1、淺談因式分解的解題方法和技巧摘 要 因式分解在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，它是我們解決一元二次方程和高次方程必不可少的方法，對(duì)于分式的運(yùn)算也影響甚大。本文主要是講述因式分解的解題方法和技巧。通過(guò)由淺入深，循循漸進(jìn)地介紹提公因式法、分組分解法、十字相乘法等解題方法。理論結(jié)合例題，使這些方法更加易于理解。 關(guān)鍵詞 多項(xiàng)式；因式分解；例題；方法1 引言眾所周知，因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)里最重要的恒等變形之一。在初等數(shù)學(xué)中，因式分解被廣泛應(yīng)用。它是我們?cè)诮忸}中不可缺少的有力工具。然而，在因式分解的學(xué)習(xí)過(guò)程中有太多的坎坷。這是由因式分解方法靈活、技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)所決定的。這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所

2、必需的，對(duì)于以后學(xué)習(xí)的其他代數(shù)內(nèi)容（如：分式）也是不可缺少的前提條件。這些方法和技巧對(duì)提高解題技能和思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。那么在因式分解的常規(guī)解題中有哪些方法和技巧呢？我們又該側(cè)重于哪些解題方法？在什么情況下應(yīng)該用什么方法？現(xiàn)在，就請(qǐng)和我一起在本文中尋找這些問(wèn)題的答案吧。2 因式分解的概念、解題方法和技巧首先我們要了解什么叫因式分解。教材中是這樣定義的：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。2.1 提公因式法如果多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公因式，那么我們可以把每項(xiàng)的公共部分提取出來(lái)。這種把公因式提出來(lái)再進(jìn)行因式分解的方法就是提公因式法。注意提取

3、之后的式子若能分解要繼續(xù)分解，直到不能再繼續(xù)分解。現(xiàn)在通過(guò)一個(gè)例子來(lái)看看這種簡(jiǎn)單的方法是怎樣使用的。例1.分解因式： 分析：一眼看過(guò)去很顯然這個(gè)多項(xiàng)式每項(xiàng)都有，這就是我們講的多項(xiàng)式中的公因式。先將其從每一項(xiàng)拿出來(lái)，會(huì)發(fā)現(xiàn)剩下的仍然可以分解，那么就要將繼續(xù)分解。小結(jié)：當(dāng)你發(fā)現(xiàn)一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都有公因式，這時(shí)就可以考慮提公因式法。注意分解一定要徹底。提供因式法在因式分解中是最基本的方法，是要掌握的基礎(chǔ)解法之一。提公因式后的多項(xiàng)式又怎么分解呢？這就需要我們后面的方法了。例如下面介紹的公式法。2.2 公式法那么什么情況下用公式法呢？如果多項(xiàng)式滿足特殊公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以套用公式來(lái)進(jìn)行解題。所以對(duì)于

4、一些常用公式我們要做到胸有成足，這樣才能在解題時(shí)從容不迫。除了教材上一些基本的公式之外，教材以外的一些公式在解題中有些時(shí)候也可以起到事半功倍的作用。現(xiàn)在將這些公式歸納如下： （n為奇數(shù)）說(shuō)明：由因式定理，即對(duì)一元多項(xiàng)式，若，則一定含有一次因式。可判斷當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，均有。所以中一定含有和因式1。公式法怎樣使用？現(xiàn)在來(lái)看以下例題。例2.分解因式：分析：顯然可以將其用完全平方差公式進(jìn)行分解，但是需要注意16要看作4 的平方。例3. 分解因式分析：本題我們可以使用公式法。觀察就能發(fā)現(xiàn)這里可以用完全平方公式，后再使用我們熟悉的完全平方差公式。 小結(jié)：對(duì)于滿足特殊公式的結(jié)構(gòu)特征的多項(xiàng)式，我們提倡用

