1、2.應變度量代入（1式得第五章 大變形問題的基本方程和Lagrangion表示法（列式法） 5-1物體的運動分析和應變度量嚴格來說任何一個變形過程都是非線性的，因為平衡狀態和變形有關。但在小變形情 況下，以物體變形的平衡方程可始終建立在初始構形上，而與實際情況相差不大，足夠滿 足工程要求。而研究大變形物體的變形過程一必須在變形之后的物體構形上建立平衡方程。研究方 法：把連續的的變形過程分為若干個增量步，在每個增量步建立它的增量運動方程一一即 變形體質點的運動規律。要選取某一坐標系：初始（initial）坐標系；相鄰（adjacent, neighboring）坐標系；瞬時（current）坐標

2、系1. 物體運動方程：物體構形（configuration） 一點P的增量運動方程。選擇兩個固定坐標系，以t時刻物體構形作為參考構 形的坐標系ai,以/+時刻物體構形作為參考構形 的坐標系Xi研究（7T7+M）具有普遍意義/.時刻 %）;t+d 時刻 PV；）t增量步，P的變形(1)研究心時間步物體一點P的變形。最簡便的辦法是 將兩個坐標系重合在一起。研究P點附近線素變形在FT7+&時間步西T陀線素變形將叫在勺坐標系中，在P點處作一階泰勒展開并考慮到（dij= O得du. = # das同理將州在Xi坐標系中，在P點處作一階泰勒展開，并考慮到（冋）p = 0得代入（1）,式du血=_訂心附：若

3、位移I心是坐標的單值連續函數，則可在空間中P點處展成泰勒級數du. = (dui)p +電呦+竺血+些血=da da2 da3 丿 dx.d旳=(“ +dux . dux . du.-da. + dg + del.、da da2 da3du. . , du. du.da. da da.血=（如“ +如呦+些血+些肋 da da2 da36ch代入（1）式dxi = dai + duicla寫成量形式:同理若將位移血在形坐標系中，點處展成泰勒級數并取一階項:殂血+殂弘+竺加= 0時，和=0。因 此，線性應變理論不適用于大變形狀態。3、關于相對位移量和不對稱性在a坐標系下，表示位移dtif ,則d

4、u, = -da： = u, :da：,其中u, =-稱相對位移利 7 沖7M 利量,即dudu.daxda.厶dayda.1dihdudity1du1=JJ. = J. = 12）3）oni dui _ duk duk同理,6a j dada da將（2Y代入（5T(躋(dS)2(dSj =dx心廠血心：=(竺+學+字竺)敗心 CXj oxi cxi cxj將(8)和(8)，代入(5)和(5)得&=丄(些+些+些噸)2 da, da： da, da:統一表示為：Eij(or ei) = |(Uij + u戸 +(10)(10)式恰好反映了 /增量步，線素P0 (P點)的應變量，坊是以f時刻的

5、物體構形為參考構形建立的坐標系來描述的，而切是以/+/時的坐標描述的。前者稱為Green應變，取相對坐標系。后者稱為Almansi應變，取即時坐標系。 討論：如果將初始構形心和變形后的構形兀看作是同一構形，即變形比較小，且位移的一階導數項竺(竺)也比較小，則可認為平方項(如坐)趨近于零，那么(9)式 da. ox如 odj和(9)，式就完全相同。和切退化為通常的線性應變。5-2物體一點的應力度量引言：就應力的概念而言，是定義在變形物體所處平衡狀態的一點位置上的。也就是 定義在某一時刻的物體位形上。由于上面應變是定義在不同構形所相應的參考坐標系下， 所以應力在不同坐標系下也有多種應力表示。設力向

