i 生o成立.因為i=i=i=i=1,i 是負整數(shù)時，上述結(jié)論還成立嗎？師如果n -1 .沒有定義,不成立.因為i所以無法推廣生P 則mN),.取n=-m(生Q成立 11m4n-4 =i=1,=i m41iii+1mn+1-4 =i,=i4=i m41i2i?1+24n+2-4m =i=i=-1, m4i13i?i+34n+3-4m=i=i=-i. m4i1n的結(jié)論也成立. 所以n是負整數(shù)時，關(guān)于i 4n4n+14n+24n+3=-i

14、都成立=i,i.,知對一切nZ,i=-1,i=1,i 師由上面討論 zzz?z,前面我們證明過：由這個等式你能類比到乘法上去嗎？為什么？ +=師 2121生r可以類比，對于乘法有 zzzz.= 2121事實上，設(shè)z=a+bi,z 2111=a+bi(a、a、b、bR)， 221122zz=(a+bi)(a+bi) 221121=(aa-bb)+(ab+ba)i. 21111222 zz(aa?bb)?(ab?ba)i =2122111212=(aa-bb)-(ab+ba)i. 21112212 zz=(a-bi)(a-bi) 又 211221=aa-(-b)(-b)+a(-b)+(-b)ai

15、21212121 備課人：焦陽 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 )i-ba=(aa-bb)+(-ab 21222111 a)i,a=(a-bb)-(ab+b 22111221 zzzz=. 2112 師這個公式能否推廣呢？ zz?z?.?zz,z 則=C,生z.s可以.z,z nn1212n12 師z、zR,zz與zz有何關(guān)系？為什么？ 211221 （討論一會兒，開始寫寫畫畫） R), b、bi(a+ba、a、zz生tz=zz.設(shè)=a+bi,z=21211122121122 )i.+baa-bb)+(abzz=(a 211212122122)ba)(?ab?(aa?bb =zz 2122211211

16、22222222baaab?a?bb? =. 111212222222bb?a?a =又zz2121212222)?bb(a?)(a =211222222222bab?aabb?a? =, 12211122z,zzz,zzz.本結(jié)論也可以推廣到一般形式：z,zC,則zz=n112121232n z.=zz n12nn=z z=z.,即z的乘方的模等于模的乘方特殊情況：z=z=z時， n12 課本例題(二) 例2（課本P）計算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 206 生解：原式=(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22+2)+(11+4)i=-20+15i.(3+8)+(4-6)

17、i 31 求證：=-+i,設(shè)例3 2232 =1.=0；(2)1（）1+ )(這題的教法是找兩位同學到黑板上板演 2 (1)證明：1+生u33112 i)+i)+(- +=1+(- 22223331112 i+(i)i+(-+=)-2 22222233131=0. +i+-i- 224243133=(-證明： 生i)+v(2) 22 備課人：焦陽 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3331112323 +(i+3(-)()+3(-)i)=(-i) 222222331339?i?i?= 8888133339(?(1?)i?)=. 888833-1=0即可.2）小題，也可以這樣做，要證 =1,只要證生x對于

18、第（ 32+1)=(-1)0=0,利用第（1）題的結(jié)論. 1)(由-1=( 師(1)實數(shù)集中的乘法公式在復數(shù)集中仍然成立. （2）復數(shù)的混合運算順序也是先乘方、再乘除、最后加減，有括號要先算括號里面的. (三)精選例題 231997+1997i;計算：(1)i+2i +3i例1 3?4i1?i1997?().(2) i?i14?3(1)解法一：原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+(1993i-1994-1995i +1996)+1997i=499(2-2i)+1997i=998+999i. 231997+1997i,設(shè)S=i+2i+3i 解法二：

19、234199719986i+199.則iS=i+1997i+2i +3i 21998?iii?i219981998219971998+i=1997+i.-1997i-1997i=i-1997i=兩式相減，得(1-i)S=i+i - i?1i?1 1997?i(1997?i)(1?i)? =998+999i.S= 2i1?2)i(1?4?3i)?i(1997? (2)解：原式= 4?3i(1?i)(1?i)1997=-2i. =-i+(-i) 解題回顧：要注意復數(shù)a+bi(a、bR)與b-ai之間的聯(lián)系：b-ai=-i(a+bi),題（2）中的第一個公式就利用了這種關(guān)系，簡化了運算. 432+8

20、z+5,求f(-1+2i)+4z的值+8z. 例2已知f(z)=z 222+2z+5=0,因而可考慮充分利用此式將f(z)=-4,即z分析：當z=-1+2i時，(z+1)=(2i)的次數(shù) 降低，使計算簡便. 2=-4.(z+1) 解：z=-1+2i, 2+2z+5=0. z 22+2z+5)+10,(*) +2z-1)(z(z)=(z又f f(-1+2i)=10. 22+2z+5的結(jié)果，此除以zf本例充分利用了z+2z+5=0的條件，(*)式的得來是(z)解題回顧：題若將z=-1+2i直接代入計算，將會十分繁雜. .課堂練習 補充練習 備課人：焦陽 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 |z=sin+i,求 z|的最大值和最小值年上海高考題1.(2003)已知復數(shù)z=cos-i,z. 2112 |=|1+sincos+(cos-sin)i|z|z解: 2122?)?(1?sin?cos(cos)sin =22?cossin2? =12?2sin?2. =432的最大值為z最小值為|. 故,|z 21 2120062x+ 的值+x2.若x+. =-1,求1+x x12 +1=0.x=-1可知+x解法一:由x+ x32 =1.xx=或x 原式=0.能被3整除,由知,連續(xù)x的三個方冪之和為0,而原式共2007項 2007x?1200720072 x+