5、公式法來(lái)因式分解。那么就需要我們有很強(qiáng)的觀察力，有時(shí)候還需要我們無(wú)中生有，通過(guò)添項(xiàng)減項(xiàng)的方法來(lái)使多項(xiàng)式具有某些特殊公式的結(jié)構(gòu)特征。這種方法在之后會(huì)介紹。2.3 分組分解法當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)太多的時(shí)候 ，首先可以對(duì)其進(jìn)行分組，達(dá)到因式分解的目的。有可能要綜合其他方法，分組的方法也不一定就是唯一的。通過(guò)下面的一些例題來(lái)看看分組分解法如何在解題中應(yīng)用。例4.分解因式：思考：觀察發(fā)現(xiàn)，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)相差，第三項(xiàng)和第四項(xiàng)也相差，第四項(xiàng)和第五項(xiàng)亦是如此。那么我們就可以兩項(xiàng)一組，用分組分解法來(lái)因式分解。例5.分解因式：思考：先根據(jù)系數(shù)特征進(jìn)行分組，然后用完全平方差公式分解因式。小結(jié)：當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)太多時(shí)，可以對(duì)

6、其進(jìn)行分組，達(dá)到因式分解的目的。有可能要綜合其他方法，分組的方法也不一定就是唯一的。通過(guò)仔細(xì)觀察就可幫助我們合理地分組，這樣對(duì)解題來(lái)說(shuō)也能少走彎路。2.4 十字相乘法對(duì)于那些形如的二次三項(xiàng)式，可以考慮用十字相乘法。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為一的二次三項(xiàng)式也可使用。即也可使用十字相乘法進(jìn)行因式分解。下面來(lái)看一些例題。例6.因式分解：（1）（2）思考：考慮使用十字相乘法。（1） x 2 （2） 2x 1x -3 3x -5小結(jié)：對(duì)于那些形如的二次多項(xiàng)式，十字相乘法是我們的不二選擇。此法簡(jiǎn)便易懂，在一些稍顯復(fù)雜的二次三項(xiàng)式分解中有著驚人的效果。對(duì)于形如的多項(xiàng)式，我們也可以使用十字相乘法來(lái)進(jìn)行解題2。十字相乘法

7、在因式分解中是一種很重要的方法，需要好好掌握才對(duì)。2.5 雙十字相乘法在分解二次三項(xiàng)式時(shí)，十字相乘法是常用的基本方法，對(duì)于比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，尤其是某些二次六項(xiàng)式，如，也是可以運(yùn)用十字相乘法分解因式，其具體的步驟為：（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次多項(xiàng)式，得到一個(gè)十字相乘圖。（2）把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因式填在第二個(gè)十字的右邊且使這兩個(gè)因式在第二個(gè)十字中交叉之積的和等于原式中含y的一次項(xiàng)，同時(shí)還必須與第一個(gè)字中的左端的兩個(gè)因式交叉之積的和等于原式中含x的一次項(xiàng)3。來(lái)看下面的例題，看看雙十字相乘法是怎樣在解題中運(yùn)用的。例7.因式分解（1） (2) (3) (4) 思考：（1） 2x -3y+1

8、 （2）x -5y+2 （3）0 b+1 （4） 2x -3y+z 2x y-3 x 2y-1 a b-2 3x y-2z小結(jié)：對(duì)于像二次六項(xiàng)式，這些看起來(lái)比較地復(fù)雜的多項(xiàng)式。可以使用雙十字相乘法。這也是因式分解問(wèn)題中的重要解題技巧之一。2.6 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法如果你遇到的一個(gè)多項(xiàng)式很難使用以上的方法分解，那你就要另辟蹊徑了。這里將要向你介紹的“拆項(xiàng)、添項(xiàng)法”將會(huì)讓你在因式分解中如魚(yú)得水。對(duì)于一些多項(xiàng)式不能直接因式分解的情況，可以考慮把其中的某項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差或之和。再應(yīng)用分組法、公式法等進(jìn)行因式分解，其中拆項(xiàng)、添項(xiàng)方法并不是唯一的，可以有許多不同途徑。對(duì)于具體問(wèn)題才能具體分析，選擇簡(jiǎn)便的分解方法。

