1、中小學(xué)個性化輔導(dǎo)專家 林啟玥專用講義 宋老師 有理數(shù)及其運(yùn)算專題【知識梳理】知識點(diǎn)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)：(三個重要的定義)1.【正數(shù)】：像+1.8，+420、+30、+10%等帶有理數(shù)“+”號的數(shù)叫做正數(shù)。為了強(qiáng)調(diào)正數(shù)，前面加上“+”號，也可以省略不寫。2.【負(fù)數(shù)】：像3、4754、50、0.6、15%等帶有“”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。而負(fù)數(shù)前面的“”號不能省略。3.【零】：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。注意：對于正數(shù)與負(fù)數(shù)，不能簡單地理解為：帶“+”號的數(shù)是正數(shù)，帶“”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。例如a不一定是負(fù)數(shù)，因?yàn)樽帜竌代表任何一個有理數(shù)，當(dāng)a是0時(shí)，a是0，當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，a是正數(shù)；能用正數(shù)與負(fù)數(shù)

2、表示相反意義的量，習(xí)慣上把增加、盈利等規(guī)定為正，它們相反意義的量規(guī)定為負(fù)，正、負(fù)是相對而言有理數(shù)?！具^手訓(xùn)練】1. 關(guān)于數(shù)“0”，以下各種說法中，錯誤的是 （ ）A. 0是整數(shù) B. 0是偶數(shù) C. 0是自然數(shù) D. 0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)2. 3.782： （ ）A. 是負(fù)數(shù)，不是分?jǐn)?shù) B. 不是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù) C. 是分?jǐn)?shù)，不是有理數(shù) D. 是分?jǐn)?shù)，也是負(fù)數(shù)知識點(diǎn)二、有理數(shù)及其分類：有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。整數(shù)包括三類：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。分?jǐn)?shù)包括兩類：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。 按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類： 按正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的關(guān)系分類： 【過手訓(xùn)練】 將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中。，-1，12，

3、0，-3.01，0.62，-15，-，180，-42，-45%，1。整數(shù)：_ 自然數(shù)：_ 正數(shù)：_ 負(fù)數(shù)： _偶數(shù)：_ 奇數(shù)： _分?jǐn)?shù)：_ 非負(fù)數(shù)：_非負(fù)整數(shù)： _ 非正分?jǐn)?shù)：_非負(fù)有理數(shù)：_ 有理數(shù)： _知識點(diǎn)三、數(shù)軸：1.數(shù)軸的概念：規(guī)定了（ ）的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數(shù)軸有三要素：（ ）三者缺一不可；原點(diǎn)的位置、正方向的取向、單位長度的大小的選定，都是根據(jù)實(shí)際需要而定的。2.數(shù)軸的畫法：畫一條水平的直線； 在直線的適當(dāng)位置選取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，并用0表示這點(diǎn)；確定向右為正方向，用箭頭表示出來；選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點(diǎn)向右，每隔一個單位長度取一點(diǎn)，依

4、次為1，2，3，；從原點(diǎn)向左，每隔一個單位長度取一點(diǎn)，依次為1，2，3，。如圖1所示。右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)（ ），所以正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。知識點(diǎn)四：相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)。 規(guī)定0的相反數(shù)是0從數(shù)軸上看，表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)，分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等，如圖1，3與3互為相反數(shù)。注意：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，如+2與2互為相反數(shù)，說明+2的相反數(shù)是2，2的相反數(shù)是+2，單獨(dú)一個數(shù)不能說相反數(shù)；“只有”的含義說明像+5與3這樣的兩個數(shù)不是互為相反數(shù)?！具^手訓(xùn)練】1. 數(shù)軸上與表示2點(diǎn)相距3個單位的點(diǎn)所表示的數(shù)是_。2. 數(shù)軸表示+3和

5、3的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離是_個單位，這兩個點(diǎn)的位置分別在_點(diǎn)右邊和左邊。3. 在有理數(shù)中最大的負(fù)整數(shù)是_, 最小的正整數(shù)是_, 最大的非正數(shù)是_, 最小的非負(fù)數(shù)是_, 最大的非負(fù)數(shù)是_.知識點(diǎn)五：絕對值絕對值的幾何定義：在數(shù)軸上，（ ）記作（ ）絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它（ ），一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的（ ），0的絕對值是（ ）也就是說，任何一個有理數(shù)的絕對值都是（ ），即（ ），注意：絕對值的求法：先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)、還是零，再根據(jù)絕對值的代數(shù)定義去掉絕對符號；絕對值的非負(fù)性：無論是絕對值的幾何定義，還是絕對值的代數(shù)定義都揭示了絕對值的重要性質(zhì)非負(fù)性。兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的