6、量戸表示作用在物體處于某一平衡位形下，微面積ds上的合力，在直角坐標 系下尸的各分量為耳(i=l, 2, 3)，微面積ds的外法線方向上單位向量;i,各分量h為 外法線的三個方向余弦。該點應力向量定義為：cr = lim ods1、Euler 應力(True stress)該應力時定義在變形后的物體微面積ds上，用勺表示則山Cauchy公式得：dPj = bj jds(13)該應力和Almansi應力相對應 分量形式：=(a1I/1 + 712/2 +(T13/3)j5* dP2 =(+ Lagrangion 應力(nominal stress) (1th Pida-kirchhoff)把變形

7、后微面積ds上的應力，定義在變形前的微面積ds。即用初始坐標系來表示。將ds 上的力dPi,轉向初始位形相應的微面積dSo,而在轉換過程中保持力的大小和方向不變。力平移 jpoi = dp(14)并在初始微面積上定義(15)即將物體變形后微面積ds的應力用初始位移下相應微面積ds上的力來表示。稱為Lagrange 應力。3. Kirchhoff 應力(back transformed stress)(2nd pida-Kirchhoff stress)(16)將變形后物體微面積ds上的合力dPi,按照量變換，轉換到初始位形的相應微面積ds。上， 而不是平移。則磯=hdPJ (= IJjnnn)

8、其中.=cos(xp.) = 在初始構形的微面積上，定義應力Sij稱為Kirchhoff應力OtI) OJ o(17)附：關于方向余弦lij量定義x, =hjaj ；厶是不對稱量。例在二維平面中alox = OA + Ax=oa cos a + p cos 0 dax dax= oax Ldx dx2Ie.x=alu+a2ll2da da4 Euler應力、Lagrangion應力和Kirchhoff應力之間的關系 將(15), (16)式代入(17)式得：利用變形過程中微元的質量不變條件daP&S = Pq 訂 G 心)其中幾和Q分別為初始和變形后的密度將(19)式代入(13) (14)式由

9、(13)式右端二(14)式右端得6聲=Vo聲由(19)*s =匹叫“sP兩(21) 式代入(20)得：b 匹 = T(22) 式代入(18)式S/ojds = 4-耳召匚 hjds。斯 I P斯丿s廠乩也(23) P(18)(19)(20)(21)(22)以上(18) (22) (23)式給出了三種應力之間的關系。上述關系中勺為Eulei應力是對稱的。口為Lagrangion應力是不對稱的，因為力是通過向量平移過來的。 Sij為Kirchhoff應力是對稱的，因為力是通過向量轉換過來的。 5.3大變形過程中彈性本構方程這里僅討論單純的兒何非線性問題，而材料本構方程仍為彈性的。需要注意的是在不

10、同的坐標系下，采用相應的應變和應力來表示。即在當前構形的坐標系下，釆用Euler和Almansi應變在相對（參考）構形 采用Lagrangion應力和Green應或釆用Kirchhoff應力和Green應變 設變形體在無熱交換的保守系統中，物體處于平衡狀態下，由本構關系% = “陶彈性陣卩川有歲個）個）系數（24）將上面關系式（12） （22）和（23）它們分別給出了 旬;珀中和山w之間的關系。代入（24）式可得：幾=D爲qEpq（25）和Smn = D 陽 pq Epq（26）其中:D爲Q =魯 5 牛|非對稱彈性陣D：U =乩莖些久並並對稱彈性陣p da dat dak daL 5.4 L

11、agrangion坐標系下的有限元列式推導釆用拉格朗日法是以某一已知位形位參考位形建立的坐標系，它釆用的是個Green應 變和2nd pida-Kirchhoff應力來描述兒何物理和平衡方程。在釆用增量發求解的過程中，把每個載荷步看成是變形過程中的各個時間增量步，即 每個增量步上都對應物體的一個構形。在L氏表示中，若一初始構形做位參考構形的稱為 全局的拉格朗日表示法（Total-Lagrangion）,若以前一個相鄰的構形作為參考構形的則稱為 修正的 Lagrangion 表示法（Update-Lagrangion）1、T.L表示 （討論t t+At增量步）設變形體在（時刻的狀態是已知的，即相