9、現(xiàn)在我們就在下面的問(wèn)題中看看“添項(xiàng)、拆項(xiàng)法”是怎樣具體操作的。例8 .分解因式：思考：仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，如果減一項(xiàng)，再加上一項(xiàng)。再把3x看作-x和4x。此題就能進(jìn)行因式分解了。反思：如果例題改為，那么本題又可以怎樣分解因式?現(xiàn)在我們來(lái)整理一下思路，從這些方面思考即可。解法一：把-4看做-1和-3的和。原式可化為。解法二：添再減去。原式可化為。解法三：添4x再減去4x。原式可化為。解法四：把看做。原式可化為。解法五：把看做。原式可化為。現(xiàn)在我們就用解法四來(lái)做。小結(jié)：如果一個(gè)多項(xiàng)式很難因式分解，就可以考慮將其中的某項(xiàng)拆成若干項(xiàng)。或是添項(xiàng)再減項(xiàng)。然后再用前面講過(guò)的分組分解法以及十字相乘法等方法，這樣就

10、可以解決問(wèn)題了。2.7 換元法什么是換元法？在初等數(shù)學(xué)中這樣定義：在某一具有數(shù)量關(guān)系的事件中，一個(gè)量可以用其他相等的量替換。利用這個(gè)方法有時(shí)可以簡(jiǎn)化多項(xiàng)式因式分解的過(guò)程。現(xiàn)在來(lái)看一些例題，了解因式分解中換元法的應(yīng)用。例9.因式分解：思考：按照常規(guī)的想法來(lái)做此題，我們可能會(huì)先把它乘出來(lái)。觀察一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣做可能會(huì)又費(fèi)時(shí)又難做。做對(duì)了還好，要是錯(cuò)了可是賠了夫人又折兵。這時(shí)可以考慮換元法來(lái)解此題。注意到，還有 。所以可以考慮換元法解此題。反思：在本題中換元的方法還可以有這些：、和。不同的方法做出來(lái)的結(jié)果是一樣的，可是計(jì)算的過(guò)程不是一樣的。會(huì)有復(fù)雜和簡(jiǎn)單之分。所以我們換元的時(shí)候要盡量使換元后的多項(xiàng)

11、式簡(jiǎn)化，不然換元法也就失去了它的意義4。本題中顯然是進(jìn)行換元之后計(jì)算比較簡(jiǎn)單。小結(jié)：在選擇換元的對(duì)象時(shí)，要讓換元后的式子較之前更加簡(jiǎn)化。不要忘了最后要將還原的內(nèi)容帶回原式，帶回之后的式子如果能夠繼續(xù)分解，就要繼續(xù)分解直至不能再分為止。2.8 待定系數(shù)法待定系數(shù)法是解決代數(shù)式恒等變形中的重要方法，如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架，只是字母的系數(shù)高不能確定，則可先用未知數(shù)表示字母系數(shù)，然后根據(jù)多項(xiàng)式的恒等性質(zhì)列出n個(gè)含有特殊確定系數(shù)的方程（組），解出這個(gè)方程（組）求出待定系數(shù)5。由于待定系數(shù)法應(yīng)用非常之廣，在此僅介紹一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。例10.分解因式：分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可以考慮用雙十字相乘法，

12、現(xiàn)在用待定系數(shù)法來(lái)解此題。先分解。小結(jié)：如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架，只是字母的系數(shù)高不能確定，則可考慮用待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是一種解決代數(shù)式恒等變形的重要方法，技巧性很強(qiáng)。3 結(jié)論在本文中前后共介紹了八種方法，它們分別是提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、雙十字相乘法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法、換元法和待定系數(shù)法。這些方法有的是我們必須要熟練掌握的，如提公因式法、公式法、分組分解法和十字相乘法等方法。有些方法是屬于技巧性質(zhì)的，如拆項(xiàng)添項(xiàng)法和換元法等方法。它們很重要，會(huì)讓你覺(jué)得有一種“山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感覺(jué)。因式分解的方法形式多樣、技巧性強(qiáng)。就拿本文中的例8來(lái)說(shuō)，可以將一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，而且不同的拆法有不同的拆法的好處；還可以添項(xiàng)，也有添項(xiàng)的好處。這又是因式分解技巧性和靈活性的體現(xiàn)。可見(jiàn)我們掌握方法，也要靈活應(yīng)用。現(xiàn)在我們來(lái)總結(jié)因式分解的一般步驟：首先要仔細(xì)觀察多項(xiàng)式，看它符合哪種方法描述的多項(xiàng)式：然后再用相應(yīng)的解題方法對(duì)其進(jìn)行因式分解。要注意分解一定要徹底，不能留有還可以分解