6、反而小【過手訓(xùn)練】1、如果，下列成立的是（ ） A B C D2、求|5(2)|=_3、一個數(shù)的絕對值是 6 ，這個數(shù)是。4、絕對值小于3的整數(shù)有個。5、3是 （ ） A. 正數(shù) B. 負(fù)數(shù) C. 正數(shù)或0 D. 負(fù)數(shù)或06. 絕對值最小的整數(shù)是 （ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 1和-1 7、若a, 則a_; 若a3, 則a_.8、_; _; 0.77+_; 9、絕對值小于4的負(fù)整數(shù)有個，正整數(shù)有個，整數(shù)有個10、已知x+y+3=0，求x+y的值。11、已知A，B是數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)表示1，B點(diǎn)表示3.5，求A，B兩點(diǎn)間的距離。12已知：a2b3=0，求2a2b1的值。知識點(diǎn)六：非負(fù)

7、數(shù)若數(shù)a0，則稱a為非負(fù)數(shù)。非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：任何非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；如果幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)均為0。【過手訓(xùn)練】 1、若a、b、c均為整數(shù)，且ab3ca21，求accbba的值知識點(diǎn)七：倒數(shù)（ ）的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。倒數(shù)的求法：求一個數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個數(shù)分之一；求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒即可；求一個帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再將分子、分母顛倒；求一個小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再求倒數(shù)。零（ ），其他任何有理數(shù)都有倒數(shù)。正數(shù)的倒數(shù)為（ ），負(fù)數(shù)的倒數(shù)為（ ）。【過手訓(xùn)練】1、 的相反數(shù)的倒數(shù)是的倒數(shù)是_知識點(diǎn)八、有理數(shù)大小的比較：1.利用數(shù)

8、軸比較大?。簲?shù)軸上表示的兩個數(shù)，（ ）。于是：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。2任意有理數(shù)大小的比較法則：正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于 一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。比較兩個負(fù)數(shù)大小的步驟是：首先分別求出兩個負(fù)數(shù)的絕對值；再比較兩個絕對值的大小；最后根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”作出正確判斷?！具^手訓(xùn)練】 用“”或“”號填空： 1）3.5 _ 0 ; 2) 2.8 _ 0 ; 3) 1.95 _ 1.59 ; 4) _ ; 5) _ 0.3 ; 6) 0.67 _ ; 7) _ ; 8) _ 3.14 ; 9) 1.6 _ 1.6 ; 10) () _ () .知

9、識點(diǎn)九、基本運(yùn)算1、有理數(shù)的加法 有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，?。?）的符號，并把絕對值（ ）； 絕對值不等的異號兩數(shù)相加，?。?）的符號，并用（ ）； 互為相反的兩個數(shù)相加得0； 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).有理數(shù)加法的運(yùn)算律：加法的交換律 ：a+b=b+a；加法的結(jié)合律：( a+b ) +c = a + (b +c)用加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加； 把同分母的分?jǐn)?shù)先相加； 把符號相同的數(shù)先相加； 把相加得整數(shù)的數(shù)先相加.2、有理數(shù)的減法 有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于（ ）。 有理數(shù)加減混合運(yùn)算步驟：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算； 有

10、理數(shù)減法常見的錯誤：顧此失彼，沒有顧到結(jié)果的符號；仍用小學(xué)計(jì)算的習(xí)慣，不把減法變加法；只改變運(yùn)算符號，不改變減數(shù)的符號，沒有把減數(shù)變成相反數(shù).3、有理數(shù)的乘法 有理數(shù)乘法的法則：兩個有理數(shù)相乘（ ）；任何數(shù)與0相乘都得（ ）.幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時(shí)，積為（ ）；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時(shí)，積為（ ）。 有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：交換律：ab=ba；結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac. 倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1，那么a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來.4、有理數(shù)的除法 有理

11、數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)，（ ）。 （0不能做除數(shù)）（這個法則可以把除法轉(zhuǎn)化為乘法） 除法法則也可以看成是：兩個數(shù)相除，同號得（ ），異號得（ ），并把絕對值（ ）；0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0.【過手訓(xùn)練】計(jì)算：1） （）； 2） 12345699100；3） （8）6+8（+7）； 4）。5） x=8，y=6，求xy的值；若x=3，y=5，且xy=yx，再求xy的值；知識點(diǎn)十、有理數(shù)的乘方乘方的定義：求幾個相同因數(shù)a的運(yùn)算叫做乘方。 乘方的結(jié)果叫做冪。乘方是一種運(yùn)算，是幾個相同的因數(shù)的特殊乘法運(yùn)算，記做“”讀作a的n次方，也可讀作a的n次冪。其中a叫做底數(shù)， n叫做指數(shù)，它所表示的意