12、對于初始坐標下的各力學量（位移、應變和 應力是已知的），現在要求在某一增量載荷作用下的增量位移、應變、應力等。1）增量形式的幾何關系及其變分形式a）增量兒何關系 設t和t+At時刻的Green應變詁（叫j+5+喚呢）（28）設At時間步的增量位移和增量應變為和厶Etj(29)t+At時刻的應變量縣可用t時刻的位移和位移增量表示(30)=I獸仏7)詩心M)詩血+M)魯仏+M) J111/2空6兀dxi dxW =e _E =-| 鞏G | 加農(你)| 6(你)加(你)6(s)9 - u 2|_ 嘰記為dxi dxfixj dxXj3xQx jAE. =E.-Etj= +AE, + 畔(31)(

13、32)式中礦=-+2 dx.dx. j 1 duk 6你dukdSuk- :-1 :-2 dx： dx：dx：dx：*jj*_ 1 沁 iq 沁 ig 2(33)dx. dx.1 j /(33)式中第一、二式是未知增量位移的線性項，而第三部分是非線性項。在有限元計算常 寫成矩陣形式：E = AElo + AEZJ +(3紂且 AE/0 = LAU , AEZ1 =-AAO + -SA0 f2 2AL2(33)在三維空間中:U = hhw2,w3 (34)dx0ddx20ddxyddxd(35)dudx2dudxydx30dxydxi0dxydu7ox2ondxsduTOAS6,OX)onOAj

14、(36)0(37)6(加)丁dxx6(M)Tdxo(Aw)r6(沙dx36(M)Tdx30(況av36(加)丁dx2dx2a(Aw)rdu汕dxdxxduJ (37), & = dudxxdx2dudSudx.3.(36幾 0 =設：O = HUH=若單元位移插值函數u=NqddxddxiddV|ddx3(38)厶為3X3的單位陣則二 NAqA 0= HAu = HNAq = GAq 令：G = HN以上公式代入(32一(33(39)(40)可得: = Lu = LN q =(41)AEyj = A + ! AA& = AGzXq =2 2(42)AEV/ = AA & = AAGAq = B

15、nSq2 2(43)這里：B； = LN(41)，B；嚴 AG(42)，BG(43)，回代(32)，可得：AE = (B；o + B；i + B；J q(44)令AE = BSq(45)此時(46)b.增量兒何關系的變分形式(46)式反應了在At增量步應變增量和位移增量間的兒何關系。因為在以后研究沒已增 量步的平衡關系時，需要利用能量變分原理；故下面推倒其變分兒何關系。即漢比“)=B3(M)B()= B；=BlA = B；a(47)(48)J(AE) = %()J(AE/iL) =-AA-A + -AA J(A9) 2 丿 2 2=AA-J(A) = AAGJ(A7)= 2B；Qq)* SNL

16、 = -AAG令BnL = 2B；iL得 5(AJ = 83(&/)于是5 AE = (B；()+ Bl + 3；z) 5 ()(49)(50)設B = B + BL + Bnl最后得At增量步增量兒何關系的變分形式:5AE = B5(X)2)增量平衡方程和切線剛度矩陣(1) 增量平衡方程(2) 切線剛度矩陣在步釆用能量變分原理，可寫出t+At時刻的平衡方程式: Br SdV= f NrF()dV + f 屮AVo%設上式右端項=p,即為單元的等效節點力向量；左端： J Br SdV = 0(S + AS)% = J BrSdV + JBTSdV將式：B = BL. + BL+BNL代入可得j Bt SdV = j(3： + B； JSdV + JBSdV + JBTASdVK.v(l%、 z、_/ f、f_、ZI11III令 1 = R,SJ3 S2】3 SH3n = KQq 其中：K = JGrMGdV ； M =S2J3 *22】3*23【3VOP3J3S33I3DI = j B兒何關系（增量兒何關系及其變