12、義是n個a相乘 乘方的計(jì)算法則：根據(jù)乘方的意義轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算；根據(jù)乘方的性質(zhì)，先判斷冪的符號，再計(jì)算冪的絕對值；正數(shù)的任何次方都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)?！具^手訓(xùn)練】計(jì)算：1）（）； 2） （）；3）（）； 4）（） ；5）（5）； 6）（5）；7） 當(dāng)a=；b= -1；c=時(shí)，求代數(shù)式的值。1.計(jì)算：（-5）3； -53；（-1）2001； 3。2. 若x1（2xy4）2= 0 ，求代數(shù)式x5yxy5的值。3. 已知x11 （x22）2 x333 （x42）4 x199919991999 （x20002000）20000，求的值。知識點(diǎn)十一、有理

13、數(shù)運(yùn)算律 加法的交換律 （ ）； 加法的結(jié)合律 （ ）； 存在數(shù)0，使（ ） ； 對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使（ ）； 乘法的交換律 （ ）； 乘法的結(jié)合律 （ ）； 分配律 （ ）； 存在乘法的單位元10，使得對任意有理數(shù)a，（ ）； 對于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使（ ）。 0a0 文字解釋：一個數(shù)乘0還于0。知識點(diǎn)十二、有理數(shù)的運(yùn)算順序 先乘方、開方，后乘除，最后加減； 有括號時(shí)，先算括號里面的； 同級運(yùn)算按從左至右的順序進(jìn)行，同時(shí)注意運(yùn)算律的靈活應(yīng)用。進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意：一是要注意運(yùn)算順序，先算高一級的運(yùn)算，再算低一級的運(yùn)算；二是要注意觀察，靈

14、活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，以提高運(yùn)算速度及運(yùn)算能力。(說明：加減是一級運(yùn)算，乘除是二級運(yùn)算，乘方、開方是三級運(yùn)算。)【過手訓(xùn)練】計(jì)算：1. 32（-5）3-18-（-3）2； 2. -363；3. （-1）5（-4）（-0.4）；4. 若x= -1，y= -2，z= 1時(shí)，求的值。5. 已知a的相反數(shù)是，b的倒數(shù)是，求代數(shù)式的值。6. 已知n是正整數(shù)，a2b= -1，求的值。（1）3； （2） (3) （4）（5） （6）（7） （8）（9）（10）如果，求的值【課后鞏固】一、境空題（每空2分，共28分）1、的倒數(shù)是_；的相反數(shù)是_.2、比3小9的數(shù)是_；最小的正整數(shù)是_.3、計(jì)算： 4、在數(shù)

15、軸上，點(diǎn)A所表示的數(shù)為2，那么到點(diǎn)A的距離等于3個單位長度的點(diǎn)所表示的數(shù)是5、兩個有理數(shù)的和為5，其中一個加數(shù)是7，那么另一個加數(shù)是_.6、某旅游景點(diǎn)11月5日的最低氣溫為，最高氣溫為8，那么該景點(diǎn)這天的溫差是_.C7、計(jì)算： 8、平方得的數(shù)是_；立方得64的數(shù)是_.9、用計(jì)算器計(jì)算：10、觀察下面一列數(shù)的規(guī)律并填空：0，3，8，15，24，_.二、選擇題（每小題3分，共24分）11、5的絕對值是（ ） A、5 B、5 C、 D、12、在2，+3.5，0，0.7，11中負(fù)分?jǐn)?shù)有（ ） A、l個 B、2個 C、3個 D、4個13、下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是（ ） A、 B、 C、 D、14、下列各

16、組數(shù)中，相等的是（ ） A、1與（4）+（3） B、與（3） C、與 D、與1615、小明近期幾次數(shù)學(xué)測試成績?nèi)缦拢旱谝淮?5分，第二次比第一次高8分，第三次比第二 次低12分，第四次又比第三次高10分那么小明第四次測驗(yàn)的成績是（ ） A、90分 B、75分 C、91分 D、81分 16、l米長的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒長為（ ） A、 B、 C、 D、17、不超過的最大整數(shù)是（ ） A、4 B3 C、3 D、418、一家商店一月份把某種商品按進(jìn)貨價(jià)提高60出售，到三月份再聲稱以8折（80）大拍賣，那么該商品三月份的價(jià)格比進(jìn)貨價(jià)（ ） A、高12.8 B、低12.8 C、高40 D、高28三、解答題（共48分）19、（4分）把下面的直線補(bǔ)充成一條數(shù)軸，然后在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)： 3，+l，l.5，6.20、（4分）七年級一班某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的平均成績?yōu)?0分，數(shù)學(xué)老師以平均成績?yōu)榛鶞?zhǔn)，記作0，把小龍、小聰、小梅、小莉、小剛這五位同學(xué)的成績簡記為+10，15，0，+20，2問這五位同學(xué)的實(shí)際成績分別是多少分？21、（8分）比較下列各對數(shù)的大?。?）與 （2）與 （3）與 （4）與22、（8分）計(jì)算（1） （2） （3） （4）23